第十一章 专题四 模型拓展——三角形的角平分线模型（内文）-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（人教版）

数学 八年级 上册 配人教版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 第十一章　三角形 专题四　模型拓展——三角形的角平分线模型 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 01 模型解读 02 针对训练 目 录 CONTENTS 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 模型一：双内角平分线模型 方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等 于90°加上第三角度数的一半. 图Z11－4－1 返回目录 模型解读 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 1. 如图Z11－4－2， BE ， CF 都是△ ABC 的角平分线，且∠ BDC ＝ 130°，则∠ A 的度数为 ​. 图Z11－4－2 80°　 返回目录 针对训练 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 图Z11－4－3 返回目录 模型解读 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 2. 已知△ ABC 的两个外角的角平分线 BF ， CF 交于点 F . （1）如图Z11－4－4①，若∠ A ＝50°，则∠ F 的度数为 ​； 图Z11－4－4 65°　 返回目录 针对训练 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 （2）如图Z11－4－4②，过点 F 作直线 MN ，分别交 AB ， AC 的延长线 于点 M ， N ，设∠ MFB ＝ m °，∠ NFC ＝ n °.试探索∠ A 与 m ， n 之 间的数量关系，并说明理由. 图Z11－4－4 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 图Z11－4－5 返回目录 模型解读 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 3. 如图Z11－4－6，∠ MON ＝90°，点 A ， B 分别在 OM ， ON 上运 动， BE 是∠ ABN 的平分线， BE 的反向延长线交∠ OAB 的平分线于点 C . 试问∠ C 的大小是否会随点 A ， B 的运动而发生变化？如果不会， 求出∠ C 的度数；如果会，请求出变化范围. 图Z11－4－6 返回目录 针对训练 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 图Z11－4－7 返回目录 模型解读 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 4. 如图Z11－4－8①，线段 AB ， CD 相交于点 O ，连接 AD ， CB . 如图 Z11－4－8②，在图①的条件下，∠ DAB 和∠ BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P ，并且与 CD ， AB 分别相交于 M ， N . 试解答下列问题： 图Z11－4－8 （1）在图Z11－4－8①中，请直接写出∠ A ，∠ B ，∠ C ，∠ D 之间的 数量关系： ​； ∠ A ＋∠ D ＝∠ B ＋∠ C 　 返回目录 针对训练 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 （2）在图Z11－4－8②中，若∠ D ＝40°，∠ B ＝30°，试求∠ P 的度数. 图Z11－4－8 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 如图Z11－4－1，在△ ABC 中，∠ ABC 与∠ ACB 的平分 线相交于点 O ，则∠ BOC ＝90°＋ ∠ A . 模型二：双外角平分线模型 方法归纳：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等 于90°减去第三角度数的一半. 如图Z11－4－3，点 P 是△ ABC 的两个外角∠ EBC 和∠ FCB 的平分线 的交点，则∠ P ＝90°－ ∠ A . 解： m ＋ n － ∠ A ＝90°. 理由如下： ∵∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－∠ A ， ∴∠ DBC ＋∠ ECB ＝360°－（180°－∠ A ）＝180°＋∠ A . 又∵△ ABC 的外角平分线交于点 F ， ∴∠ FBC ＋∠ FCB ＝ （∠ DBC ＋∠ ECB ）＝ （180°＋∠ A ）＝90°＋ ∠ A . ∴∠ BFC ＝180°－ ＝90°－ ∠ A . ∵∠ MFB ＋∠ NFC ＋∠ BFC ＝180°， ∴ m ＋ n ＋90°－ ∠ A ＝180°， 即 m ＋ n － ∠ A ＝90°. 模型三：内外角平分线模型 方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形 成的夹角的度数等于第三角度数的一半. 如图Z11－4－5， BD 是△ ABC 内角∠ ABC 的平分线， CD 是△ ABC 外 角∠ ACE 的平分线， BD 交 CD 于点 D ，则∠ BDC ＝ ∠ A . 解：∠ C 的大小不变. ∵ AC 平分∠ OAB ， BE 平分∠ ABN ， ∴∠ ABE ＝ ∠ ABN ，∠ CAB ＝ ∠ OAB . ∴∠ C ＝∠ ABE －∠ CAB ＝ （∠ ABN －∠ OAB ）＝ ∠ AOB ＝45°. 模型四：对顶角三角形内角平分线的夹角模型 方法归纳：对顶角三角形的两个不对顶的内角的角平分线交于一点，所 形成的夹角的度数等于另两个不对顶的内角和的一半. 如图Z11－4－7， AC ， BD 相交于点 O ，连接 AB ， CD ， BP ， CP 分 别平分∠ ABD ，∠ ACD ，且相交于点 P ，则∠ P ＝ （∠ A ＋∠ D ）. 解：由（1），得∠1＋∠ D ＝∠3＋∠ P ，∠2＋∠ P ＝∠4＋∠ B ， ∴∠1－∠3＝∠ P －∠ D ，∠2－∠4＝∠ B －∠ P . 又∵ AP ， CP 分别平分∠ DAB 和∠ BCD ， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∴∠ P －∠ D ＝∠ B －∠ P ， 即2∠ P ＝∠ B ＋∠ D . ∴∠ P ＝ （∠ B ＋∠ D ）＝ ×（30°＋40°）＝35°. $$