高考数学真题及变式题10 函数性质与初等函数小题讲义-2025届高三数学一轮复习

高考真题及变式题 10函数概念性质与初等函数小题 考情分析： 2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。Ⅱ卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。 总体来说函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新。 高考对函数的考查，重点是以基本初等函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)、图像、零点等。指数对数幂函数难度较易，函数的基本性质难度一般或较难，纵观近几年的新高考试题，分别考查单调性中参数求解、奇偶性中参数求解、周期性等性质、大小比较等知识点，本内容是新高考冲刺复习的重点复习内容。 复习时应关注：(1)指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图像和性质是基础，要求在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本质. (2)会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。 (3)指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。 (4)函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。 可以预测2024年新高考命题方向将继续以指对幂函数直接或间接命题来考查函数中的基本性质． 必备知识： 一．函数的概念 (一)函数定义域限制：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)①若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； ②已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. (7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． (二)函数的值域 1.求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 2.基本初等函数的值域 (1)的值域是． (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是． (4)且的值域是． (5)且的值域是． 3.区间：设，且，我们规定： 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 4.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 二．函数的性质 (一).函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 1．函数奇偶性的几个重要结论 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1. (3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (5)在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． (6)若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称； 若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于直线x=a对称． (7)奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D上有最值，则; (8)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即，其中：； (二).函数的周期性(差为常数有周期) 1.如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，就称函数y＝f(x)为周期函数， 称T为这个函数的周期。 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期． 3.周期性的几个常用结论 (1)，则. (2)，则. (3)，则； 则； (5)若,则T＝6a(a>0)． 4.函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数； 口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。) (1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|． 总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立． 5.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期 (1)单调区间：f(x)在区间与f(x)在区间上单调性相同。 (2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为； 如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为。 (三)函数的对称性(和为常数有对称) 1.函数自身的对称 (1)轴对称 ①如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． ②若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x) (2)函数的点(中心)对称 ①若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b 特例：若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) ②f(x＋a)+f(b－x)=c⇔y＝f(x)关于点对称 2.两个函数图象之间的对称 (1)若与关于直线对称，则； 特例：若与关于y轴对称，则； (2)若与关于直线对称，则； 特例：若与关于x轴对称，则； (3)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线对称； (4)函数f(x)与的图象关于直线x＝a对称； (5)若与关于点对称，则； 特例1：若与关于原点对称，则； 特例2：函数f(x)与＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称； (6)函数与其反函数图像关于直线对称； (四).函数的单调性: 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. 增函数 减函数 定义 函数f(x)定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 1.单调性、单调区间的定义 (1)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． (2)单调区间是定义域的子集，故应树立“定义域优先”的原则． (3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； (4)如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 2.函数单调性常用结论 (1)增函数与减函数形式的等价变形 y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0； y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0． (2)单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③增函数（↗）减函数（↘）未知(此时需要用导数判断) ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ (3)单调性的性质 ①函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． ②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． ③在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性． ④在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与单调性相反． 3.复合函数的单调性:复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关． 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”． 4.基本初等函数的单调性 (1)一次函数：(k) ①时，在上单调递增； ②时，在上单调递减； (2)反比例型函数： ①时，在及上均单调递减； ②时，在及上均单调递增； (3)二次函数： ①a＞0时，增区间为；减区间为； ②a时，增区间为；减区间为； (4)幂函数：在上的单调性 ①时，在上单调递增，且为上凹函数； ②时，在上单调递增，没有凹凸性； ③时，在上单调递增，且为上凸函数； ④时，没有单调性； ⑤时，在上单调递减； (5)指数函数：且a ①a时，在R上单调递增； ②时，在R上单调递减； (6)对数函数：且a ①a时，在R上单调递增； ②时，在R上单调递减； (7)对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0) ①当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数； ②当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数； (8)飘带函数：f(x)＝ax＋(ab＜0) ①当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； ②当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 5.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增则由； 在上是奇函数，且单调递减则由； ②在上是偶函数，且在单调递增则由； 在上是偶函数，且在单调递减则由； ③关于对称，且单调递增； 关于对称，且单调递减； ④关于对称，且在单调递增则由； 关于对称，且在单调递减则由； 三．抽象函数的模型 1.反比例函数模型 若；则，(其中均不为0) 2.一次函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 3.指数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 4.对数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 模型5：若，则； 5.幂函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 代入则可化简为幂函数； 6.余弦函数模型 模型1：若(不恒为0)，则； 模型2：若(不恒为0)，则； 模型3：若(不恒为0)，则； 7.正切函数模型 模型1：若，则； 四.函数图象 (一).函数图象变换 1.平移变换 ①把函数的图像沿轴向左平移个单位得到函数的图像； ②把函数的图像沿轴向右平移个单位得到函数的图像； ③把函数的图像沿轴向上平移个单位得到函数的图像； ④把函数的图像沿轴向下平移个单位得到函数的图像； 2.翻折变换 (1)的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 (2)的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 3.伸缩变换 ①将上每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②将上每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. (二).基本初等函数图象： 五.函数与方程 1．函数零点的定义：一般地，把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．函数零点存在性定理 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点， 注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提． (2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)． ①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个． 如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调． ②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点． 此时如果还有条件f(x)单调，那么“一定”没有零点． ③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号． 受函数性质与图象影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0． 3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的相互转化 函数为y＝f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，即f(x)与x轴交点的横坐标； 若f(x)＝g(x)－h(x)，则零点为g(x)＝h(x)的根，即g(x)与h(x)交点的横坐标． 4．常用结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 5.二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函 数零点的近似值. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间，验证，给定精度. (2)求区间的中点. (3)计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） (4)判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 题型一 函数的单调性 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T6】已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【2023新高考Ⅰ卷T4】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题 基础】 1.已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题 巩固】 1.已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题 提高】 1.已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 3.（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 函数的奇偶性 【真题在线】 【2024天津卷T4】下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【2023新高考Ⅱ卷T4】若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【2021新高考Ⅰ卷T13】已知函数是偶函数，则 . 【变式题 基础】 1.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D．  2．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【变式题 巩固】 1.下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江苏·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则实数（    ） A．－1 B．0 C． D．1 3.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【变式题 提高】 1.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．2 题型三 函数性质综合 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T8】已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【2023新高考Ⅰ卷T11】已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【2022新高考Ⅱ卷T8】函数定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【2022新高考Ⅰ卷T12】函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【2021新高考Ⅱ卷T8】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式题 基础】 1.若函数满足，且当时，，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 2.（2024·重庆·模拟预测）已知是周期为的函数，且都有，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 4．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【变式题 巩固】 1.在R上的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 4．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（    ） A．1 B． C．0 D． 5．（2024·四川·三模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式题 提高】 1.定义在上的函数满足，且当时，， 则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．－1 4．（2024·福建厦门·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 6．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 7．（2024·安徽淮北·一模）定义在上奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广东·一模）已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（    ） A．202 B．204 C．206 D．208 11．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 12．（2024·山东烟台·一模）上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 13.（2024·山东济宁·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 14.（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 15．（2024·江西南昌·三模）已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．的图象也关于直线对称 B．的图象关于中心对称 C． D． 16．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 18．（2024·湖北荆州·三模）函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．关于中心对称 C．是周期函数 D．的解析式可能为 19．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 21．（2024·河北邢台·一模）已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 D． 题型四 函数图象 【真题在线】 【2024甲卷理T7文8】函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式题 基础】 1.函数图象大致是（     ） A． B． C． D．   2.已知函数，则的大致图像为（    ） A．B．C．D． 【变式题 巩固】 1.函数的部分图象大致为（    ） A．B． C． D．   2．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式题 提高】 1函数的部分图象为（    ） A． B．C．D． 2.将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考真题及变式题 10函数概念性质与初等函数小题 考情分析： 2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。Ⅱ卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。 总体来说函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新。 高考对函数的考查，重点是以基本初等函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)、图像、零点等。指数对数幂函数难度较易，函数的基本性质难度一般或较难，纵观近几年的新高考试题，分别考查单调性中参数求解、奇偶性中参数求解、周期性等性质、大小比较等知识点，本内容是新高考冲刺复习的重点复习内容。 复习时应关注：(1)指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图像和性质是基础，要求在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本质. (2)会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。 (3)指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。 (4)函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。 可以预测2024年新高考命题方向将继续以指对幂函数直接或间接命题来考查函数中的基本性质． 必备知识： 一．函数的概念 (一)函数定义域限制：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)①若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； ②已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. (7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． (二)函数的值域 1.求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 2.基本初等函数的值域 (1)的值域是． (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是． (4)且的值域是． (5)且的值域是． 3.区间：设，且，我们规定： 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 4.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 二．函数的性质 (一).函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 1．函数奇偶性的几个重要结论 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1. (3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (5)在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． (6)若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称； 若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于直线x=a对称． (7)奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D上有最值，则; (8)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即，其中：； (二).函数的周期性(差为常数有周期) 1.如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，就称函数y＝f(x)为周期函数， 称T为这个函数的周期。 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期． 3.周期性的几个常用结论 (1)，则. (2)，则. (3)，则； 则； (5)若,则T＝6a(a>0)． 4.函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数； 口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。) (1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． (3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|． 总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立． 5.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期 (1)单调区间：f(x)在区间与f(x)在区间上单调性相同。 (2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为； 如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为。 (三)函数的对称性(和为常数有对称) 1.函数自身的对称 (1)轴对称 ①如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． ②若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x) (2)函数的点(中心)对称 ①若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b 特例：若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) ②f(x＋a)+f(b－x)=c⇔y＝f(x)关于点对称 2.两个函数图象之间的对称 (1)若与关于直线对称，则； 特例：若与关于y轴对称，则； (2)若与关于直线对称，则； 特例：若与关于x轴对称，则； (3)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线对称； (4)函数f(x)与的图象关于直线x＝a对称； (5)若与关于点对称，则； 特例1：若与关于原点对称，则； 特例2：函数f(x)与＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称； (6)函数与其反函数图像关于直线对称； (四).函数的单调性: 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. 增函数 减函数 定义 函数f(x)定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 1.单调性、单调区间的定义 (1)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． (2)单调区间是定义域的子集，故应树立“定义域优先”的原则． (3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； (4)如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 2.函数单调性常用结论 (1)增函数与减函数形式的等价变形 y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0； y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0． (2)单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③增函数（↗）减函数（↘）未知(此时需要用导数判断) ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ (3)单调性的性质 ①函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． ②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． ③在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性． ④在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与单调性相反． 3.复合函数的单调性:复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关． 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”． 4.基本初等函数的单调性 (1)一次函数：(k) ①时，在上单调递增； ②时，在上单调递减； (2)反比例型函数： ①时，在及上均单调递减； ②时，在及上均单调递增； (3)二次函数： ①a＞0时，增区间为；减区间为； ②a时，增区间为；减区间为； (4)幂函数：在上的单调性 ①时，在上单调递增，且为上凹函数； ②时，在上单调递增，没有凹凸性； ③时，在上单调递增，且为上凸函数； ④时，没有单调性； ⑤时，在上单调递减； (5)指数函数：且a ①a时，在R上单调递增； ②时，在R上单调递减； (6)对数函数：且a ①a时，在R上单调递增； ②时，在R上单调递减； (7)对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0) ①当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数； ②当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数； (8)飘带函数：f(x)＝ax＋(ab＜0) ①当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； ②当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 5.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增则由； 在上是奇函数，且单调递减则由； ②在上是偶函数，且在单调递增则由； 在上是偶函数，且在单调递减则由； ③关于对称，且单调递增； 关于对称，且单调递减； ④关于对称，且在单调递增则由； 关于对称，且在单调递减则由； 三．抽象函数的模型 1.反比例函数模型 若；则，(其中均不为0) 2.一次函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 3.指数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 4.对数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 模型5：若，则； 5.幂函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 代入则可化简为幂函数； 6.余弦函数模型 模型1：若(不恒为0)，则； 模型2：若(不恒为0)，则； 模型3：若(不恒为0)，则； 7.正切函数模型 模型1：若，则； 四.函数图象 (一).函数图象变换 1.平移变换 ①把函数的图像沿轴向左平移个单位得到函数的图像； ②把函数的图像沿轴向右平移个单位得到函数的图像； ③把函数的图像沿轴向上平移个单位得到函数的图像； ④把函数的图像沿轴向下平移个单位得到函数的图像； 2.翻折变换 (1)的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 (2)的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 3.伸缩变换 ①将上每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②将上每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. (二).基本初等函数图象： 五.函数与方程 1．函数零点的定义：一般地，把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．函数零点存在性定理 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点， 注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提． (2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)． ①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个． 如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调． ②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点． 此时如果还有条件f(x)单调，那么“一定”没有零点． ③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号． 受函数性质与图象影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0． 3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的相互转化 函数为y＝f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，即f(x)与x轴交点的横坐标； 若f(x)＝g(x)－h(x)，则零点为g(x)＝h(x)的根，即g(x)与h(x)交点的横坐标． 4．常用结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 5.二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函 数零点的近似值. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间，验证，给定精度. (2)求区间的中点. (3)计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） (4)判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 题型一 函数的单调性 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T6】已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是；故选：B. 【2023新高考Ⅰ卷T4】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 【变式题 基础】 1.已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为在定义域上是增函数， 当时单调递增且，当时也单调递增， 所以，即，所以，即；故选：B 2.（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是；故选：B 3．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】若在上单调递增，则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增；故选：C. 【变式题 巩固】 1.已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由已知可得：，解得，即；故选：D. 2.（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数， 因此函数是R上的增函数，由，得，解得， 所以原不等式的解集是.故选：A 解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C， 对A：当时，，因为是R上的增函数，所以，故A成立；故选A． 3．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为函数在上单调递增， 所以，解得；故选：B. 【变式题 提高】 1.已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由已知可得：，解得，即实数的取值范围为．故选：A． 2.（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，定义域为，又，故为偶函数； 又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数； 又，故当时，， 则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数； ，即，则，即，， 也即，解得；故选：A. 3.（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若，则的图象为：可知在上单调递增； 若，则的图象为：可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件；故选：C． 4．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若，当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意，综上所述：；故选：D. 题型二 函数的奇偶性 【真题在线】 【2024天津卷T4】下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】对A，定义域为，但，，则，故A错误； 对B，定义域为，且，则为偶函数，故B正确； 对C，定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，，定义域为，因为，，则，故D错误；故选：B. 【2023新高考Ⅱ卷T4】若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ，故此时为偶函数.故选：B. 【2021新高考Ⅰ卷T13】已知函数是偶函数，则 . 【答案】1【解析】因为，故， 因为为偶函数，故，，整理得到， 故，故答案为：1 【变式题 基础】 1.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D．  【答案】C【解析】对于A，定义域为R，，是奇函数； 对于B，定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数； 对于C，定义域为， ，是偶函数； 对于D，定义域为R，，是奇函数．故选：C 2．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A【解析】的定义域为，， 由于为偶函数，故，即， 故，解得；故选：A 【变式题 巩固】 1.下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由奇偶性概念易知选B. 2.（2024·江苏·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则实数（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】C【解析】为奇函数，， ∴，即；∴，即，解得，故选：C． 3.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A【解析】由，得，因为为偶函数，所以， 即，所以，解得；故选：. 【变式题 提高】 1.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】对于A：为奇函数，故A错误； 对于B：定义域为，且，故为奇函数，即B错误； 对于C：定义域为，且，所以为奇函数，故C错误； 对于D：定义域为，且，为偶函数，故D正确；故选：D 2.已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C【解析】由题易知，即定义域为或． 又函数是偶函数，其定义域关于坐标原点对称，故．定义域为. 令，注意到，即是奇函数． 令，因为偶函数，则一定是奇函数， 则；所以，所以；故选:C． 题型三 函数性质综合 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T8】已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为当时，所以， 又因为，则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确；故选：B. 【2023新高考Ⅰ卷T11】已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC【解析】方法一：因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二：因为，对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误；故选：. 【2022新高考Ⅱ卷T8】函数定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质：因为， 令可得，，所以， 令可得，，即，所以函数为偶函数， 令得，，即有，从而可知， 所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数：由， 联想到余弦函数和差化积公式，可设， 则由方法一中知，解得，取，所以， 则， 所以符合条件，因此的周期，， 且，所以， 由于22除以6余4，所以．故选：A． 【2022新高考Ⅰ卷T12】函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以关于对称，即①， 所以，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，所以关于对称，，，由①求导，和，得， 所以关于对称，因为其定义域为R，所以， 从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足条件，则函数（C为常数）也满足条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法；由方法一知周期为2，关于对称，故可设， 则，显然A，D错误，选BC；故选：BC. [方法三]：因为，均为偶函数，所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导，所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误；故选：BC. 【2021新高考Ⅱ卷T8】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则关于对称， 因为函数为奇函数，则关于点对称，故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B. 【变式题 基础】 1.若函数满足，且当时，，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B【解析】依题意，因为，所以函数的周期为4， 所以；又因为，所以， 当时，，所以，所以；故选：B. 2.（2024·重庆·模拟预测）已知是周期为的函数，且都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由已知，即， 令，可知，即，又函数的周期为，则，故选：C. 3.（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C【解析】函数为奇函数，图象关于对称， 将函数向左平移一个单位可得函数，则函数关于对称， 所以函数的图象关于对称；故选：C. 4．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C【解析】，函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 【变式题 巩固】 1.在R上的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B【解析】由为偶函数，得关于直线对称； 由，得关于点对称，且； 有两个对称，故必为周期函数，且 所以，且； 由，故， 由，得,所以; 故；；故原式；故选B. 2．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为. 因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为， 所以不等式在R内的解为；故选：C 3．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D【解析】定义在上的函数周期为，所以， 又为奇函数，所以， 即，所以为奇函数，故B错误； 所以，则， 所以，则为奇函数，故D正确； 由，所以，则关于对称， 令，则，满足函数周期为， 且满足为奇函数， 但是为奇函数，故A错误； 令，则，满足函数周期为， 又满足为奇函数， 但是为偶函数，故C错误；故选：D 4．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D【解析】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则；因为为偶函数，所以， 所以的图象关于直线轴对称.由，得， 所以，则，则的周期为4， ，则；故选：D 5．（2024·四川·三模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】对于A，因为，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称，所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 令，由，所以，且， 令，由，由得，所以， 根据对称性，在单调递减，而，所以，因为函数的周期为， 所以，故A不正确； 对于B，由于，，在单调递减， 所以，所以，故B不正确； 对于C，又，， 根据图象在上单调递增，所以，故C不正确； 对于C，，且，因为， 所以，故， 因为在上单调递减，所以，故D正确．故选：D． 6．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为为奇函数，所以， 即，故的对称中心为，即， 由于函数与的图象关于直线对称，且关于的对称点为， 故的对称中心为；故选：D 【变式题 提高】 1.定义在上的函数满足，且当时，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由，令得：， 又， 反复利用可得：， 所以①， 再令，由 , 可求得, 同理反复利用可得：， 所以②，由①②可得：有； 因为当时，，而， 所以；故；故选：D. 2．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B【解析】由已知为偶函数，所以，又， 所以，所以，所以函数是周期为2的周期函数， 结合时，，故，故选：B. 3．（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】B【解析】由题意知，，， 令，则 显然时，不成立，故，故，则， 即6为函数的周期，则，故选：B 4．（2024·福建厦门·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A【解析】令，得，即， 令，得，得，所以函数为偶函数， 令，得，令，得， ，或，若，解得与已知矛盾， ，即，解得，， 令，得，，， ，，所以函数的周期为4；；故选：A. 5．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C【解析】，①；，即， 所以，所以函数的图象关于对称， 令，则，所以，令，，又，所以， 又，，② 即函数的图象关于直线对称， 且由①和②，得，所以，则的一个周期为4， 则，所以.故选：C 6．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 【答案】A【解析】令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，所以， 因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数， 由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减；故选：A. 7．（2024·安徽淮北·一模）定义在上奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为为奇函数且满足. 所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数. 因为,所以 所以. 故选：B 8．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为， 所以， 设，显然定义域为，， 又，所以为上的奇函数， 又，所以在上单调递增， 又，则，所以， 即，所以，解得， 则满足的的取值范围是．故选：C． 9．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，故，故， 因为是定义在上的奇函数，故，故，故， 故，此时，故为上的减函数， 而等价于， 即即，故或；故选：A . 10．（2024·广东·一模）已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（    ） A．202 B．204 C．206 D．208 【答案】C【解析】因为，所以①，即有②， 由①②得到，所以函数的周期为， 又是偶函数，所以，得到，即函数为偶函数， 又由，得到，，， 又，所以，故，故选：C. 11．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】B【解析】因为， 令，可得，则； 令，则，故的图象关于点对称， 则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确； 对于C，令，可得，则， 当时，，此时不可能是奇函数， 由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误； 对于AD，取，满足题意，但易知D错误；故选：B. 12．（2024·山东烟台·一模）上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】在上的奇函数满足，则， 于是，即函数的周期为4， 而，则，，又当时，， 所以；故选：A 13.（2024·山东济宁·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C【解析】因为函数定义域为，为奇函数，所以， 所以函数关于点中心对称，且， 因为为偶函数，所以，所以函数关于直线轴对称， 又因为，所以函数的周期为， 因为当时，，所以，， 所以；故选：C. 14.（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 【答案】AC【解析】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：，，则有，即， 由，，故，即，故B错误； 对C：令，则有，即，即， 又函数的定义域为，则函数的定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有，即， 即有，则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误；故选：AC 15．（2024·江西南昌·三模）已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（   ） A．的图象也关于直线对称 B．的图象关于中心对称 C． D． 【答案】BCD【解析】设关于直线对称，所以， ， 所以或， 当时，，的图象关于直线对称， 此时，， ∴， 当时，, ∴，∴， 又∵是一个定值，而随的不同而不同，∴此等式不成立，即不成立, ∴，即，所以的图象关于中心对称，B正确； ∴，，即，C正确. 与关于对称，∴，即，即， ∴，D正确， 又，则，即， ，而， 若A选项成立，则时，，所以 但此时，， 所以由可得，但这与已知矛盾， 所以的图象不可能关于直线对称，A错误；故选：BCD. 16．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD【解析】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称，所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以，故A不正确； 由于，，所以，故B正确； 又，， 所以，故C正确； ，且，因为，所以， 故，所以，故D正确；故选：BCD. 17．（2024·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 【答案】BCD【解析】对于A，定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误； 对于B，令，， 即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，，即， 两边求导得，即， 因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称， 由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称， 因此，D正确；故选：BCD 18．（2024·湖北荆州·三模）函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．关于中心对称 C．是周期函数 D．的解析式可能为 【答案】ACD【解析】由，且函数的定义域为， 对于选项A：令，，可得，且，可得，故A正确； 对选项C：令，则，则，即，可知为偶函数， 令，则，可知，， 可得，则，所以，可知周期为6，故C正确； 对于选项B：因为由于为偶函数且周期为6，则，不满足， 所以不关于中心对称，故B错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且， 即符合题意，所以的解析式可能为，故D正确；故选：ACD. 19．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【解析】对于A，令，则，即， 又函数不为常数，，即，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，得， 令，则，得，故B正确； 对于C，令，则，所以，即，故C错误； 对于D，令，则，所以，则，又， ， 当且仅当时等号成立，故D正确；故选：ABD. 20．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 【答案】BCD【解析】因为是偶函数，所以，所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确；故选:BCD 21．（2024·河北邢台·一模）已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 D． 【答案】AD【解析】由的图象关于直线对称,可知即所以图象关于轴对称,故A正确. 由可得又, 所以可知的图象关于对称， 所以，所以是周期为4的周期函数， 则故B错误. 当时, 又因为所以 即在区间上的解析式为故C错误. 因为，， 所以， 所以， 所以.故D正确；故选：AD. 题型四 函数图象 【真题在线】 【2024甲卷理T7文8】函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又，故可排除D；故选：B. 【变式题 基础】 1.函数图象大致是（     ） A． B． C． D．   【答案】C【解析】定义域为，，为偶函数，可排除B、D， 当时，有，故可排除A；故选：C. 2.已知函数，则的大致图像为（    ） A．B．C．D． 【答案】B【解析】，，，排除选项ABD；故选：C. 【变式题 巩固】 1.函数的部分图象大致为（    ） A．B． C． D．   【答案】A【解析】易知函数的定义域为，故可排除C，D； 又，所以可排除B，故选:A． 2．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由于的定义域为,又， 所以为奇函数，故可排除AB, 由于当时，，故排除C，故选：D 【变式题 提高】 1函数的部分图象为（    ） A． B．C．D． 【答案】D【解析】因为，所以，故排除A和B； 又，所以排除C，而D满足，故选：D． 2.将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为，所以， 选项A，因为，又，所以，故，根据图形知，选项A错误； 选项B，因为，所以，即不是偶函数，选项B错误； 选项C，因为，又，所以，故，根据图形知，选项C错误；综上可知选项D符合题意；故选：D. 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$