2.2 充分条件、必要条件、充要条件5题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 2.2 充分条件、必要条件、充要条件5题型分类 知识点1 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 注：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点2 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若，， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 注：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点3 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 注：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． （一） 1.判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2.充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 3.充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4.充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型1：充分条件与必要条件的判断 1-1．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-2．（2024高一上·上海浦东新·期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-3．（2024高一上·河北张家口·期中）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-4．（2024高三·河北·专题练习）一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（    ） A． B． C． D． 1-5．（2024高一上·四川攀枝花·阶段练习）设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1-6．（2024高一·全国·课后作业）若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1-7．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ （二） 根据充分条件、必要条件求参数取值范围 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 题型2：根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 2-1．（2024高一上·陕西安康·期末）已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合． 2-2．（2024高一上·上海徐汇·期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 2-3．（2024高一上·江苏南通·开学考试）已知 . (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 题型3：充要条件的应用 3-1．（2024高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 3-2．（2024高一上·全国·课后作业）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高三上·甘肃金昌·阶段练习）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 3-4．（2024高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （三） 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 题型4：探索命题为真的一个充分、必要、充要条件 4-1．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 4-3．（2024高一上·贵州·阶段练习）若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一·全国·专题练习）写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． （四） 充要条件的证明 （1）证明充分性； （2）证明必要性． 题型5：充要条件的证明 5-1．（2024高一上·上海长宁·期中）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 5-2．（2024高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 5-3．（2024高三·全国·对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 5-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是. 一、单选题 1．（2024高一上·湖南常德·阶段练习）命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·全国·单元测试）设：或；：或，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 4．（2024高二下·福建·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024高三上·江苏连云港·期中）设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 6．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合M，P，则“或”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024高一上·吉林辽源·期末）“ ”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．（2024高一上·云南·期末）已知、，且，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 9．（2024·北京·一模）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2024高一下·湖北黄冈·期中）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024高一上·北京西城·期中）设x＞0，y∈R，则“x＞|y|”是“x＞y”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024·山西·一模）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2024高一上·浙江·期中）设x为任一实数，[x]表示不大于x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 14．（2024高一上·河北张家口·期中）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一上·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一下·安徽·期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·四川绵阳·阶段练习）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 18．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题充要条件的是（    ） ，，， A．m B．n C．s D．t 19．（2024高一上·海南海口·阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一上·安徽六安·期中）命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ）． A． B． C． D． 21．（2024高一上·安徽芜湖·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，真命题的是（    ） A．若且则至少有一个大于 B． C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得 三、填空题24．（2024高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 25．（2024高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 26．（2024高一上·江苏·课后作业）如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则 （1）若是的充分不必要条件，则 ； （2）若是的必要不充分条件，则 ； （3）若是的充分必要条件，则 ； （4）若是的既不充分又不必要条件，则 . 27．（2024高一上·重庆渝中·期末）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为 . 28．（广东实验中学2023-2024学年高一下学期限时训练数学试题）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 29．（2024高一下·上海青浦·开学考试）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 30．（上海市徐汇区2023-2024学年高一上学期期末数学试题）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 31．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是 . 32．（2024高一上·上海长宁·阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 33．（2024高一·全国·单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件． 34．（2024高一上·天津和平·期中）已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ． 35．（2024高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 36．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 37．（2024高一上·全国·课后作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 38．（2024高一上·云南红河·期末）集合，. (1)当时，求； (2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围 条件①：是的充分条件； 条件②：； 条件③：. 注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 39．（2024高一·江苏·假期作业）已知，关于的方程有整数解是真命题，且关于的一元二次方程有整数解也是真命题，求的值． 40．（2024高一上·湖北·阶段练习）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？ 41．（2024高一上·全国·课后作业）已知或， 为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 42．（2024高一·全国·课后作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 43．（2024高一上·北京西城·阶段练习）已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 44．（2024高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合． (1)判断8、9、10是否属于集合A； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 45．（2024高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 46．（2024高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件. 47．（2024高一上·江西赣州·周测）在①是真命题；②是的充分不必要条件；③是真命题；这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合 (1)当时，求； (2)若_______，求实数的取值范围. 48．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 49．（2024高一上·安徽淮北·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 50．（2024高一上·全国·课后作业）（1）已知命题：方程有解，是真命题，求a，b满足的条件. （2）已知命题：若，则是假命题，求a满足的条件. 51．（2024高一下·安徽马鞍山·阶段练习）设，已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 52．（2024高一上·四川凉山·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 53．（2024高一上·河南安阳·开学考试）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 54．（2024高一上·广东梅州·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 55．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 56．（2024高一上·福建福州·期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 57．（2024高一·全国·课后作业）已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 58．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 2.2 充分条件、必要条件、充要条件5题型分类 知识点1 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 注：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点2 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若，， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 注：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点3 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 注：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． （一） 1.判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2.充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 3.充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4.充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型1：充分条件与必要条件的判断 1-1．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件必要条件的概念即得. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数，例如当时，， 所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：B. 1-2．（2024高一上·上海浦东新·期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若，令，满足，但； 若，则一定成立， 所以“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：B 1-3．（2024高一上·河北张家口·期中）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质知； 等腰梯形对角线也相等， 所以推不出， 所以是的充分不必要条件． 故选：A． 1-4．（2024高三·河北·专题练习）一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根， 所以，解得， 所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是. 故选：C. 1-5．（2024高一上·四川攀枝花·阶段练习）设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，判断“，都有”和“A是B的真子集”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由题意，都有可得A是B的子集，推不出A是B的真子集； 反之，A是B的真子集，则必有，都有， 故“，都有”是“A是B的真子集”的必要不充分条件， 故选：B 1-6．（2024高一·全国·课后作业）若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用题给条件判断出与的逻辑关系，进而得到正确选项. 【详解】若是的必要不充分条件，则，， 是的充分不必要条件，则， 则有，，则是的充分不必要条件， 故选：A． 1-7．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可. 【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误； 故选：B. （二） 根据充分条件、必要条件求参数取值范围 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 题型2：根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 2-1．（2024高一上·陕西安康·期末）已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解法解命题p可得A={－3,2}，B={x|mx＋1＝0}，结合必要条件的定义可得B⊆A，分类讨论B的情况即可求值. 【详解】条件p：{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}＝A，条件q：{x|mx＋1＝0}＝B， 因为p是q的必要条件，所以B⊆A. 所以或{－3}或{2}． 当m＝0时，满足题意． 当m≠0时， 若B＝{－3}，则－3m＋1＝0，解得m＝. 若B＝{2}，则2m＋1＝0，解得m＝－. 综上可得，m的取值集合是. 2-2．（2024高一上·上海徐汇·期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得推得出，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为，且是的充分条件， 即推得出，所以. 故答案为： 2-3．（2024高一上·江苏南通·开学考试）已知 . (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不存在 (2) 【分析】 （1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数. （2）要使是的必要条件，则，根据集合关系可求得实数的范围. 【详解】（1）要使是的充要条件，则 即，此方程组无解. 所以不存在实数，使是的充要条件. （2）要使是的必要条件，则， 当时，，解得 当时，，解得 要使，则有，解得，所以 综上可得，当时，是的必要条件. 题型3：充要条件的应用 3-1．（2024高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 3-2．（2024高一上·全国·课后作业）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简不等式为m-1<x<m+1，再由题意知，且，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】不等式-1<x-m<1等价于：m-1<x<m+1， 由题意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件， 所以，且， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：B. 3-3．（2024高三上·甘肃金昌·阶段练习）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意确定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到关于a的等式，求得答案. 【详解】p：，即或，q：∵，∴， 由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件， 则，或，解得，或， 故选：D. 3-4．（2024高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由已知得，分为或两种情况来讨论，建立不等式（组），求解可得出实数的取值范围. （2）由已知可得，根据集合相等建立不等式组可得结论. 【详解】（1）集合，集合. 因为是的充分条件，所以， ∴集合可以分为或两种情况来讨论： 当时，满足题意，此时，解得：； 当时，要使成立， 需满足， 综上所得，实数的取值范围. （2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么， 则必有，解得，综合得无解. 故不存在实数，使得， 即不存在实数，使得是的充要条件. 【点睛】本题考查充分必要条件，集合间的关系，根据集合间的关系求参数的范围，属于中档题. （三） 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 题型4：探索命题为真的一个充分、必要、充要条件 4-1．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 4-2．（2024高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 4-3．（2024高一上·贵州·阶段练习）若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，以此判断选项是否满足条件. 【详解】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集， 对于选项A，不是的子集，故A不满足； 对于选项B，不是的子集，故B不满足； 对于选项C，不是的子集，故C不满足； 对于选项D，不是的子集，故D满足. 故选：D 4-4．（2024高一·全国·专题练习）写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 【答案】 【分析】将化简即可得到答案. 【详解】将等式整理得， 即，即． 故原式的等价于：． 故答案为： （四） 充要条件的证明 （1）证明充分性； （2）证明必要性． 题型5：充要条件的证明 5-1．（2024高一上·上海长宁·期中）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【答案】证明见解析. 【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可. 【详解】充分性： 若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立； 必要性：由于等式对任意实数恒成立， 分别将，，代入可得， 解得，必要性成立， 故等式对任意实数恒成立的充要条件是. 5-2．（2024高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性. 【详解】充分性：∵， ∴方程的判别式，且， ∴方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 5-3．（2024高三·全国·对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【答案】答案见详解 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程与有公共根的条件，然后证明充分性即可. 【详解】必要性： 设方程与的公共根为， 则，， 两式相加得（舍去）， 将代入， 得， 整理得. 所以. 充分性： 当时，， 于是等价于， 所以， 该方程有两根，. 同样等价于， 所以， 该方程亦有两根，. 显然，两方程有公共根. 故方程与有公共根的充要条件是. 5-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件定义证明即可. 【详解】因为，所以函数图像的对称轴方程为直线，且，所以. 先证充分性:因为，且，所以. 再证必要性:因为，所以只需即可.即，从而.综上可知， 对于任意，均有成立的充要条件是. 一、单选题 1．（2024高一上·湖南常德·阶段练习）命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为在上恒成立，可求出结果. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以在上恒成立， 所以，即， 所以命题“”是真命题的充要条件是. 故选：C 2．（2024高一上·全国·单元测试）设：或；：或，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别写出对应的取值范围，再由范围大小即可确定选项. 【详解】根据题意可得，， 易知是的真子集，所以， 因此，是的充分不必要条件. 故选：A 3．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 【答案】B 【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论． 【详解】对于A选项，，解得：或， 所以，但， 故为的充分不必要条件，故A错误； B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确； C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误； D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等， 但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等， 例如：中，，斜边， 中，，则斜边， 故为的必要不充分条件． 故选：B． 4．（2024高二下·福建·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得，由可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（2024高三上·江苏连云港·期中）设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 【答案】B 【分析】将化简，可得到其等价命题，即可得答案. 【详解】因为即，即， 即等价于且， 故“”的充要条件是都不为1， 故选：B. 6．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合M，P，则“或”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】或即，再利用与之间的关系即可判断出结论. 【详解】由或得，又，∴或不能推出，能推出或. 则“或”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 7．（2024高一上·吉林辽源·期末）“ ”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】取满足，不满足，不充分；当时，一定成立，必要，得到答案. 【详解】取满足，不满足，不充分； 当时，一定成立，必要. 故“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．（2024高一上·云南·期末）已知、，且，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】取，，则，但，即“”“”； 取，，则，但，即“”“”. 所以，“”是“”成立的既不充分也不必要条件，C对. 故选：C. 9．（2024·北京·一模）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，则有 ， ，所以 是 的充分条件； 反之，如果 ，比如 ，则有， 根据定义， ，即不是必要条件， 故是 的充分不必要条件； 故选：A. 10．（2024高一下·湖北黄冈·期中）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，解得，即可判断出结论． 【详解】由，可得，解得， 因为，所以是“”的充分不必要条件. 故选：A． 11．（2024高一上·北京西城·期中）设x＞0，y∈R，则“x＞|y|”是“x＞y”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分、先判断是否满足充分性，再判断是否满足必要性，即可得答案. 【详解】解：当时，由x＞|y|可得； 当时，由x＞|y|可得； 故充分性满足； 当时，由可得； 当时，由，x＞0，不可得，如，但， 故必要性不满足； 所以“x＞|y|”是“x＞y”的充分不必要条件. 故选：A. 12．（2024·山西·一模）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 故选：A 13．（2024高一上·浙江·期中）设x为任一实数，[x]表示不大于x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】充分性：当，时，但，，充分性不成立. 必要性：设，令，则，， 由此可得，即，必要性成立. 故”是“的必要不充分条件. 故选:C 14．（2024高一上·河北张家口·期中）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果. 【详解】命题“”为真命题，可化为“”恒成立， 即只需， 所以命题“”为真命题的一个充要条件是， 而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集， 由选项可知A符合题意. 故选:A. 15．（2024高一上·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出成立的充要条件为：，再由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】解：由，可得， 所以，解得， 即成立的充要条件为：， 对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件； 对于B，由，得，是“”成立的充要条件； 对于C，是 “”成立的必要不充分条件； 对于D，，得或，是 “”成立的既不充分也不必要条件. 故选：C. 16．（2024高一下·安徽·期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可. 【详解】因为为真命题，所以或， 对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对， 对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错， 对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错， 对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错， 故选：A 17．（2024高一上·四川绵阳·阶段练习）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可. 【详解】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意； 对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意； 对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意； 对于④，若，则，故④符合题意. 故选：D. 二、多选题 18．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题充要条件的是（    ） ，，， A．m B．n C．s D．t 【答案】AC 【分析】把条件具体化，结合充要条件即可作出判断. 【详解】解：由得图， 对于A，，易知等价于，m是p的充要条件； 对于B，，易知等价于，n不是p的充要条件； 对于C，，易知等价于，s是p的充要条件； 对于D，M、N是全集I的真子集，不成立，t不是p的充要条件. 故是p的充要条件的有m，s， 故选：AC. 19．（2024高一上·海南海口·阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据是的充分不必要条件可得，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则，故， 故a的值可取， 故选：BCD. 20．（2024高一上·安徽六安·期中）命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由方程的一个实根大于1，另一个实根小于1，求出的取值范围，然后再利用充分不必要条件的定义分析判断即可. 【详解】令， 因为一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1， 所以，所以，解得， 所以命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件为的一个真子集即可， 所以AC符合条件， 故选：AC. 21．（2024高一上·安徽芜湖·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【详解】由题意，不等式， ，解得， 故不等式的解集为：， 则其一个充分不必要条件可以是，或. 故选：CD. 22．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解． 【详解】解：因为集合或， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，若，则，解得， 又，则， 则的充要条件为， 所以的必要不充分条件可能是，， 故选：AB． 23．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，真命题的是（    ） A．若且则至少有一个大于 B． C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得 【答案】ABD 【分析】假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断A；可判断B；取时可判断C；取可判断D. 【详解】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确； 对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确； 对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误； 对于D，当，此时，所以至少有一个实数， 使得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 24．（2024高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 25．（2024高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 26．（2024高一上·江苏·课后作业）如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则 （1）若是的充分不必要条件，则 ； （2）若是的必要不充分条件，则 ； （3）若是的充分必要条件，则 ； （4）若是的既不充分又不必要条件，则 . 【答案】   不是B的子集，且也不是A的子集 【分析】根据充分条件、必要条件，充分必要条件和既不充分也不条件与集合间的关系，即可求解. 【详解】（1）根据充分不必要条件与集合间的包含关系，可得； （2）根据必要不充分条件与集合间的包含关系，可得； （3）根据充分必要条件与集合间的包含关系，可得； （4）根据既不充分也不必要条件与集合间的关系，可得不是B的子集，且也不是A的子集. 27．（2024高一上·重庆渝中·期末）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为 . 【答案】[0，3] 【分析】用集合的思想来分析充分不必要条件即可求解. 【详解】由得， ∵的充分不必要条件是 ∴，解得，经检验或3均满足条件， 故答案为：. 28．（广东实验中学2023-2024学年高一下学期限时训练数学试题）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先化简命题、，分别记所对应的不等式的解集为、，依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】由，解得，即，记； 由，解得， 即，记， 因为是的充分不必要条件，所以，即， 解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 29．（2024高一下·上海青浦·开学考试）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解. 【详解】因为命题“”是命题“”的充分不必要条件， 所以集合真包含于集合， 又集合，集合， 所以. 故答案为： 30．（上海市徐汇区2023-2024学年高一上学期期末数学试题）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m的取值范围. 【详解】设，因为是的充分条件，所以集合是集合的子 集，所以. 故答案为： 31．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由为假命题得出的范围，再根据是为假命题的充分不必要条件列出关于的不等式解之即可. 【详解】由方程有实数根可得，即， 为真命题，即为假命题， 所以 ， 根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 32．（2024高一上·上海长宁·阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据“或”是“”的必要不充分条件，得到不等式组，解出即可． 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则是或的真子集， 或， 解得：或， 故答案为：． 33．（2024高一·全国·单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件． 【答案】充分必要 【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果. 【详解】若，则，则，故成立， 若，则，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充分必要 34．（2024高一上·天津和平·期中）已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a． 设， 若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 35．（2024高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解. 【详解】由，解得，记， 由，解得，记， ∵“”是“”的充分非必要条件， ∴真包含于，即，解得. 故答案为： 四、解答题 36．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：先证充分性：，讨论： i当，继续讨论： ①时，，，所以； ②时，，，所以； ③时，所以； 当时，有成立 ii当，即或 ①当时， ②当时，，， 再证必要性：，两边平方有： ，， 综上：成立的充要条件是. （2）因为， 所以成立的充要条件. 37．（2024高一上·全国·课后作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论． 【详解】解：先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 38．（2024高一上·云南红河·期末）集合，. (1)当时，求； (2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围 条件①：是的充分条件； 条件②：； 条件③：. 注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义求解； （2）根据相关的定义求解. 【详解】（1）当时， ， 则； （2）若选①，则有，即； 若选②，则有； 若选③，则有. 39．（2024高一·江苏·假期作业）已知，关于的方程有整数解是真命题，且关于的一元二次方程有整数解也是真命题，求的值． 【答案】m＝1. 【分析】当时，不符合题意，当时，结合二次函数的判别式，即可求解． 【详解】当时，方程的解为， 方程的解为，不合题意， 故，当时， 关于的方程有解， 则，解得， 关于的一元二次方程有解， 则，解得， 综上所述，且， 因为，则或1， 当时，方程的解不是整数，不符合题意，舍去， 当时，方程和的解均为整数，满足题意， 故． 40．（2024高一上·湖北·阶段练习）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？ 【答案】答案见解析 【分析】选择条件①，根据是的真子集列不等式求解；选择条件②：根据是的真子集列不等式求解；选择条件③：根据列方程组求解. 【详解】因为集合非空，所以， 选择条件①： 因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集， 所以（两个等号不同时取到）， 解得， 故实数的取值范围是. 选择条件②： 因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，     所以有且（两个等号不同时取到）， 解得. 综上，实数的取值范围是. 选择条件③： 因为是的充要条件，所以有且， 即，此方程组无解， 则不存在实数，使得是的充要条件. 41．（2024高一上·全国·课后作业）已知或， 为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，转化为是的非空真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意知，或，为非空集合)， 因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集， 可得或，解得或， 所以实数的取值范围是. 42．（2024高一·全国·课后作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】由题意可得是的真子集，从而有或，求解即可. 【详解】因为p是q的必要不充分条件， 所以是的真子集， 故有或 解得. 又，所以实数m的取值范围为． 43．（2024高一上·北京西城·阶段练习）已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】把p是q成立的充分不必要条件，转化为集合A是B的真子集即可． 【详解】设，， ∵p是q成立的充分不必要条件，∴A是B的真子集， 则或，解得． ∴m的取值范围是． 44．（2024高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合． (1)判断8、9、10是否属于集合A； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的定义即可判断； （2）由即可证明. 【详解】（1）∵，，∴，， 假设，m，， 则，且， ∵，或， 显然均无整数解，∴， ∴，，. （2）∵集合， 则恒有，∴， ∴即一切奇数都属于A， 又∵，， ∴“”的充分不必要条件是“”. 45．（2024高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可； （2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性. 【详解】（1）由已知，集合，所以集合． 因为“，”为假命题，所以． 当时，，解得； 当时，要使，则，，且，， 即，解得或或或． 综上，实数m的取值范围为． （2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时，，方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集，则至少有1个元素， 方程有解，，解得或， 必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是或． 46．（2024高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件. 【答案】 【分析】依题意方程至少有一个非负根，则，即可求出参数的取值范围，再求出方程有两个负根时参数的取值范围，从而求出方程至少有一个非负根的的取值范围，即可得解； 【详解】解：的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得. 上述方程有两个负根的充要条件是且，即， ∴. 于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是. 故的充要条件为. 47．（2024高一上·江西赣州·周测）在①是真命题；②是的充分不必要条件；③是真命题；这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合 (1)当时，求； (2)若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由交集的运算即可得到结果； （2）根据题意，若选择①，则；若选择②，则；若选择③，则， 分别列出不等式即可得到结果. 【详解】（1）当时，集合，则； （2）若选择①是真命题，则可得， 由题可知，则，解得； 若选择②是的充分不必要条件，则可得， 由题可知，则或，解得； 若选择③是真命题，则可得， 当时，可得或，解得或， 所以当时，则. 48．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 49．（2024高一上·安徽淮北·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【详解】（1）由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得． 由实数的取值范围为． 50．（2024高一上·全国·课后作业）（1）已知命题：方程有解，是真命题，求a，b满足的条件. （2）已知命题：若，则是假命题，求a满足的条件. 【答案】（1）时，或当时，；（2） 【分析】（1）分别讨论和时一元方程有解的a，b满足的条件； （2）由题意得当时，，即0，根据不等式的性质即可求得a满足的条件. 【详解】（1）有解 当时，有解，只有时方程的解为. 当时，方程有解的条件是，即; 综上，时，或当时，方程有解； （2）当时，是假命题， 当时，，即0, ，,. . 51．（2024高一下·安徽马鞍山·阶段练习）设，已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案； （2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围. 【详解】（1）由题可得，则； （2）由题可得是的真子集， 当，则； 当，，则（等号不同时成立），解得 综上：. 52．（2024高一上·四川凉山·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求两个集合，再求交集； （2）若选择①，则，再分集合和，两种情况，列式求解； 若选择②，则，列式求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以 （2）若选择条件①，由且得：， 当时，，即； 当时，，即 或，即或， 所以或， 综上所述：的取值范围为：或． 若选择条件②，由“”是“”的必要条件得：， 即，所以． 53．（2024高一上·河南安阳·开学考试）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 54．（2024高一上·广东梅州·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可； （2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可 【详解】（1）当时，集合， 因为，所以. 所以， （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以是的真子集，而不为空集， 所以，因此. 55．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【答案】，证明见解析. 【分析】根据所给条件类比勾股定理得到，由充分性与必要性证明，证明过程作出辅助图形利用勾股定理求证即可. 【详解】.证明如下： 充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形， ，最大，即，， 过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D， 由勾股定理，得 ，与已知矛盾， △ABC为锐角三角形. 必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A 作BC的垂线，垂足为D， 由勾股定理知，得 . 综上，为锐角三角形的一个充要条件为. 56．（2024高一上·福建福州·期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证. 【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下： 当时，， 所以方程有两个不相等的实根， 设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根， 故充分性成立， 必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下： 设方程一正一负根分别为，，则， 所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则， 故必要性成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 57．（2024高一·全国·课后作业）已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【答案】证明见解析. 【分析】由a＋b＝1结合完全平方和公式证明充分性，利用完全平方和公式，提公因式对a2＋b2－a－b＋2ab＝0进行变形，结合a＋b≠0证明必要性. 【详解】证明：先证充分性： 若a＋b＝1 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立． 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0 因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0 即a＋b＝1，成立 综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，属于中档题. 58．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，即当时，方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性，方程有两个同号且不相等的实根，则． 【详解】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$