3.1.2 排列与排列数（第1课时 排列与排列数）课件-2024-2025学年高二上数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 课标定位素养阐释 1.通过实例,理解排列的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式. 3.体会数学抽象的过程,提升数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、排列的定义 1.在学校奖学金发放仪式上,校长和两名获得特等奖学金的男女学生合影留念.三人站成一排,校长站在中间. (1)男生在左边和女生在左边是相同的排法吗? 提示:不是. (2)有几种排法? 提示:2种,男-校长-女,女-校长-男. 2.(1)一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. (2)特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. 二、排列数与排列数公式 1.从1,2,3,4这4个数字中选取数字进行组数字游戏. (1)从这4个数字中选出2个,能构成多少个无重复数字的两位数? 提示:4×3=12个无重复数字的两位数. (2)从这4个数字中选出3个,能构成多少个无重复数字的三位数? 提示:4×3×2=24个无重复数字的三位数. 2.排列数的定义、公式和性质 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)从6名学生中选3名学生分别参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法属于排列问题.( √ ) (2)排列数与排列是相同的概念.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 排列的有关概念 【例1】 下列问题是排列问题吗?请说明理由. (1)从1,2,3,4这四个数字中,任选两个数字做加法,其结果有多少种不同的可能? (2)从1,2,3,4这四个数字中,任选两个数字做除法,有多少种不同的可能? (3)会场有50个座位,若选出3个座位安排3位客人入座,有多少种方法? 解:(1)不是;(2)是;(3)是.理由:因为加法运算满足交换律,所以选出的两个数字做加法求结果时,与两个数字的位置无关,但列除法算式时,两个数字谁作除数谁作被除数不一样,此时与位置有关.“入座”问题与顺序有关,故选3个座位安排3位客人入座是排列问题. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征 (1)取出的元素无重复. (2)取出的元素必须按顺序排列.元素有序还是无序是判断是不是排列问题的关键. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 判断下列问题是不是排列问题. (1)A,B,C三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)有多少种? (2)从10名学生中选出3人分别担任班长、学习委员、生活委员,有多少种选法? (3)从2,3,5,7,9中任取两个数字分别作为对数的底数和真数,可得多少个不同的对数值? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)票价只有三种,虽然来回的机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,不是排列问题. (2)选出的3人中,每人担任的职务不同,存在顺序问题,属于排列问题. (3)选取的两个数字作为对数的底数和真数,顺序不同,得到的对数值不同,存在顺序问题,属于排列问题. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 排列的列举问题 【例2】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字排成不同的两位数,一共可以排成多少个? (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列. 解:(1)由题意作“树状图”,如下. 故排成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (2)由题意作“树状图”,如下. 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围:“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式. (2)策略:在操作中首先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,最后按树状图写出排列. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,试列出所有可能的排法. 解:依题意,作“树状图”如下. 故所有可能的排法为BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 排列数公式及应用 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式,一种是乘积式,另一种是阶乘式.若要计算含有数字的排列数的值,常用乘积式进行计算,而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时,一般用阶乘式. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 忽视排列数公式中的隐含条件而致误 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 防范措施 在解排列数的方程或不等式时,要注意排列数 中,m,n∈N+,且m≤n这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.A,B,C三名同学照相留念,三人站成一排,所有排列的方法种数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.12 解析:列举如下:A-B-C,A-C-B,B-A-C,B-C-A,C-A-B,C-B-A.共6种. 答案:C 2.若n∈N+,n<20,则(20-n)(21-n)(22-n)…(29-n)(30-n)等于(　　) 解析:从(20-n)到(30-n)共有11个数,其中最大的数为30-n.故选D. 答案:D 3.(多选题)下列为排列问题的是(　　) A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a,b,c,d中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 解析:由排列的定义知A,D是排列问题. 答案:AD 4.若 =17×16×15×…×5×4,则n=　　　　　,m=　　　　　.  解析:因为 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=17×16×15×…×5×4,所以n=17, n-m+1=4, 所以m=14. 答案:17　14 排列数定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的符号表示 排列数 公式 乘积式 =n(n-1)…(n-m+1) 阶乘式 性质 = n! ,= 1 ,0!= 1 备注 符号中,n,m∈N+,m≤n 【例3】 (1)计算:;(2)计算:; (3)求证:=m. (1)解:=6!=6×5×4×3×2×1=720. (2)解:(方法一)= ==. (方法二). (3)证明:因为=m·,m=m·=m·, 所以=m. 【变式训练3】 计算:(1);(2). 解:(1)=6. (2)原式=·(n-m)!··(n-m)!·=1. 【典例】 解不等式:<6. 错解:由<6,得<6×, 化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12. 提示:本题若忽视符号中的条件“m,n∈N+”,则易得到7<x<12.若忽视符号中的条件“m≤n”,则易得到“7<x<12,且x∈N+,即x=8,9,10,11”的错误结论. 正解:由<6,得<6×, 化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12.① 又故2<x≤8.② 由①②及x∈N+,得x=8. A. B. C. D. 5.(1)计算:. (2)解方程:=140. 解:(1) = = =1. (2)由题意可知即x≥3,且x∈N+. 由=140,得(2x+1)·2x·(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2), 化简,得4x2-35x+69=0, 解得x=3或x=(舍去). 故原方程的解为x=3. $$