期末复习精练 第一章 勾 股 定 理-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 第一章　勾 股 定 理 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 说明：因为期末复习已学习了数的开平方，所以相关的计算可以带 根号了. 考点一　勾股定理的相关计算 【例1】如图Q1－1，在Rt△ ACB 中， AC ＝9， BC ＝40，斜边 AB 上有 两点 M ， N ，且 BM ＝ BC ， AN ＝ AC ，求 MN 的长. 图Q1－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Q1－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【巩固】 1. 如图Q1－2，在△ ABC 中，过点 A 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 D . 已知 AC ＝13， BC ＝11， AD ＝12，则 AB 的长为(　 　) 图Q1－2 A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 如图Q1－3，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝5， AC ＝3，动 点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时 间为 t s. (1) BC ＝ ， AB 边上的高 h ＝ ​； 4　 图Q1－3 (2)当△ ABP 为直角三角形时，求 t 的值. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 ②当∠ BAP ＝90°时，则 CP ＝ t －4，如答图Q1－2. 解：由题意，得 BP ＝ t . 在Rt△ ABP 中，∠ B 为锐角， ①当∠ APB ＝90°时， BP ＝ BC ， ∴ t ＝4； 答图Q1－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 在Rt△ APC 中， AC ＝3， 由勾股定理，得 AP2＝ AC2＋ CP2＝32＋( t －4)2. 在Rt△ ABP 中， 由勾股定理，得 AP2＋ AB2＝ BP2， 即32＋( t －4)2＋52＝ t2. 答图Q1－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点二　勾股定理的逆定理 【例2】如图Q1－4，四边形 ABCD 的四个顶点都在网格的格点上，且 每个小正方形的边长都为1. (1)填空： BC ＝ ， AD ＝ ​； 5　 图Q1－4 (2)连接 BD ，判断△ ABD 的形状，并说明理由. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：△ ABD 是等腰直角三角形. 图Q1－4 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 4. 如图Q1－5，已知等腰三角形 ABC 的底边 BC ＝5， D 是腰 AB 上一 点，且 CD ＝4， BD ＝3，则 AD 的长为 ​. 图Q1－5 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 5. 如图Q1－6，在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝6， AD 为 BC 边上的中 线，且 AD ＝4，过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E . 图Q1－6 (1)判断△ ADC 的形状，并说明理由； 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Q1－6 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)求 CE 的长. 图Q1－6 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点三　勾股定理的应用 【例3】如图Q1－7，在一条东西走向的河的一侧有一村庄 C ，河边原 有两个取水点 A ， B ，其中 AB ＝ AC . 由于某种原因，由 C 到 A 的路现 在已经不通，村庄 C 为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 H ( A ， H ， B 三点在同一条直线上)，并新修一条路 CH ，测得 BC ＝3 km， CH ＝2.4 km， BH ＝1.8 km. (1) CH 是否是从村庄 C 到河边最近的路 ( CH 与 AB 是否垂直)？请通过计算加以说明； 图Q1－7 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解： CH 是从村庄 C 到河边最近的路. 理由：在△ CHB 中， BC ＝3 km， CH ＝2.4 km， BH ＝1.8 km， ∴ CH2＋ BH2＝2.42＋1.82＝9， BC2＝32＝9. ∴ CH2＋ BH2＝ BC2. ∴△ CHB 是直角三角形，即 CH ⊥ AB . ∴ CH 是从村庄 C 到河边最近的路. 图Q1－7 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)求原来的路线 AC 的长. 解：设 AC ＝ AB ＝ x ，则 AH ＝ x －1.8. 在Rt△ ACH 中， CH ＝2.4 km， 由勾股定理，得 AC2＝ AH2＋ CH2，即 x2＝( x －1.8)2＋2.42. 解得 x ＝2.5(km). 答：原来的路线 AC 的长为2.5 km. 图Q1－7 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【巩固】 6. 如图Q1－8，原来从 A 村到 B 村，需要沿路 A → C → B (∠ C ＝90°) 绕过两地间的一片湖，在 A ， B 间建好桥后，就可直接从 A 村到 B 村. 若 AC ＝5 km， BC ＝12 km，则建好桥后，从 A 村到 B 村比原来减少的 路程为(　 　) 图Q1－8 A. 2 km B. 4 km C. 10 km D. 14 km B 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 7. 如图Q1－9，在一个长方形草坪 ABCD 上，放着一根长方体的木块， 已知 AD ＝6 m， AB ＝5 m，该木块的较长边与 AD 平行，横截面是边长 为1 m的正方形.一只蚂蚁从点 A 爬过木块到达点 C ，需要走的最短路程 是 m. 图Q1－9 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 8. 荡秋千(如图Q1－10①)是中国古代北方少数民族创造的一种运动.某 天，小彬在公园里游玩，如图Q1－10②，她发现秋千静止时，踏板离 地的垂直高度 DE ＝0.5 m，将它往前推送1.8 m(水平距离 BC ＝1.8 m) 时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF ＝ CE ＝1.1 m，秋千的绳索始终拉 得很直，求绳索 AD 的长. 图Q1－10 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：由题意，得∠ ACB ＝90°. 设 AD ＝ x m，则 AB ＝ x m， AC ＝ x ＋0.5－1.1＝( x －0.6)m. 在Rt△ ACB 中， BC ＝1.8 m， 由勾股定理，得 AC2＋ BC2＝ AB2， 即( x －0.6)2＋1.82＝ x2. 解得 x ＝3. 答：绳索 AD 的长是3 m. 图Q1－10 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 9. 某校八(1)班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝 的垂直高度 CE ，他们进行了如下操作(如图Q1－11)： 图Q1－11 ①测得水平距离 BD ＝12 m； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC ＝20 m； ③牵线放风筝的小华的身高为1.62 m. (1)求风筝的垂直高度 CE ； 答：风筝的垂直高度 CE 为17.62 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：如答图Q1－3，延长 DC 至点 M ，使得 CM ＝4 m，连接 BM . ∴ DM ＝ CD ＋ CM ＝16＋4＝20(m). (2)若小华想风筝沿 DC 方向再上升4 m，则他应该再放出多少米线？ 答图Q1－3 图Q1－11 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点四　验证勾股定理 【例4】学习勾股定理之后，同学们发现验证勾股定理有很多方法.某同 学提出了一种验证勾股定理的方法：如图Q1－12①，点 B 是正方形 ACDE 边 CD 上一点，连接 AB ，得到Rt△ ACB ，其三边分别为 a ， b ， c ，将△ ACB 裁剪拼接至△ AEF 位置，如图 Q1－12②所示，该同学用图Q1－12①和②的 面积不变验证了勾股定理.请你写出该方法验 证勾股定理的过程. 图Q1－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：设图Q1－12①的面积为 S1， 则 S1＝ S正方形 ACDE ＝ b2. 如答图Q1－1，连接 BF . 由题意，得△ AEF ≌△ ACB . ∴∠ EAF ＝∠ CAB ， AF ＝ AB ＝ c . 在正方形 ACDE 中，∠ CAE ＝90°， ∴∠ CAB ＋∠ BAE ＝90°. ∴∠ EAF ＋∠ BAE ＝90°，即∠ BAF ＝90°. ∴△ BAF 是等腰直角三角形. ∵ EF ＝ BC ＝ a ， CD ＝ DE ＝ b ， ∴ BD ＝ CD － BC ＝ b － a ， DF ＝ DE ＋ EF ＝ b ＋ a . 答图Q1－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 答图Q1－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【巩固】 10. 如图Q1－13，在直角梯形 ACBD 中，∠ C ＝∠ CAD ＝90°，连接 AB ，过点 D 作 DE ⊥ AB ，交 AC 于点 E ，交 AB 于点 F ，且 DE ＝ AB ， 连接 BE . 图Q1－13 (1)判断线段 BC ， DA ， CE 之间的数量关系，并说明理由； 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Q1－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)若设 BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ，利用此图验证勾股定理. 图Q1－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点五　本章考试热点题型(综合与实践、综合探究) 11. (综合与实践)【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度. 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了 地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知. 【实践探究】设计测量方案： 第一步：如图Q1－14①，先测量比旗杆多出的 部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1 m； 第二步：如图Q1－14②，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面 的点 A ，再测量绳子底端 A 与旗杆根部 C 之间的距离，测得距离为5 m. 图Q1－14 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【问题解决】设旗杆的高度 BC 为 x m，通过计算即可求得旗杆的高度. (1)填空： AC ＝ m，用含有 x 的式子表示 AB 为 m； (2)请你求出旗杆的高度. 解：在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 AC2＋ BC2＝ AB2，即52＋ x2＝( x ＋1)2. 解得 x ＝12. 答：旗杆的高度为12 m. 5　 ( x ＋1)　 图Q1－14 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 12. (综合探究)如图Q1－15①，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点 A 爬到 上底面的点 B 处，求它爬行的最短距离.已知圆柱底面半径为 R ，高度 为 h .小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案. 方案1：沿 A → C → B 爬行； 方案2：如图Q1－15②，沿圆柱侧面 展开图的线段 AB 爬行.(π取3) 图Q1－15 (1)当 R ＝1， h ＝4时，哪种方案的爬 行距离更近？ 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Q1－15 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)当 R ＝1， h ＝1时，哪种方案的爬行距离更近？ 图Q1－15 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (3)当 R 与 h 满足什么条件时，两种方案的爬行距离相同？ 图Q1－15 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：在Rt△ ACB 中， AC ＝9， BC ＝40， 由勾股定理，得 AB ＝ ＝ ＝41. ∵ BM ＝ BC ＝40， AN ＝ AC ＝9， ∴ MN ＝ BM ＋ AN － AB ＝40＋9－41＝8. 　 解得 t ＝ . 综上所述， t 的值为4或 . 2 　 理由：∵ AD ＝ ＝5， BD ＝ ＝5， AB ＝ ＝5 ， ∴ AD ＝ BD ， AD2＋ BD2＝50＝ AB2. ∴△ ABD 是等腰直角三角形. 【巩固】 3. 在△ ABC 中，下列条件：①∠ A ＝∠ C －∠ B ；② a2＝ b2－ c2； ③∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5；④ a ＝2， b ＝2， c ＝2 .能判断 △ ABC 是直角三角形的有(　 　) 　 解：△ ADC 是直角三角形. 理由：∵ BC ＝6， AD 为 BC 边上的中线， ∴ BD ＝ CD ＝ BC ＝3. ∵ AD ＝4， AB ＝5， ∴ AD2＋ BD2＝25， AB2＝25. ∴ AD2＋ BD2＝ AB2. ∴△ ABD 是直角三角形，即 AD ⊥ BC . ∴△ ADC 是直角三角形. 解：由(1)得， AD ⊥ BC ， 又∵ AD 为 BC 边上的中线， ∴ AC ＝ AB ＝5. ∵ S△ ADC ＝ AD · CD ＝ DE · AC ， ∴ DE ＝ ＝ . 在Rt△ DEC 中，由勾股定理，得 CE ＝ ＝ ＝ . 　 解：在Rt△ CDB 中， BD ＝12m，BC ＝20m， 由勾股定理，得 CD ＝ ＝ ＝16(m). ∴ CE ＝ CD ＋ DE ＝16＋1.62＝17.62(m). 在Rt△ MDB 中， BD ＝12m， 由勾股定理，得 BM ＝ ＝ ＝4 (m). ∴ BM － BC ＝(4 －20)m. 答：他应该再放出(4 －20)m线. 设图Q1－12②的面积为 S2， 则 S2＝ S△ BAF ＋ S△ BDF ＝ c2＋ ( b － a )( b ＋ a )＝ c2＋ b2－ a2. ∵ S1＝ S2， ∴ b2＝ c2＋ b2－ a2，即 a2＋ b2＝ c2. ∴ a2＋ b2＝ c2. 解： DA ＝ CE ＋ BC . 理由：∵ DE ⊥ AB ，∴∠ DFA ＝90°. ∴∠ ADE ＋∠ DAF ＝90°. ∵∠ CAD ＝90°，∴∠ CAB ＋∠ DAF ＝90°. ∴∠ CAB ＝∠ ADE . 在△ ABC 和△ DEA 中， ∴△ ABC ≌△ DEA (AAS).∴ AC ＝ DA ， BC ＝ EA . ∵ AC ＝ CE ＋ EA ，∴ DA ＝ CE ＋ EA ＝ CE ＋ BC . 解：由(1)知△ ABC ≌△ DEA ， ∴ EA ＝ BC ＝ a ， DA ＝ AC ＝ b ， DE ＝ AB ＝ c . ∴ CE ＝ AC － EA ＝ b － a . ∴ S梯形 ACBD ＝ ( BC ＋ AD )· AC ＝ ( a ＋ b )· b ＝ ab ＋ b2， S梯形 ACBD ＝ S△ BCE ＋ S四边形 ADBE ＝ ( b － a )· a ＋ c2＝ ab － a2＋ c2. ∴ ab ＋ b2＝ ab － a2＋ c2，即 a2＋ b2＝ c2. ∴ a2＋ b2＝ c2. 解：∵ AC ＝ AD ＝ h ， BC ＝2 R ， BD ＝ ×2π R ≈3 R ， ∴方案1的爬行距离为 AC ＋ BC ＝ h ＋2 R ， 方案2的爬行距离为 AB ＝ ＝ . 当 R ＝1， h ＝4时， 方案1的爬行距离为 h ＋2 R ＝4＋2＝6， 方案2的爬行距离为 ＝ ＝5. ∵6＞5， ∴方案2的爬行距离更近. 解：当 R ＝1， h ＝1时， 方案1的爬行距离为 h ＋2 R ＝1＋2＝3， 方案2的爬行距离为 ＝ ＝ . ∵3＜ ， ∴方案1的爬行距离更近. 解：由题意，得 h ＋2 R ＝ . 解得 R ＝ h . ∴当 R ＝ h 时，两种方案的爬行距离 相同. $$