3.1.3 组合与组合数（第2课时 组合数的应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.3　组合与组合数 第2课时　组合数的应用 课标定位素养阐释 1.能用组合知识解决一些简单的组合问题. 2.能综合运用排列与组合知识解决实际问题. 3.提升数学抽象、数学建模与数学运算素养. 自主预习 新知导学 组合数的应用 1.解决组合问题的方法 (1)对于简单的无限制条件的组合问题,直接用组合数公式进行计算. (2)对于有限制条件的组合问题,基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”的原则,即优先安排特殊元素,再安排其他元素.而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键. 2.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生、3名女生,现从中选3人参加某项翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A.45种 B.56种 C.90种 D.120种 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是72.( × ) (2)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为180.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 简单的组合问题 【例1】 一个口袋内装有除颜色外完全相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解简单的组合应用题时,要注意基本计数原理的运用,即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜,7种不同的素菜,用餐者可以按下述方法之一搭配午餐:(1)任选2种荤菜、2种素菜和白米饭;(2)任选1种荤菜、2种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 答案:A 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 分组、分配问题 【例2】 6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (3)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (4)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于组合问题,常见的分组问题有三种: ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等; ②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于排列问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方案共有　　　　　种.(用数字作答)  答案:140 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 排列、组合的综合应用 【例3】 有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学等5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的方法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表; (4)某女生一定担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点: (1)审清题意,区分哪一步是排列,哪一步是组合; (2)综合问题往往会有多个限制条件,应认真分析确定分类还是分步. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 有6名男医生、4名女医生,从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区(记为A,B,C,D,E)巡回医疗,但规定男医生甲不能到A地区,则共有多少种不同的分派方案? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 不理解平均分组而致误 【典例】 有6本不同的书,平均分成3份,每份2本,有多少种不同的分法? 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 “分组”和“分配”是两类不同的问题.“分组”没有顺序,而“分配”有顺序.故对均匀分组问题要注意“消去顺序性”所带来的数据的变化. 防范措施 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑选5名选手参加比赛,种子选手必须都在内,则不同的选法共有(　　) A.26种 B.84种 C.35种 D.21种 解析:依题意,不同的选法共有 =35种. 答案:C 2.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别顺次一个比一个矮,这样的排法种数是(　　) A.5 040 B.36 C.18 D.20 解析:最高的同学站中间,从余下6人中选3人,这3人在一侧只有一种排法,另3人在另一侧也只有一种排法,因此排法有 =20种. 答案:D 3.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项工作,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(　　) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 答案:D 答案:ABC 5.甲、乙、丙三名同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有　　　　　种.(用数字作答)  答案:96 6.从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有　　　　　种.(用数字作答)  答案:16 解:(1)从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是=56. (2)可以分成两步来完成:第一步,取出1个黑球,有种方法;第二步,从7个白球中取出2个,有种方法.因此取法种数是=21. (3)由于取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,因此取法种数是=35. 解析:由分类加法计数原理,知两类配餐的搭配方法之和即为所求,因此每天不同午餐的搭配方法共有+4×=210种. 解:(1)可以分成三步:第一步,从6本书中选2本给甲,有种方法;第二步,从其余的4本书中选2本给乙,有种方法;第三步,从余下的2本书中选2本给丙,有种方法. 因此不同的分法有×1=90种. (2)依题意,一共有=6××1=60种分法. (3)在(2)的基础上,将分好的三份分给甲、乙、丙三人,有种方法,所以一共有=6××1×3×2×1=360种分法. (4)可以分为三类情况:①“2,2,2型”,即(1)中的分配情况,有=90种分法;②“1,2,3型”,即(3)中的分配情况,有=360种分法;③“1,1,4型”,有=90种分法. 所以一共有90+360+90=540种分法. 解析:安排方案分为两步完成:第一步,从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动,有种方法;第二步,从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动,有种方法.故不同的安排方案共有×4=140种. 解:(1)可以分两步来完成:第一步,选出5人,分成两种情况,即2女3男和1女4男,有种方法;第二步,选出的5人担任不同学科的课代表,有种方法. 因此共有(=5 400种方法. (2)分两步来完成:第一步,去除该女生后选出4人,有种方法;第二步,选出的4人分别担任除语文之外的4门不同学科的课代表,有种方法. 因此共有=840种方法. (3)分三步来完成:第一步,去除该男生后选出4人,有种方法;第二步,对该男生进行分配,从除数学之外的4门学科中选1科,有种方法;第三步,选出的4人分别担任剩下的4门不同学科的课代表,有种方法. 因此共有=3 360种方法. (4)分三步来完成:第一步,从去除该男生、该女生的6人中选3人,有种方法;第二步,安排该男生,有种方法;第三步,选出的3人分别担任剩下的3门不同学科的课代表,有种方法. 因此共有=360种方法. 解:分两类来完成: 第一类,甲被选中,有种分派方案; 第二类,甲未被选中,有种分派方案. 根据分类加法计数原理,共有=5 760+7 200=12 960种分派方案. 错解:分三步来完成:第一步,从6本书中任意选出2本,有种方法;第二步,从剩下的4本书中任意选出2本,有种方法;第三步,剩下的2本书恰好分成一份,有种方法.因此共有=90种方法. 提示:平均分组没有顺序,错解中每种分组方法都计算了次,需除以. 正解:依题意,共有=15种方法. 解析:依题意,不同的安排方式共有=36种. 4.(多选题)下列等式正确的是(　　) A. B. C. D. 解析:A是组合数公式;B,C是组合数性质;,两者不相等,故D错误. 解析:甲选修2门,有=6种选法,乙选修3门,有=4种选法,丙选修3门,有=4种选法,故不同的选修方案共有6×4×4=96种. 解析:有1名女生入选,有=12种选法; 有2名女生入选,有=4种选法. 故不同的选法共有12+4=16种. $$