3.3 二项式定理与杨辉三角（第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角、二项式定理的应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 3.3　二项式定理与杨辉三角 第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角、二项式定理的应用 课标定位素养阐释 1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 3.能应用二项式定理解决整除和不等式的证明问题. 4.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习 新知导学 二项式系数的性质 1.(a+b)n的展开式中的项的二项式系数,当n取正整数时可以表示成如下形式: (1)从上面的表示形式中可以直观地看出什么规律? 提示:每一行都是对称的,且两端的数都是1;从第二行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和. (2)计算每一行的二项式系数的和,你又能看出什么规律? 提示:2,4,8,16,32,64,…,二项式系数的和为2n. (3)二项式系数的最大值有何规律? 提示:当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大. 2.二项式系数的性质 3.(1)观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 (2)在(a-b)20的展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 解析:(1)由题图,知4+a=10,得a=6. 答案:(1)B　(2)B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)二项展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和.( √ ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 与杨辉三角有关的问题 【例1】 如图,在杨辉三角中,从1开始,按箭头所指的顺序,求前19个数的和. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练1】 如图,在杨辉三角中,第　　　　　行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.  解析:设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3, 答案:34 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究二 二项展开式中系数和问题 【例2】 已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,求下列各式的值: (1)a0+a1+a2+…+a5; (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|; (3)a1+a3+a5. 解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1. (2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 因此|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 (3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35, 得2(a1+a3+a5)=1-35. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 延伸探究 在例2条件下,求下列各式的值: (1)a0+a2+a4; (2)a1+a2+a3+a4+a5. 解:(1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35, (2)因为a0是(2x-1)5的展开式中x5的系数,所以a0=25=32. 又a0+a1+a2+…+a5=1, 所以a1+a2+a3+a4+a5=-31. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 反思感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式中各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式中各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练2】 已知x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,求下列各式的值: (1)a0+a1+…+a10; (2)a0-a1+a2-a3+…-a9+a10. 解:(1)令x+1=1,即x=0,得0=a0+a1×1+…+a10×110,故a0+a1+…+a10=0. (2)令x+1=-1,即x=-2,得(-2)3+(-2)10=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10, 故a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=1 016. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究三 二项式系数性质的应用 【例3】 已知 的展开式中,各项系数和与二项式系数和的比为32∶1,求展开式中二项式系数最大的项. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 反思感悟 二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练3】 求(1-x)8的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数最小的项. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究四 二项式定理的应用 【例4】 用二项式定理证明1110-1能被100整除. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 应用二项式定理解决三种题型的思路 (1)整除问题:首先将所给的式(数)改写成含有除式(数)的二项式结构,然后展开即可. (2)近似计算问题:首先将所给的数写成二项式结构,其中一个数为纯小数,然后展开,最后根据要求进行取舍即可. (3)证明不等式问题:先使用二项式定理展开,再适当将其放大或缩小即可. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练4】 求1.9975精确到0.001的近似值. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【易错辨析】 二项式系数和的概念不清而致误 【典例】 已知(2x-1)n的展开式中,偶数项系数的和比奇数项系数的和小38, 错解:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且偶数项的系数和为A,奇数项的系数和为B,则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+…, 由题意,知B-A=38. 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n, ∴(a0+a2+…)-(a1+a3+…)=(-3)n, ∴B-A=(-3)n=38,∴n=8. 答案:A 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 正解:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且偶数项的系数和为A,奇数项的系数和为B,则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+…,由题意,知B-A=38. 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+…)-(a1+a3+a5+…) =(-3)n. ∴B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8. 由二项式系数的性质,可得 答案:B 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 1.解答本题应认真审题,搞清已知条件以及所要求的结论,避免失误. 2.解决此类问题时,要对二项式系数的性质熟练把握,尤其是赋值法,要根据题目的要求,灵活赋给字母所取的不同值. 防范措施 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 随堂练习 1.在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项的项数是(　　) A.n,n+1 B.n-1,n C.n+1,n+2 D.n+2,n+3 解析:由已知得该式展开共2n+2项,中间有两项,第n+1项与第n+2项,因此第n+1项与第n+2项为二项式系数最大的项. 答案:C 答案:B 3.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5=(　　) A.32 B.1 C.-243 D.1或-243 解析:由已知得 ,解得a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1. 答案:B 4.(多选题)下列关于(a-b)10的说法正确的是(　　) A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中的第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 答案:ABD 5.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为　　　　　.  答案:5 6.设m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n. (1)当m=n=7时,f(x)=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求a0+a2+a4+a6; (2)当m=n时,f(x)展开式中x2的系数是20,求n的值; (3)f(x)展开式中x的系数是19,当m,n变化时,求x2的系数的最小值. 性质 内容 二项式系数的和 (1)二项展开式中各二项式系数的和等于2n , 即+…+=2n . (2)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n-1,即+…=+…= 2n-1 对称性 ,即二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性与最大值 (1)二项式系数,…,先逐渐变大,再逐渐变小. (2)当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大 (2)第6项的二项式系数为,因为,所以第16项符合题意. (2)二项展开式中,所有的二项式系数之和为+…+.( × ) 解:记前19个数的和为S19,则S19=()+()+() +…+()+=(+…+)+(+…+) =(2+3+4+…+10)++220=274. 则=2∶3,即,解得n=34. 由(2x-1)5的展开式的通项公式Tk+1=(-1)k25-kx5-k知a1,a3,a5为负值, 故a1+a3+a5==-121. 所以a0+a2+a4==122. 奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+a7+…=. 解:令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n. 又展开式中二项式系数和为2n,因此=2n=32,n=5. 所以二项式系数最大的项为第3,4两项, 所以T3=)3(3x2)2=90x6,T4=)2·(3x2)3=270. 解:(1)由二项式系数的性质,知(1-x)8的展开式中的中间一项(即第5项)的二项式系数最大,该项为T5=(-x)4=70x4. (2)依题意,第4项和第6项的系数相等且最小,故系数最小的项为 T4=(-x)3=-56x3,T6=(-x)5=-56x5. 证明:1110-1=(10+1)10-1,由二项式定理可知(10+1)10-1 =1010+109+…+10+1-1=1010+109+108+…+102 =100(108+107+106+…+1),所以1110-1能被100整除. 解:1.9975=(2-0.003)5=25-24(0.003)+23(0.003)2-22·(0.003)3 +21(0.003)4-0.0035≈32-0.24+0.000 72≈31.761. 则+…+的值为(　　) A.28 B.28-1 C.27 D.27-1 由二项式系数的性质可得,+…+=2n=28. 提示:误将+…+认为是展开式中各项的二项式系数之和,忽略了. +…+=2n-=28-1. 2.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于(　　) A.64 B.32 C.63 D.31 解析:∵+2+…+2n=(1+2)n=3n=729, ∴n=6,∴=32. a2=(-1)2a3=80 解析:(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为+…+=210,令(x+3y)n中x=y=1,则由题设,知4n=210,即22n=210,解得n=5. 解:(1)分别令x=1,x=-1,得 两式相加,得a0+a2+a4+a6=128. (2)因为当m=n时,f(x)展开式中x2的系数是20, 所以2=20,解得n=5. (3)由已知得m+n=19,x2的系数为m(m-1)+n(n-1) =[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-mn=171-(19-n)n=, 又n∈N,所以,当n=9或n=10时,f(x)展开式中x2的系数的最小值为81. $$