3.3 二项式定理与杨辉三角（第1课时 二项式定理）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 课标定位素养阐释 1.能用多项式运算法则和基本计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 3.体会数学抽象的过程,提升数学运算和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 二项式定理 1.我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式. 提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 2.上述两个等式的右侧有何特点? 提示:(a+b)3的展开式有4项,每一项的次数为3;(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4. 3.你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗? 提示:(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式的乘法法则知,从每个(a+b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项. 4.能用类比方法写出(a+b)n(n∈N+)的展开式吗? 5.二项式定理及其相关概念 A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n 解析:(1)逆用二项式定理,将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n. 答案:(1)C　(2)-160x3 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)(a+b)n的展开式中共有n项.( × ) (2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.( × ) (4)(a-b)n与(a+b)n的展开式的二项式系数相同.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 二项式定理的正用和逆用 【例1】 (1)求(x+2y)4的展开式; 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.(a+b)n(n∈N+)的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是: (1)各项的次数等于n; (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 求二项展开式中的特定项 (1)正整数n的值; (2)展开式中含x2的项; (3)展开式中的第4项; (4)展开式中所有的有理项. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.在通项公式 (n∈N+,k=0,1,2,3,…,n)中含有a,b,n,k,Tk+15个量,只要知道其中4个量,便可求出第5个量.在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时,常涉及这5个量的求解问题.通常需要转化为方程的问题来解决. 2.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0;而对于有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好是整数的项. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 答案:-10 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 求二项式系数与项的系数 (1)展开式中的第4项的二项式系数; (2)展开式中的第4项的系数; (3)展开式中的第4项; 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 答案:-2 探究一 探究二 探究三 思想方法 【思想方法】 二项式定理应用中的化归思想 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 解决三项式问题的两种方法 (1)反复利用二项式定理,先把三项式中的某两项视为一项,用二项式定理展开,再利用二项展开式求解. (2)转化为二项式.转化为二项式常见的有两种形式:若三项式恰好是二项式的平方,则可转化为二项式定理求解;若三项式可分解因式,则转化为两个二项式的积的形式. 方法点睛 探究一 探究二 探究三 思想方法 A.1 B.2 C.3 D.12 答案:C 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.若(x+2)n的展开式共有11项,则n等于(　　) A.9 B.10 C.11 D.8 解析:依题意,n+1=11,即n=10,故选B. 答案:B 答案:D 答案:D 答案:AD 若都选a,则得a4b0; 若有一个选b,其余三个选a,则得a3b; 若有两个选b,其余两个选a,则得a2b2; 若有三个选b,其余一个选a,则得ab3; 若都选b,则得a0b4. 提示:能,(a+b)n=an+an-1b+…+bn. 二项式定理 一般地,当n是正整数时,有(a+b)n=an+an-1b +…+an-kbk+…+bn. 上述公式称为二项式定理 (a+b)n的 展开式 等式右边的式子称为(a+b)n的展开式,它共有n+1项 通项 其中an-kbk是展开式中的第k+1项(通常用Tk+1表示) 二项式系数 称为第k+1项的二项式系数 通项公式 我们将Tk+1=an-kbk称为二项展开式的通项公式.其中n是正整数,k是满足0≤k≤n的自然数 6.(1)1-2+4-8+…+(-2)n等于(　　) (2)在的展开式中,第4项是　　　　　.  (2)由通项公式可得T4=(2x2)3(-1)3·23·x3,即T4=-160x3. (3)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.( × ) (2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 解:(1)(x+2y)4=x4+x3(2y)+x2(2y)2+x(2y)3+(2y)4 =x4+8x3y+24x2y2+32xy3+16y4. (2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k +…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 解:原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0 =[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 【例2】 已知在的展开式中,第6项为常数项.求: 解:通项公式为Tk+1=(-3)k(-3)k. (1)因为第6项为常数项, 所以当k=5时,有=0,即n=10. (2)令=2,得k=2, 所以展开式中含x2的项为(-3)2x2=405x2. (3)令k+1=4,即k=3,可得展开式中的第4项为T4=(-3)3=-3 240. (4)由题意,得 令=t(t∈Z),则k=5-t.因为k∈N,且0≤k≤10,所以t=2,0,-2,则k=2,5,8.因为T3=(-3)2x2=405x2,T6=(-3)5=-61 236,T9=(-3)8x-2=295 245x-2,所以第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,-61 236,295 245x-2. Tk+1=an-kbk 【变式训练2】 设的展开式中常数项为A,则A=　　　　　.  解析:由已知得通项公式为Tk+1=)5-k(-1)k, 令=0,得k=3,因此A=-=-10. 【例3】 已知.求: (4)的系数. 解:的展开式的通项公式为 Tk+1=(3)10-k310-k. (1)展开式中的第4项的二项式系数为=120. (2)展开式中的第4项的系数为37=-77 760. (3)展开式中的第4项为T4=-77 760. (4)令=-,解得k=5,因此的系数为310-5=-8 064. 第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为,两者不一定相等,要注意区分二项展开式中“项的系数”与“项的二项式系数”这两个概念.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项的二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280. 【变式训练3】 若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　　.  解析:由已知得通项公式为Tk+1=(ax2)5-ka5-k. 令10-k=5,解得k=2. 又展开式中x5的系数为-80, 则有a3=-80, 解得a=-2. 【典例】 求的展开式的常数项. 解:(方法一)由二项式定理,得()5=[]5 =)5+)2+)2()3+ )4+)5. 其中为常数项的有: 展开式中的第3项; )3展开式中的第2项)3; 展开式的最后一项)5. 综上可知,常数项为)3+)5=. (方法二)原式=[(x+)2]5=(x+)10. 求原式中展开式的常数项转化为求(x+)10的展开式中含x5的项的系数,即)5. 因此所求的常数项为. 【变式训练】 (1-)4的展开式中x的系数是(　　) 解析:根据题意,所给式子的展开式中含x的项有(1-)4的展开式中的常数项乘中的x,以及(1-)4的展开式中的含x2的项乘中的,所以所求系数为1×2+1=3,故选C. 2.在(x-)10的展开式中,含x6的项的系数是(　　) A.-27 B.27 C.-9 D.9 解析:含x6的项的系数是(-)4=9. 3.若的展开式中的常数项为15,则n的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:展开式的通项公式为Tk+1=(x2)n-k=(-1)kx2n-3k. 令2n-3k=0,得n=k.若k=2,则n=3,不符合题意;若k=4,则n=6,此时 (-1)4=15,所以n=6. 4.(多选题)下列关于(n∈N+)的说法正确的是(　　) A.存在n∈N+,展开式中有常数项 B.对任意n∈N+,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+,展开式中有x的一次项 5.的展开式中的第4项的二项式系数是　　　　　,第4项的系数是　　　　　.  解析:第4项的二项式系数为=84,第4项的系数为=-. 答案:84　- 6.求的展开式中第3项的系数和常数项. 解:T3=(x3)3x5,故第3项的系数为. 通项公式为Tk+1=(x3)5-kx15-5k,令15-5k=0,得k=3,因此常数项为T4=. $$