直线方程题型归纳训练-2025届高三数学一轮复习

直线方程题型归纳 考向1.斜率（倾斜角求斜率，俩点求斜率，方向向量，法向量） 1．过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 2.直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 3.若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 4（多选）. 下列四个命题中错误的有（　　） A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线倾斜角的取值范围是 C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等 D．过点的直线平行于直线 5.设直线的方程则直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6.已知点，，直线：与线段相交，则的取值范围为（ ） A．或 B．或 C． D． 7.已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为 A．或 B．或 C． D． 考向2直线方程（直线方程的五种形式，恒过定点问题，截距式多解问题） 1. 在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为（　　）． A． B． C． D． 2. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 （　　） A．或 B．或 C．或 D．或 3. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（　　） A． B． C． D． 4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 6.直线过点，且方向向量为，则（　　） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 7(多选). 下列说法正确的是（　　） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 8（多选）. 已知直线，直线，则（　　） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 9（多选）. 已知直线 ， 则（　　） A．直线 始终过第二象限 B．时， 直线的倾斜角为 C．时， 直线关于原点对称的直线方程为 D．点 到直线的最大距离为 10. 已知的顶点. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 11. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等. 问题：直线经过两条直线和的交点，且 ▲ . （1）求直线的方程； （2）直线不过坐标原点，且与轴和轴分别交于、两点，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 考向3.位置关系（平行关系易错点，垂直关系） 1. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2. 若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 3.（多选）下列命题说法正确的有（　　） A．已知直线：与直线：，若，则或 B．点关于直线的对称点的坐标为 C．直线过定点 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 4（多选）.已知直线.以下说法正确的是（　　） A．直线一定经过点 B． // 的充要条件是 C．点到直线的距离的最大值为5 D．交点的轨迹必与有两个交点 5.（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．直线过定点，直线过定点 D．当平行时，两直线的距离为 6.（多选） 已知直线，则下列表述正确的是（　　） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4 7.（多选）已知直线：，：，则下列说法正确的是（　　） A．恒过点 B．若，则 C．若，则或 D．若不经过第三象限，则 8. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的方程； （3）求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 考向4.距离公式（平行线距离公式，俩点间距离公式） 1. 若两条平行直线与之间的距离是，则（　　） A． B． C． D． 2.已知，则它们的距离为（　　） A． B． C． D． 3. 两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 4.（多选）已知直线 ， 则（　　） A．直线 始终过第二象限 B．时， 直线的倾斜角为 C．时， 直线关于原点对称的直线方程为 D．点 到直线的最大距离为 5.（多选）以下四个命题为真命题的是（　　） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 6. 设点到直线的距离为，则的最大值是　 　. 7. 已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为　 　. 考向5.对称问题（点点对称，点线对称，线点对称，线线对称，反射光线问题） 1. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（　　） A． B．6 C． D． 2.与直线关于点对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 3.点A(4，5)关于直线l的对称点为B(－2，7)，则l的方程为　 　 4.一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为　 　，反射光线所在直线在y轴上的截距为　 　 5．已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为　 　. 考向6.最值问题（重点距离公式的几何意义最值） 1. 已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（　　） A． B． C． D．5 2. 原点到直线的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 3. 已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 4.已知点 在直线上， 则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5.设点到直线的距离为，则的最大值是　 　. 6. 已知，分别为直线与上任意一点，则的最小值为　 　. 7. 已知点，点是直线上的动点，则的最小值为　 　. 8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数a、b，直线，若点P到直线的距离为d，则d的取值范围是　 　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线方程题型归纳 考向1.斜率（倾斜角求斜率，俩点求斜率，方向向量，法向量） 1．过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 答案：A 2.直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 答案：C 3.若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 答案：C 4（多选）. 下列四个命题中错误的有（　　） A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线倾斜角的取值范围是【0,180) C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等 D．过点的直线平行于直线 答案：A,C 5.设直线的方程则直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案：D 6.已知点，，直线：与线段相交，则的取值范围为（ ） A．或 B．或 C． D． 答案：B 7.已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为 A．或 B．或 C． D． 答案：A 考向2直线方程（直线方程的五种形式，恒过定点问题，截距式多解问题） 1. 在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为（　　）． A． B． C． D． 答案：A 2. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 （　　） A．或 B．或 C．或 D．或 答案：B 3. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（　　） A． B． C． D． 答案：A 4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 答案：A 5.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 答案：D 6.直线过点，且方向向量为，则（　　） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 答案：D 7(多选). 下列说法正确的是（　　） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 答案：B,C 8（多选）. 已知直线，直线，则（　　） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 答案：A,B,C 9（多选）. 已知直线 ， 则（　　） A．直线 始终过第二象限 B．时， 直线的倾斜角为 C．时， 直线关于原点对称的直线方程为 D．点 到直线的最大距离为 答案：A,D 10. 已知的顶点. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 答案：（1）解：线段 的中点为 ， 则中线 所在直线方程为： ，即 . （2）解：设两坐标轴上的截距为 ， 若 ，则直线经过原点，斜率 ， 直线方程为 ，即 ； 若 ，则设直线方程为 ，即 ， 把点 代入得 ，即 ，直线方程为 ； 综上，所求直线方程为 或 . 11. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等. 问题：直线经过两条直线和的交点，且 ▲ . （1）求直线的方程； （2）直线不过坐标原点，且与轴和轴分别交于、两点，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 答案：（1）由，解得交点坐标为. 选①，垂直于直线 设直线的方程为：，其过点，则， 即，故直线的方程为. 选②，平行于直线， 设直线的方程为：，其过点，则， 即，故直线的方程为. 选③，截距相等， 当直线经过原点时，，符合题意； 当直线不过原点时，设为，其经过点， 故，即.得直线：. 故直线的方程为或（或）. （2）由（1）知选①时，直线的方程为， 可知其在轴和轴的交点分别为，， 故. 选②时，直线的方程为， 可知其在轴和轴的交点分别为，， 故. 选③时，直线的方程为， 可知其在轴和轴的交点分别为，. 故. 考向3.位置关系（平行关系易错点，垂直关系） 1. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 答案：D 2. 若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 答案：D 3.（多选）下列命题说法正确的有（　　） A．已知直线：与直线：，若，则或 B．点关于直线的对称点的坐标为 C．直线过定点 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 答案：B,C 4（多选）.已知直线.以下说法正确的是（　　） A．直线一定经过点 B． // 的充要条件是 C．点到直线的距离的最大值为5 D．交点的轨迹必与有两个交点 答案：A,C 5.（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．直线过定点，直线过定点 D．当平行时，两直线的距离为 答案：A,C,D 6.（多选） 已知直线，则下列表述正确的是（　　） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4 答案：A,B,D 7.（多选）已知直线：，：，则下列说法正确的是（　　） A．恒过点 B．若，则 C．若，则或 D．若不经过第三象限，则 答案：A,C 8. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的方程； （3）求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 答案：（1）解：由，得，所以交点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得，则直线方程是：. （2）解：求过点且垂直于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得，则直线方程是：. （3）解：当直线过原点时，设直线方程为，将点坐标代入，可得， 则，化简可得；当直线不过原点时，设直线方程为， 由条件可得，解得，则，化简可得； 综上所述，直线的方程为或， 考向4.距离公式（平行线距离公式，俩点间距离公式） 1. 若两条平行直线与之间的距离是，则（　　） A． B． C． D． 答案：A 2.已知，则它们的距离为（　　） A． B． C． D． 答案：D 3. 两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 答案：B 4.（多选）已知直线 ， 则（　　） A．直线 始终过第二象限 B．时， 直线的倾斜角为 C．时， 直线关于原点对称的直线方程为 D．点 到直线的最大距离为 答案：A,D 5.（多选）以下四个命题为真命题的是（　　） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 答案：B,D 6. 设点到直线的距离为，则的最大值是　 　. 答案： 解：由直线，可知直线过定点， 则当垂直于直线时，有最大值，故. 故答案为：． 7. 已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为　 　. 答案：或 考向5.对称问题（点点对称，点线对称，线点对称，线线对称，反射光线问题） 1. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（　　） A． B．6 C． D． 答案：C 直线AB的方程为：，点P(0，2）关于x轴的对称点P1（0，-2）， 设点P1（0，-2）关于直线AB的对称点P2（a，b)，则解得，所以P2(-5，3)，所以光线所经过的路程为 故答案为：C. 2.与直线关于点对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 答案：D 解：在所求直线上任取一点，则关于 点 的对称点为， 可知在直线 上， 则，可得 ， 所以所求直线方程为. 故答案为：D. 3.点A(4，5)关于直线l的对称点为B(－2，7)，则l的方程为　 　 答案：3x－y＋3＝0 解：由题意可得：的中点为，且， 可知 直线l 过点，且斜率为， 所以 l的方程为，即. 故答案为：. 4.一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为　 　，反射光线所在直线在y轴上的截距为　 　 答案：；. 直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则直线与的交点即为入射点， ，解得，故入射点坐标为， 反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线， 在直线上任取一点， 设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，即， 因此反射光线的斜率为， 所以反射光线的直线方程为，即， 5．已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为　 　. 答案： 如图，由题设点B在原点O的右侧，直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点， 所以的方程为，即， 令，则，所以为， 所以的方程为，即， 考向6.最值问题（重点距离公式的几何意义最值） 1. 已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（　　） A． B． C． D．5 答案：D 由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故答案为：D. 2. 原点到直线的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 答案：D 解：设原点到直线的距离为d，则， 当时，有最大值，此时， 因为，当且仅当时等号成立，所以，所以. 故答案为：D. 3. 已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 答案：B 解：由kx+y+2-k=0得y+2=k(1-x)，所以直线l过定点 M(1，-2)， 所以|MP|的最小值就是点M到直线2x-y+1=0的距离，即 故答案为：B. 4.已知点 在直线上， 则的最小值为（　　） A． B． C． D． 答案：C 解：因为，所以由点到直线的距离知道： 该式子表示点到点和点的距离之和，又点 在直线上 ， 设为点关于直线的对称点，则由对称知识可得：解得：即点，故所求最小值为：. 5.设点到直线的距离为，则的最大值是　 　. 答案： 解：由直线，可知直线过定点， 则当垂直于直线时，有最大值，故. 故答案为：． 6. 已知，分别为直线与上任意一点，则的最小值为　 　. 答案： 解：因为 直线与 的斜率均为且截距不相等，故两直线平行，且直线可化为则 的最小值为 两直线之间的距离： 7. 已知点，点是直线上的动点，则的最小值为　 　. 答案：4 解： 的最小值为点P到 直线l的距离，. 故答案为：4. 8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数a、b，直线，若点P到直线的距离为d，则d的取值范围是　 　. 答案： 解：化直线为，则直线恒过点，当时，点到直线的距离最大，最大值为，当点在直线上时，距离最短，最短距离为0，所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$