精品解析：广西桂林市第十八中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

桂林十八中2024－2025学年度23级高二上学期开学考试卷 数学 命题：李娟 审题：朱峰磐 注意事项： ①试卷共4页．考试时间120分钟，满分150分； ②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ） A. B. C. 与异面 D. 与相交 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量数量积的坐标运算，结合向量垂直表示即可确定直线的位置关系. 【详解】由，故， 所以. 故选：A 3. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 4. 某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ） A. B组打分的极差小于A组打分的极差 B. B组打分的中位数为75 C. A组的意见相对一致 D. A组打分的众数为50 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B：将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C：根据方差的性质分析判断；对于D：根据题中数据结合众数的定义分析判断. 【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误； 对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75， 所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误； 对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确； 对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47， 所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误． 故选：C． 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为，则， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD错误； 且时，，据此可知选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 设为单位向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积定义，数量积的运算律及向量模的计算方法即可求解. 【详解】由可得：，即. 因为为单位向量 所以. 所以，解得：. 故选：A 7. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方式，结合一元二次方程的解法，求得，根据三角函数诱导公式以及余弦二倍角公式，可得答案. 【详解】由，，，，解得， ， 故选：B. 8. 如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分别是的中点，可得（是三角形的面积，是三角形的面积），由棱台的体积公式可求得，再根据，求得，即可得答案. 【详解】解：设三角形的面积为，三角形与三角形的面积为，三棱柱的高为， 则有，，设三棱柱的体积为， 又因为①，②， 所以③， 由题意可知④， 由①②③④可得， 所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，下列选项中正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于原点对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】A.令，利用正弦函数的性质判断；B.利用奇函数的定义判断；C.利用正弦函数的周期性判断；D；利用正弦函数的最值判断； 【详解】A.当时，，因为在单调递减， 所以在单调递减，故选项A正确； B.因为，所以为奇函数， 所以的图象关于原点对称．故选项B正确； C. 代入周期公式得，故选项C错误； D. ，的最大值为1，故选项D错误. 故选：AB． 10. 已知，且，则下列正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是9 D. 的最小值是 【答案】AB 【解析】 【分析】由基本不等式逐项判断即可. 【详解】因为， ，，当且仅当时，等号成立，A正确； ，当且仅当，即时等号成立，B正确． ，当且仅当，即时等号成立，C错误； 由得，所以，D错； 故选：AB． 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用赋值法，利用已知条件，分析函数的有关性质即可判断. 【详解】对A,令，则， 化简可得，又因， 所以，故A正确； 对B,令，则，又因 化简可得，所以是偶函数，故B错误； 对C,令，则，因， 所以，故C正确； 对D,令，则，因， 所以，令，则①， 再令，②，由①②知，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出长方体的长、宽、高，即可得点的坐标. 【详解】在长方体中，已知，， 所以，，， 所以点的坐标为， 故答案为： 13. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可. 【详解】复合函数可以看做，， 当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得； 当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得； 综上所述，或. 故答案为：或. 14. 平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方的方法化简已知不等式，然后根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案. 【详解】由， 所以，对任意实数成立， 所以，即， 即，所以. 故答案为： 【点睛】本题是一个综合性的题目，一个是数量积的运算，包括模的处理方法，一个是一元二次不等式恒成立问题，包括一元二次不等式的解法，还需要对主参变量进行确定. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出，再由正弦定理求出. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合面积关系计算即得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 即，而，解得，由正弦定理得， 所以. 【小问2详解】 依题意，由三角形面积公式得， 所以． 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）估计该校的800名男生身高的80%分位数；（保留小数点后一位有效数字） （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求样本空间及事件E的概率． 【答案】（1）0.06 （2）179.7 （3），共有15种情况，. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率； （2）设80%分位数为x，根据百分位数的概念即可求解； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， 故第七组的频率为 【小问2详解】 设80%分位数为x，则，解得， 即该校的800名男生身高的80%分位数的估计值为179.7． 【小问3详解】 第六组的人数为，设为， 第八组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生的样本空间为，共有15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为，共7种情况. 所以. 17. 如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：平面PCD； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 取中点，连接， 因为为中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，为中点，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，得出，再证明和得出平面，即可证明； （2）取中点，过作交延长线于，可得为二面角的平面角，设即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，在平面内过作交延长线于，连接， 因为，所以， 又平面平面，交线为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 设，则，， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，-1 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数运算，可求得答案； （2）根据（1）的结果，写出函数的解析式，利用基本不等式求出其值域，即可求得实数的取值范围； （3）整理化简，采用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解,讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，可求得最值,判断是否存在问题. 【小问1详解】 函数是偶函数， ，即, ,即， . 【小问2详解】 由（1）可知： ， 方程有解，即有解， 即有解，而，当且仅当时取等号， 故， 实数a的取值范围是 【小问3详解】 假设存在满足条件的实数m， 由题意，可得 令，则， 令， 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时， ，解得； 当，即时 ，解得（舍去）； 当，即时， ，解得（舍去）. 综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为-1. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． （1）证明：当时，； （2）设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由题意，得，所以， 所以当时，． （2）存在，“和谐区间”为 【解析】 【分析】（1）根据题目中给的公式即可证明. （2）通过对的取值进行分情况讨论，结合的单调性以及（1）的结论，即可求得唯一的和谐区间. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对于函数，有， ①若，则由，知，矛盾，故不存在“和谐区间”； ②同理时，也不存在， 下面讨论， ③若，则，故最小值为，于是， 所以， 所以最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意． ④若，当时，同理可得，舍去， 当时，在上单调递减， 所以，于是， 若，即，则， 故， 与矛盾； 若，同理，矛盾， 所以，即， 由（1）知当时，， 因为，所以，从而，，从而，矛盾， 综上所述，有唯一的“和谐区间”． 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林十八中2024－2025学年度23级高二上学期开学考试卷 数学 命题：李娟 审题：朱峰磐 注意事项： ①试卷共4页．考试时间120分钟，满分150分； ②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ） A. B. C. 与异面 D. 与相交 3. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ） A. B组打分的极差小于A组打分的极差 B. B组打分的中位数为75 C. A组的意见相对一致 D. A组打分的众数为50 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设为单位向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，下列选项中正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于原点对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2 10. 已知，且，则下列正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是9 D. 的最小值是 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为________． 13. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 14. 平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积． 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）估计该校的800名男生身高的80%分位数；（保留小数点后一位有效数字） （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求样本空间及事件E的概率． 17. 如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：平面PCD； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． （1）证明：当时，； （2）设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $