第十一章 第4课时 三角形的内角和（一）（内文）-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（人教版）

数学 八年级 上册 配人教版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 第十一章　三角形 第4课时　三角形的内角和（一） 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 01 知识重点 02 对点范例 03 典例精析 04 举一反三 目 录 CONTENTS 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 知识点一：三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于 ​. 几何语言：如图11－4－1，在△ ABC 中，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝ ​. 图11－4－1 180°　 180°　 返回目录 知识重点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 1. 如图11－4－2，在△ ABC 中，若∠ A ＝70°，∠ B ＝50°，则∠ C 的度数为（　 　） 图11－4－2 A A. 60° B. 70° C. 50° D. 80° 返回目录 对点范例 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 知识点二：证明三角形的内角和定理 已知：△ ABC （图11－4－3）.求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 图11－4－3 证明：如图11－4－3，过点 A 作直线 EF ∥ BC ，则∠1＝ ，∠2 ＝ （　 　）. ∵点 E ， A ， F 在同一条直线上， ∴ （平角定义）. ∴∠3＋∠ B ＋∠ C ＝ （等量代换）. 得证：任意一个三角形的内角和都等于180°. ∠ B 　 ∠ C 　 两直线平行，内错角相等　 ∠1＋∠2＋∠3＝180°　 180°　 返回目录 知识重点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 2. 已知：△ ABC （图11－4－4）.求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 图11－4－4 证明：如图11－4－4，在 BC 边上任取一点 D ，作 DE ∥ BA 交 AC 于点 E ， DF ∥ CA 交 AB 于点 F . ∵ DE ∥ BA ， ∴∠1＝∠ ， ∠2＝∠ ​. ∵ DF ∥ CA ， ∴∠3＝∠ ，∠4＝∠ ​. ∴∠2＝∠ A . 又∵∠1＋∠2＋∠3＝ °， ∴∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝ ​°. B 　 4　 C 　 A 　 180　 180　 返回目录 对点范例 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 【例1】（RJ八上P16改编）分别在横线上写出图11－4－5中 x 的值. 图11－4－5 　 x ＝ ； x ＝ ； x ＝ ​. 思路点拨：根据三角形内角和定理列方程求解. 45　 60　 60　 返回目录 典例精析 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 3. 在△ ABC 中： （1）若∠ A ＝40°，∠ B ＝∠ C ，则∠ C ＝ ​； （2）若∠ A ＝40°，∠ B －∠ C ＝20°，则∠ C ＝ ​； （3）若∠ A ＋∠ B ＝100°，∠ C ＝2∠ A ，则∠ C ＝ ，∠ A ＝ ​； （4）若∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝1∶3∶5，则∠ C ＝ ​. 70°　 60°　 80°　 40°　 100°　 返回目录 举一反三 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 【例2】（RJ八上P12改编）如图11－4－6，在△ ABC 中， CD 为 △ ABC 的高， AE 为△ ABC 的角平分线， CD 交 AE 于点 G ，∠ BCD ＝50°，∠ BEA ＝110°，求∠ ACD 的度数. 图11－4－6 思路点拨：由三角形内角和定理先求出∠ B ，再求出∠ BAE ，然后根 据角平分线的定义求出∠ DAC ，即可求得∠ ACD . 返回目录 典例精析 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：∵ CD 是△ ABC 的高， ∴∠ BDC ＝∠ ADC ＝90°. ∴∠ B ＝180°－∠ BDC －∠ BCD ＝40°. 又∵∠ BEA ＝110°， ∴∠ BAE ＝180°－∠ B －∠ BEA ＝30°. ∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ DAC ＝2∠ BAE ＝60°. ∴∠ ACD ＝180°－∠ ADC －∠ DAC ＝30°. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 4. 如图11－4－7，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ DAC . 若∠ BAC ＝80°，∠ B ＝60°，求∠ AEC 的度数. 图11－4－7 返回目录 举一反三 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 【例3】（RJ八上P12改编）如图11－4－8是 A ， B ， C 三个村庄的平面 图， B 村在 A 村的北偏东85°， A 村在 C 村的西南方向， B 村在 C 村的 南偏西20°方向，求从 B 村看 A ， C 两村的视角∠ ABC 的度数. 图11－4－8 思路点拨：根据方向角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角 和定理即可求解. 返回目录 典例精析 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：由题意，得∠ DAB ＝85°， ∠ ACE ＝45°，∠ BCE ＝20°. ∴∠ ACB ＝∠ ACE －∠ BCE ＝25°. 由 AD ∥ CE ，得∠ DAC ＝∠ ACE ＝45°. ∴∠ CAB ＝∠ DAB －∠ DAC ＝40°. ∴∠ ABC ＝180°－∠ ACB －∠ CAB ＝115°. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 5. 如图11－4－9， B 处在 A 处的南偏西45°方向， C 处在 A 处的南偏东 15°方向， C 处在 B 处的北偏东80°方向，求∠ ACB 的度数. 图11－4－9 解：由题意，得∠ BAE ＝45°，∠ DBC ＝80°，∠ CAE ＝15°. ∴∠ BAC ＝∠ BAE ＋∠ CAE ＝60°. 由 AE ∥ DB ，得∠ DBA ＝∠ BAE ＝45°. ∴∠ ABC ＝∠ DBC －∠ DBA ＝35°. ∴∠ ACB ＝180°－∠ ABC －∠ BAC ＝85°. 返回目录 举一反三 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 【例4】如图11－4－10，在△ ABC 中， AD ， BE 分别是∠ BAC ， ∠ ABC 的角平分线. （1）若∠ C ＝70°，∠ BAC ＝60°，则∠ BED 的度数是 ；若 ∠ BED ＝50°，则∠ C 的度数是 ​； 55°　 80°　 思路点拨：根据角平分线的定义和三角形的内角和 定理即可得到结论. 图11－4－10 返回目录 典例精析 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 （2）探究∠ BED 与∠ C 的数量关系，并证明你的结论. 图11－4－10 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 6. （提升题）如图11－4－11，在△ ABC 中，∠ ABC 的平分线与 ∠ ACB 的平分线相交于点 O . （1）若∠ ABC ＝40°，∠ ACB ＝50°，则∠ BOC 的度数 为 ；若∠ A ＝76°，则∠ BOC 的度数为 ​； 135°　 128°　 图11－4－11 返回目录 举一反三 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 （2）你能找出∠ A 与∠ BOC 之间的数量关系吗？请说明理由. 图11－4－11 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：∵∠ BAC ＝80°，∠ B ＝60°， ∴∠ C ＝180°－∠ BAC －∠ B ＝40°. ∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°. ∴∠ DAC ＝180°－∠ ADC －∠ C ＝50°. 又∵ AE 平分∠ DAC ， ∴∠ EAC ＝ ∠ DAC ＝25°. ∴∠ AEC ＝180°－∠ C －∠ EAC ＝115°. 解：∠ BED ＝90°－ ∠ C . 证明如下： ∵ AD ， BE 分别是∠ BAC ，∠ ABC 的角平分线， ∴∠ ABE ＝ ∠ ABC ，∠ BAE ＝ ∠ BAC . ∴∠ BED ＝180°－∠ AEB ＝∠ ABE ＋∠ BAE ＝ （∠ ABC ＋∠ BAC ）＝ （180°－∠ C ）＝90°－ ∠ C . 解：∠ BOC ＝90°＋ ∠ A . 理由如下： ∵∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线交于点 O ， ∴∠ OBC ＝ ∠ ABC ，∠ OCB ＝ ∠ ACB . ∴∠ BOC ＝180°－（∠ OBC ＋∠ OCB ）＝180°－ （∠ ABC ＋ ∠ ACB ）＝180°－ （180°－∠ A ）＝90°＋ ∠ A . $$