第1—2章 阶段性综合练习题 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2024-2025学年北师大版九年级数学上册《第1—2章》阶段性综合练习题（附答案） 一、选择题（共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．（x﹣2）2+4＝x2 B． C．x2+2x+2＝0 D．xy+2＝1 2．在下列命题中，正确的是（　　） A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　） A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，∠BEC＝56°，则∠DEF的度数为（　　） A．16° B．15° C．14° D．13° 5．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根是x＝5，m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．35 6．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，OE⊥OF交AB边于点F，点G，F关于直线AC的对称点，点E从点C运动到点B时（　　） A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．一直不变 D．不确定 7．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m≠1 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1 8．如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°1AD＝（　　） A．48° B．66° C．72° D．78° 9．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，列方程为（　　） A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣x）＝600 10．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，AD＝5+，则四边形EFGH的周长为（　　） A．4（2+） B．4（+1） C．8（+） D．4（++2） 二、填空题（共18分） 11．如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，则△ABD的周长是 　 　． 12．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则式子的值为 　 　． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，F为DE上一动点，连接PC，则PC的最小值是 　 　． 14．小明用直接降次法解方程（x﹣4）2＝（5﹣2x）2时，得出一元一次方程x﹣4＝5﹣2x，则他漏掉的另一个方程为 　 　． 15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AC＝DF，CE＝5，则AE＝　 　． 16．如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，过点A作FE的垂线，垂足为点H，则CE的长为 　 　． 三、解答题（共72分） 17．用适当的方法解下列方程． （1）x2﹣4x+1＝0； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）； （3）x2﹣6x＝3； （4）5（x﹣7）2＝4（x﹣7）． 18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CB＝CD，点E是CD上一点，连接DF （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）试探究BE满足什么条件时，∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 19．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为边BC上一点，∠EAO＝15°． （1）判断△AOB的形状并说明理由； （2）求出∠AEO的度数． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有x1，x2两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x1＝1，求x2及m的值； （3）是否存在实数m，满足m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4？若存在，求出实数m的值；若不存在 21．在平行四边形ABCD中，点P是AB上一点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于点E （1）如图1，若∠EBC＝∠EPA，EC平分∠DEB （2）如图2，对角线AC与BD交于点O，当P是AB的中点时（其中不含以AD为边的三角形）． 22．奥运会是各个国家彰显国家实力的舞台．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行．本次运动会的两个可爱的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”以满满的“未来感”和“中国风”圈粉无数．某商家购进了两种类型的冬奥吉祥物纪念品，两次购进纪念品的情况如表： 进货批次 “冰墩墩”类纪念品（个） “雪容融”类纪念品（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求两种类型的纪念品每个进价各是多少元？ （2）在销售过程中，“冰墩墩”类纪念品因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，每天可以售出20个，每降价1元，每天售出此类纪念品能获利400元？ 23．小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝40°，AB＝CD，AD＝2，求四边形ABCD的面积． 经过思考小明想到如下方法： 以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心顺时针旋转90°，180°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，则四边形ADEF是 　 　（填一种特殊的平行四边形） ∴S四边形ABCD＝　 　． 解决问题：如图3，四边形ABCD，∠BAD＝140°，AB＝CD，AD＝6，则四边形ABCD的面积为 　 　． 24．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm2cm． （1）当x为何值时，点的运动停止？ （2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由． （3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？ 25．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系； 【思考尝试】 （1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形 【实践探究】 （2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，连接CP，可以求出∠DCP的大小 【拓展迁移】 （3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值． 参考答案 一、选择题（共30分） 1．解：A．（x﹣2）2+5＝x22整理可得4x+8＝5，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．是分式方程，故本选项不符合题意； C．x2+8x+2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意； D．xy+4＝1＝0，不是一元二次方程． 故选：C． 2．解：A、有一组对边平行的四边形可能是梯形，故A不符合题意； B、命题正确； C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D不符合题意． 故选：B． 3．解：方程整理得：3x2﹣7x﹣2＝0． 故选：B． 4．证明：∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝20°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC，∠BEA＝∠BEC＝56°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝140°， △ABE中，∵∠ABE＝20°， ∴∠BAE＝180°﹣20°﹣56°＝104°， ∴∠EAF＝140°﹣104°＝36°， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE＝36°， ∴∠AEF＝180°﹣36°﹣36°＝108°， ∴∠DEF＝180°﹣56°﹣108°＝16°． 故选：A． 5．解：将x＝5代入原式中，得： 53﹣2×5﹣m＝4， 解得：m＝15． 故选：C． 6．解：连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOE+∠EOC＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠FOB＝90°， ∴∠FOB＝∠EOC， 在△FOB和△EOC中， ， ∴△FOB≌△EOC， 同理，△HOD≌△GOC， ∴图中阴影部分的面积＝△ABD的面积＝×正方形ABCD的面积， 故选：C． 7．解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣8x+1＝0有两个实数根， ∴， 解得：m≤2且m≠1． 故选：D． 8．解：根据题意可得：∠BAD＝∠BAD1， ∵矩形纸片的对边平行，即ED∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝36°， ∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°， ∴∠BAD1＝∠BAD＝144°， ∴∠D3AD＝360°﹣∠BAD1﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°． 故选：C． 9．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600． 故选：C． 10．解：如图1， Rt△PMN中，∠P＝15°，∠MQN＝30°， 设MN＝1，则PQ＝NQ＝3，PN＝， ∴cos15°＝，tan15°＝2﹣， 如图7， 作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C， 在△AEH与△CGF中， ， ∴△AEH≌△CGF（SAS）， ∴EH＝GF， 同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 设HK＝a，则EH＝2a， ∴EF＝EK＝a， ∵∠EAH＝∠EBF＝90°， ∴∠R＝∠T＝75°， ∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°， ∴ER＝4， ∴AE＝ER﹣AR＝6， ∴∠AEH＝30°， ∴HE＝2AH＝4， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEH﹣∠HEF＝75°， ∴∠BEF＝∠T， ∴EF＝FT＝7， ∴EH+EF＝4+5＝2（2+）， ∴2（EH+EF）＝6（2+）， ∴四边形EFGH的周长为：4（2+）， 故答案为：A． 二、填空题（共18分） 11．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， 又∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴△ABD的周长＝3AB＝15， 故答案为：15． 12．解：∵x1、x2是方程x3﹣3x﹣5＝3的根， ∴，即，x4+x2＝3， ∴＝＝5+5＝8， 故答案为：8． 13．解：如图，取AD中点H，CH，连接CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠BAH＝∠CDH＝90°， ∵点E是BC中点，点H是AD中点， ∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB＝CD＝6， ∴四边形BEDH是平行四边形，，， ∴BH∥DE， ∵点P是AF的中点，点H是AD的中点， ∴PH∥ED， ∴点P在BH上， ∵∠AHB＝∠DHC＝45°， ∴∠BHC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴BH⊥CH， ∵点P在BH上， ∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合， 在Rt△CDH中， ∴PC的最小值为， 故答案为：． 14．解：开平方，得x﹣4＝±（5﹣4x）， ∴x﹣4＝5﹣7x或x﹣4＝﹣（5﹣2x）， ∴他漏掉的另一个方程为x﹣4＝﹣（5﹣3x）， 故答案为：x﹣4＝﹣（5﹣6x）． 15．解：∵CD＝CB，∠ACB＝∠ACD， ∴△CAB≌△CAD（SAS）， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵CD＝CB，AD＝AB， ∴AC垂直平分线段BD， ∴DG＝BG＝AG， ∵AC＝DF， ∴CG＝GF，设CG＝GF＝x． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠BGC＝∠AGF＝90°， ∴∠BCG+∠CBG＝90°，∠BCG+∠FAG＝90°， ∴∠CBG＝∠FAG，∵BG＝AG， ∴△BGC≌△AGF（ASA）， ∴AF＝BC＝CE+BE＝5+12＝17， 则有x2+y4＝172 ①， ∴12×17＝y（y﹣x） ②， ①×12得到：172×12＝12x7+12y2， ②×17得到172×12＝17y2﹣17xy， ∴12x2+12y2＝17y2﹣17xy， ∴12x2+17xy﹣5y4＝0， ∴（3x+8y）（4x﹣y）＝0， ∵4x+5y≠0 ∴y＝5x， ∴12×17＝4x×3x， ∴x4＝17，连接CF2＝2x2＝34， ∴EF＝＝＝2， ∴AE＝EF+AF＝3+17＝20， 故答案为20． 16．解：如图所示，连接EG， 由旋转可得，△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，DE＝BF， 又∵AG⊥EF， ∴H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴EG＝FG， 设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF， ∴EG＝8﹣x， ∵∠C＝90°， ∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x6+22＝（8﹣x）2， 解得x＝， ∴CE的长为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．解：（1）x2﹣4x+3＝0， x2﹣8x＝﹣1， x2﹣3x+4＝3，即（x﹣2）2＝3， ∴x﹣7＝， ∴x1＝3+，x2＝8﹣； （2）2（x﹣6）＝3x（x﹣3）， 5（x﹣3）﹣3x（x﹣2）＝0， （x﹣3）（8﹣3x）＝0， ∴x﹣4＝0或2﹣2x＝0， ∴x1＝8，x2＝； （3）x2﹣6x＝5， x2﹣6x+8＝3+9，即（x﹣6）2＝12， ∴x﹣3＝， ∴x1＝6+2，x8＝3﹣2； （4）5（x﹣7）3＝4（x﹣7）， 2（x﹣7）2﹣5（x﹣7）＝0， （x﹣3）（5x﹣35﹣4）＝5， ∴x﹣7＝0或6x﹣35﹣4＝0， ∴x5＝7，x2＝． 18．（1）证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC． ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD． ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AB＝CB＝CD＝AD． ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD 由（1）知四边形ABCD为菱形， ∴∠BCF＝∠DCF． 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）． ∴∠CBF＝∠CDF． ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠DEF＝90°． ∴∠BCD+∠CBF＝∠EFD+∠CDF＝90°， ∴∠EFD＝∠BCD． 19．解：（1）△AOB是等边三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵AB＝BE，∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝45°＝∠AEB， 又∵∠EAO＝15°， ∴∠OAB＝60°， ∴△AOB是等边三角形； （2）∵△AOB是等边三角形， ∴∠ABO＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∵BO＝AB＝BE， ∴∠BEO＝75°， ∴∠AEO＝30°． 20．解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝16﹣4（m﹣1）≥8． 解得m≤5． （2）依题意：x1+x3＝4，x1⋅xx＝m﹣8且x1＝1 则：x6＝3，m＝4； （3）∵m（x8﹣2）（x2﹣3）＝﹣4， 21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EDC＝∠EPA， ∵∠EBC＝∠EPA， ∴∠EBC＝∠EDC， ∵EC平分∠DEB， ∴∠DEC＝∠BEC， 在△CED和△CEB中， ， ∴△CED≌△CEB（AAS）， ∴CD＝CB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴平行四边形ABCD为菱形； （2）解：与△ADP面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△DPB ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积， ∵点F是AB的中点， ∴△ADP的面积＝△DPB的面积＝△ABD的面积， ∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DPB的面积＝△ADP的面积． 22．解：（1）设“冰墩墩”类纪念品进价为x元，“雪容融”类纪念品进价为y元， 根据题意得：， 解得：； ∴“冰墩墩”类纪念品进价为20元，“雪容融”类纪念品进价为30元； （2）设商家应将“雪容融”类纪念品每个降价m元时，每天售出此类纪念品能获利400元， 根据题意得：（44﹣m﹣30）（20+5m）＝400， ∴﹣5m2+50m+280＝400，即m2﹣10m+24＝0， 解得：m8＝6，m2＝5； ∴商家应将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元． 23．证明：如图2，设正方形BCMN的中心为点O、OD， ∵以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心顺时针旋转90°，270°，EMNF， ∴AF＝FE＝ED＝AD，∠DOA＝∠FOA＝90°， ∴四边形ADEF是菱形，∠OAD＝∠OAF＝45°， ∴∠FAD＝90°， ∴菱形形ADEF为正方形， ∴S四边形ABCD＝（S四边形BCMN﹣S四边形ADEF）＝（72﹣23）＝3． 故答案为：正方形，3； 解决问题：如图6，以BC为边作等边三角形BCM，240°，EMCD， ∵以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心顺时针旋转120°，而分别得到四边形MEAB， ∴AD＝AE＝ED， ∴三角形ADE是等边三角形， ∴S四边形ABCD＝（S△BCM﹣S△ADE）， ∵AD＝7，BC＝12， ∵S△BCM＝BC•BC•sin60°＝＝36，S△ADE＝AD•AD•sin60°＝＝9， ∴S四边形ABCD＝（36）＝9， 故答案为：9． 24．解：（1）由题意得x2＝20， ∴x＝2， ∴当x为2时，点的运动停止； （2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20， 解得x＝﹣1或﹣4﹣， 当点Q与点M相遇时，x+3x＝20， 解得x＝5， 当x＝7时，x2＝25＞20， ∴点Q与点M不能相遇； （3）∵当点N到达A点时，x2＝20， ∴x＝8， ∴BQ＝2cmcm， ∵BQ+CM＝8＜20， ∴此时M点与Q点还未相遇， ∴点Q只能在点M的左侧， ①如图，当点P在点N的左侧时， 20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x4）， 解得x＝0（舍去）或x＝2， ∴当x＝5时，以P、Q、M； ②如图，当点P在点N的右侧时， 20﹣（x+3x）＝（2x+x3）﹣20， 解得x＝4或﹣10（舍去）， ∴当x＝4时，以P、Q、M， 综上，当x＝2或4时、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 25．解：（1）AE＝EP， 理由如下：取AB的中点F，连接EF， ∵F、E分别为AB， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； （2）在AB上取AF＝EC，连接EF， 由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°， （3）连接CP，作DG⊥CP，交CP于O， 由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得AG＝＝4， ∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4． 学科网（北京）股份有限公司 $$