3.1.2 排列与排列数（第2课时 排列数的应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.2　排列与排列数 第2课时　排列数的应用 课标定位素养阐释 1.会用排列数公式解决一些简单的实际问题. 2.掌握有限制条件的排列问题的基本解法. 3.提升数学建模、数学抽象和数学运算素养. 自主预习 新知导学 排列数的应用 1.解决排列问题的方法 (1)对于简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置的情况下,直接用排列数公式进行计算. (2)对于有限制条件的排列问题,先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法,再考虑其他元素的位置(这种方法称为特殊元素法或特殊位置法);或者,先求出无约束条件的排列数,再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法),这是解排列问题的基本策略. 所谓“捆绑法”与“插空法”,实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果.要求相邻的两个元素是特殊元素,先把这两个元素“捆绑”起来处理;要求不相邻的元素是特殊元素,一般考虑用“插空法”. 2.已知六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(　　) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有16种.( × ) (2)从数字0,1,3,5,7中任取两个数做除法,可得不同的商共有13种.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 简单的排列问题 【例1】 (1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 解:(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,每种送法相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列,共有 =7×6×5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7=343种不同的送法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 有5个不同的科研小课题,从中选3个安排给高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组研究一个课题,共有多少种不同的安排方法? 解:从5个不同的课题中选3个,由3个学习兴趣小组进行研究,每种安排方法相当于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列. 因此有 =5×4×3=60种不同的安排方法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 元素的“相邻”与“不相邻”问题 【例2】 3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数. (1)全体站成一排,男生、女生各站在一起; (2)全体站成一排,男生必须站在一起; (3)全体站成一排,男生不相邻; (4)全体站成一排,男生、女生各不相邻. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.解决元素的“相邻”“不相邻”问题,应遵循“先整体,后局部”的原则. 2.解决元素的相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,再松绑,将这若干个元素内部全排列. 3.解决元素的不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,再在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 有5名男生,4名女生排成一排. (1)若女生必须站在一起,则有多少种不同的排法? (2)若4名女生互不相邻,则有多少种不同的排法? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 数字排列问题 【例3】 用0,1,2,3,4,5这六个数字排成无重复数字的数,求满足下列条件的数各有多少个. (1)六位数; (2)六位奇数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 数字排列问题常见的解题方法 (1)“优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. (2)“分类讨论法”:先按照某一标准将排列分成几类,再按照分类加法计数原理进行.要注意如下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏. (3)“排除法”:无限制条件时的排列数减去不符合条件的排列数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 用0,1,2,3,4,5这六个数字排成无重复数字的数,求满足下列条件的数各有多少个. (1)能被5整除的五位数; (2)能被3整除的五位数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 分类讨论不全面而致误 【典例】 甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是(　　) A.16 B.12 C.8 D.6 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:对“同侧”的理解不到位,只考虑了在甲一侧,未考虑可以在甲另一侧这种情况,因此遗漏计数而致误. 正解:因为乙、丙两人位于甲同侧,所以可分为两类: 第二类,乙、丙两人位于甲右侧,排法总数与乙、丙两人位于甲左侧的排法总数相同,也为8.根据分类加法计数原理,乙、丙两人位于甲同侧的排法总数为16. 答案:A 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解题的关键是审题,要对题意理解清楚,特别是需要进行分类讨论时,要做到不重不漏. 防范措施 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.6名同学排成一排,其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 答案:C 2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案:B 3.某单位安排7名员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7名员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班,丙不在10月1日值班,丁不在10月7日值班,则不同的安排方案共有(　　) A.504种 B.960种 C.1 008种 D.1 108种 答案:C 答案:ACD 5.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有　　　　　种.  答案:36 6.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是　　　　　.  答案:96 解析:当最左端排甲时,排法的种数为; 当最左端排乙时,排法的种数为4. 因此不同的排法的种数为+4=120+96=216. 解:(1)分成三步来完成:第一步,男生必须站在一起是男生的全排列,有种方法;第二步,女生必须站在一起是女生的全排列,有种方法;第三步,全体男生、女生各视为一个元素进行全排列,有种方法. 依据分步乘法计数原理,共有=288种排队方法. (2)分成两步来完成:第一步,让男生站好,3名男生全排列,有种方法;第二步,把3名男生视为一个整体,与4名女生站成一排,有种方法. 由分步乘法计数原理,可知共有=720种排队方法. (3)分成两步来完成:第一步,安排女生,共有种方法;第二步,女生顺序确定之后,男生在4名女生隔成的五个空中安排,有种方法. 由分步乘法计数原理,可知共有=1 440种排队方法. (4)分成两步来完成:第一步,排好男生,有种方法;第二步,男生顺序确定之后,女生在3名男生隔成的四个空中安排,有种方法. 由分步乘法计数原理,可知共有=144种排队方法. 解:(1)女生站在一起,有种排法;将女生看成一个整体,与男生全排列,有种排法.故有=17 280种不同的排法. (2)5名男生全排列,有种排法;男生排好后,女生在男生隔成的六个空中安排,有种排法.故有=43 200种不同的排法. 解:(1)0,1,2,3,4,5六个数字共有种不同的排法,当0在首位时不满足题意.又因为0在首位的排法共有种,所以可以组成=600个没有重复数字的六位数. (2)分三步完成:第一步,个位上的数字从1,3,5中选一个,有种方法;第二步,首位上的数字从排除0与个位上的数字后剩下的四个数字中选一个,有种方法;第三步,剩下的四个数字全排列,有种方法. 根据分步乘法计数原理,可知六位奇数有=288个. 解:(1)满足条件的五位数可以分两类:第一类,个位上的数字是0,有个. 第二类,个位上的数字是5,有个. 根据分类加法计数原理,可知能被5整除的五位数有=216个. (2)满足条件的五位数可以分两类: 第一类,由数字1,2,3,4,5排成,有个. 第二类,由数字0,1,2,4,5排成,有个. 由分类加法计数原理,可知能被3整除的五位数有=216个. 错解:因为乙、丙两人位于甲同侧,所以可分为两类:第一类,当甲在第三位时,不同的排法数为;第二类,当甲在第四位时,不同的排法数为.根据分类加法计数原理,所求的不同排法的总数为=2+6=8. 答案:C 第一类,乙、丙两人位于甲左侧,不同排法的总数为=8; 解析:可以分两步来完成:第一步,将甲、乙两人视为一个整体,与其余4人排列,有种排列方法;第二步,甲、乙两人可互换位置,有种排列方法.依据分步乘法计数原理,不同的排法共有=240种. 解析:分两类:第一类,万位上的数字为4,则满足条件的偶数有=48个; 第二类,万位上的数字为5,则满足条件的偶数有=72个. 依据分类加法计数原理,比40 000大的偶数共有48+72=120个. 解析:由题意,知满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有种,其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班,且丙在10月1日值班的方案共有种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班,且丁在10月7日值班的方案共有种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班,且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有种. 因此,满足题意的方案共有-2=1 440-2×240+48=1 008种. 4.（多选题）对于m,n∈N+,下列排列组合数结论正确的是(　　) A. B.=(m+1) C. D. 解析:先将A,B捆绑在一起,有种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有种摆法,共有种摆法.而A,B,C这3件产品在一起,且A,B相邻,A,C相邻,有种摆法.故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有=48-12=36种. 解析:将2张连号参观券视为一个整体,与其余3张参观券一起分给4人,有种分法,而 2张参观券连号的情况有4种,故不同的分法种数为4=96. $$