3.1.3 组合与组合数（第1课时 组合与组合数、组合数的性质）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数、组合数的性质 课标定位素养阐释 1.通过实例,理解组合的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式. 3.体会数学抽象的过程,提升数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、组合与组合数 1.(1)从3,5,7,11中任取两个数相除,不同的商有多少种? (2)从3,5,7,11中任取两个数相乘,不同的积有多少种? 以上两个问题中哪个是排列?(1)与(2)有何不同特点? 提示:(1)是排列.(1)中选取的两个数是有序的,(2)中选取的两个数是无序的. 2.(1)一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. (2)组合数: 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号 表示. 二、组合数公式 1.从1,3,5,7中任取两个数相除. (1)可以得到多少个不同的商? (2)如何用分步乘法计数原理求商的个数? (4)你能把问题(3)的结论推广到一般吗? 提示:可以,考虑到从n个不同对象中取出m个做排列,可以分成两个步骤完成: 2.组合数及其性质 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)从甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名学生,有多少种不同的选法属于组合问题.( √ ) (3)甲、乙、丙、丁四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场属于排列问题.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 组合概念的理解 【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题. (1)10个人相互各写一封信,共写多少封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)从10个人中选3个代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选3个人分别担任3个不同学科的代表,有多少种选法? 解:(1)是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的. (2)是组合问题.因为两人之间通一次电话没有顺序的区别. (3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题.因为3个人中,每个人担任哪一学科的代表是有顺序区别的. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 区分排列与组合的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:先把问题的一个选择结果写出来,再交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否产生新的变化.若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的结果. (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少? (2)某小组有9名同学,若从中选出正、副组长各一人,则有多少种不同的选法?若从中选出2名同学参加某项比赛,则有多少种不同的选法? 解:(1)集合中的元素是无序的,一个含三个元素的子集就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题,故满足条件的子集的个数是 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究二 与组合数有关的计算和证明 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究三 解组合数方程或不等式 可得n2-11n-12<0,解得-1<n<12. 又n∈N+,且n≥5,所以n=5,6,7,8,9,10,11. 所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 1.解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误,注意不要忽略n∈N+. 2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质.求解时,要注意由 中的m∈N+,n∈N+,且n≥m确定m,n的取值范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 化简整理,得n2-3n-54=0,解得n=9或n=-6(不符合题意,舍去),所以n=9. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【易错辨析】 忽视组合数中参数的限制条件而致误 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:这是一个含有组合数符号的关于m的方程.错解中,转化为关于m的一元二次方程后,忽略了m的取值范围,导致出错. 因为m≤5,所以m=21不符合题意,舍去,所以m=2. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 防范措施 解这类题时,要将 中m,n的取值范围与方程的解综合考虑,可以先解方程,后验根. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 随堂练习 1.(多选题)下列问题是组合问题的是(　　) A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加跳远和跳高2项比赛,有多少种不同的选法? B.有4本相同的笔记本,要给7人中的4人,有多少种不同的方法? C.在一次射击训练中,某运动员射击8次,击中目标4次,不同的结果有多少种? D.把3本不同的书送给3名同学,有多少种不同的送法? 答案:BC 2.若集合M={x| ≤21},则集合M中的元素共有(　　) A.1个 B.3个 C.6个 D.7个 答案:C A.3或5 B.3或4 C.5 D.15 解析:由题意及组合数的性质,得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5.故选A. 答案:A 答案:1 275 整理得(x-3)(x-6)=40. 解得x=11或x=-2(舍去). 经检验x=11符合题意, 所以方程的解为x=11. 提示:可以得到=4×3=12个不同的商. 提示:可以分两步来完成:第一步,从这四个数中任取两个数,有种方法;第二步,将每个组合中的两个数排列,有种排法.因此可得商的个数为. (3)由问题(1)、问题(2)你能得出计算的公式吗? 提示:能.因为,所以=6. 第一步,从n个不同对象中选出m个,有种选法; 第二步,将选出的m个对象做全排列,有种排法. 由分步乘法计数原理可知,因此. 组合数 公式 性质 备注 = 1 ;= n ;= 1 (2)若,则x=m.( × ) =10. (2)因为选正、副组长时要考虑顺序,所以是排列问题,所以不同的选法有=72种.因为选2名同学参加某项比赛不用考虑顺序,所以是组合问题,所以不同的选法有=36种. 【例2】 (1)计算:; (2)求证:. (1)解:原式=-7×6×5=210-210=0. (2)证明:因为右边==左边, 所以原式成立. 1.涉及具体数字的可以直接用公式计算. 2.涉及字母的可以用阶乘式计算. 3.计算时应注意利用组合数的两个性质: (1); (2). 【变式训练2】 计算:(1); (2)+…+. 解:(1)原式=×1==56+4 950=5 006. (2)原式=+…+-1=+…+-1=… =-1=329. 【例3】 若,求n的取值集合. 解:由已知得, 【变式训练3】 求中的n的值. 解:由已知得+1=,即,即, 【典例】 已知,求m的值. 错解:由已知得,即60-10(6-m)=(7-m)(6-m),即m2-23m+42=0,解得m=21或m=2. 正解:由已知得,即m2-23m+42=0,解得m=21或m=2. 解析:∵=1,=7,=21,=35,∴x=0,1,2,5,6,7.故选C. 3.若,则n的值为(　　) 4.计算:=　　　　　.  解析:=1 275. 5.解方程:3=5. 解:原方程可变形为3=5, 即=5(x-4)(x-5), $$