第一章 勾股定理 过关训练-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 第一章过关训练 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　 　) A. 5，11，12 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 3，4，5 2. 分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的为(　 　) A. 三内角之比为1∶2∶3 B. 三边长的平方之比为1∶2∶3 C. 三边长之比为3∶4∶5 D. 三内角之比为3∶4∶5 D D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 3. 如图S1－1，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB ＝1， EC ＝2， 则正方形 ABCD 的面积为(　 　) 图S1－1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 4. 如图S1－2，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆 顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(　 　) 图S1－2 A. 5 m B. 12 m C. 13 m D. 18 m D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 5. 如图S1－3，在△ ABC 中， AB ＝8， BC ＝10， AC ＝6，则 BC 边上 的高 AD 为(　 　) 图S1－3 C 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 6. 如图S1－4，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形 A 的面积是64，正方形 B 的面积是100，则半圆 C 的面积是(　 　) 图S1－4 A. 4.5π B. 9π C. 36 D. 18π A 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 7. 如图S1－5，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个小 长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线 AB 的长为(　 　) 图S1－5 A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 A 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 8. 如图S1－6，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸( AE ＞ DE )剪去了一角，量得 AB ＝3 cm， CD ＝4 cm，则剪去的直角三角形 的斜边长为(　 　) 图S1－6 A. 5 cm B. 12 cm C. 16 cm D. 20 cm D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 9. 如果正整数 a ， b ， c 满足等式 a2＋ b2＝ c2，那么正整数 a ， b ， c 叫 做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成如图S1－7所示表格，观 察表中每列数的规律，可知 x ＋ y 的值为(　 　) 图S1－7 C A. 47 B. 62 C. 79 D. 98 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 10. 《九章算术》是古代东方数学的代表作，书中记载：今有开门去阃 (读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是如图 S1－8(图S1－8②为图S1－8①的平面示意图)，推开双门，双门间隙 CD 的距离为2寸，点 C 和点 D 距离门槛 AB 都为1尺(1尺＝10寸)，则 AB 的 长是(　 　) C 图S1－8 A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 如图S1－9，数字代表所在正方形的面积，则 A 所代表的正方形的 面积为 ​. 图S1－9 100　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 12. 如图S1－10，∠ BAC ＝90°， AB ＝4， AC ＝4， BD ＝7， DC ＝ 9，则∠ DBA 的度数为 ​. 图S1－10 45°　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 13. 如图S1－11，在矩形纸片 ABCD 中， AB ＝3 cm， AD ＝9 cm，将此 长方形纸片折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 H 的位置，折痕为 EF ，则△ ABE 的面积为 cm2. 图S1－11 6　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 14. (数学文化)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股 形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方 法所得的图形证明了勾股定理.如图S1－12，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，四边形 CDEF 为正方形，△ AFE ≌△ AGE ，△ BGE ≌△ BDE ， AC ＝4， BC ＝3，则 CD ＝ ​. 1　 图S1－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 15. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周 三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意 是：如图S1－13，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈是十尺，则该圆柱 的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其 末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 25　 图S1－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 如图S1－14，将长2.6 m的梯子 AC 斜靠在墙上， BC 长为1 m，求 梯子上端 A 到墙的底端 B 的距离 AB . 图S1－14 解：根据勾股定理，得 AB2＝ AC2－ BC2＝2.62－12＝5.76. 所以 AB ＝2.4(m). 答：梯子上端 A 到墙的底端 B 的距离 AB 为2.4 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 17. 如图S1－15，某船从港口 A 出发沿南偏东32°方向航行12 n mile到达 B 岛，然后沿某方向航行16 n mile到达 C 岛，最后沿某个方向航行了20 n mile回到港口 A ，则该船从 B 到 C 是沿哪个方向航行的？请说明理由. 图S1－15 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：该船从 B 到 C 是沿南偏西58°方向航行的. 理由：如答图S1－1，因为 AB ＝12 n mile， BC ＝16 n mile， AC ＝20 n mile， 所以 AB2＋ BC2＝122＋162＝400＝202＝ AC2. 所以∠ ABC ＝90°. 由题意知∠1＝32°， 所以∠2＝180°－∠ ABC －∠1＝58°. 所以该船从 B 到 C 是沿南偏西58°方向航行的. 答图S1－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 18. 如图S1－16，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝90°， AB ＝20， BC ＝ 15， CD ＝7， AD ＝24. 图S1－16 (1)判断∠ D 是否是直角，并说明理由； 答图S1－2 解：∠ D 是直角. 理由：如答图S1－2，连接 AC . 在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝20， BC ＝15， 根据勾股定理，得 AC2＝202＋152＝625. 又因为 CD ＝7， AD ＝24，所以 CD2＋ AD2＝625. 所以 AC2＝ CD2＋ AD2. 所以△ ADC 是直角三角形，∠ D ＝90°. (2)求∠ A ＋∠ C 的度数. 解：∠ BAD ＋∠ BCD ＝360°－∠ B －∠ D ＝180°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. (综合与实践)综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验.如图S1－17①，第一次绳子沿旗杆下垂到点 B ，测量多出的绳子长度 BC 为2 m；如图S1－17②，第二次绳子斜拉直后至末端点 F 位置，测量点 F 到地面的距离 FD 为1 m，以及点 F 到旗杆 AB 的距离 FE 为9.6 m.请你根据测量数据计算旗杆 AB 的高度. 图S1－17 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：设旗杆 AB 的高度为 x m，则绳子 AF 为( x ＋2)m. 根据题意，得 BE ＝ FD ＝1 m. 在Rt△ AEF 中， FE ＝9.6 m， AE ＝ AB － BE ＝( x －1)m， 根据勾股定理，得 AE2＋ FE2＝ AF2，即( x －1)2＋9.62＝( x ＋2)2. 解得 x ＝14.86. 答：旗杆 AB 的高度为14.86 m. 图S1－17 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 20. 如图S1－18是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB ＝18 cm， BC ＝12 cm， BF ＝10 cm，点 M 在棱 AB 上，且 AM ＝6 cm，点 N 是 FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M 爬行到点 N ，它 需要爬行的最短路程是多少？ 图S1－18 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 ①如答图S1－3，将长方体的正面和上面展开在同一平面内. 在Rt△ MBN 中， BN ＝ BF ＋ FN ＝16(cm)， 根据勾股定理，得 MN2 ＝ BM2＋ BN2＝400. 答图S1－3 所以 MN ＝20(cm). ②如答图S1－4，将长方体的正面和右侧面展开在同一平面内，过点 N 作 NP ⊥ BC 于点 P ，则 NP ＝ BF ＝10 cm， BP ＝ FN ＝6 cm. 答图S1－4 在Rt△ MPN 中， MP ＝ BM ＋ BP ＝18(cm)， 根据勾股定理，得 MN2 ＝ MP2 ＋ NP2 ＝424. 因为424＞400，所以它需要爬行的最短路程是20 cm. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 21. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.观察：3， 4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这些勾股数的勾 都是奇数，且从3起就没有间断过. (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ​； 11，60，61 　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)若第一个数用字母 n ( n 为奇数，且 n ≥3)表示，那么后两个数用含 n 的代数式分别表示为 　 　和 　 　，请用所学知识说明它们是 一组勾股数. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 如图S1－19，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝10 cm， AC ＝ 6 cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以2 cm/s的速度移动，设运动的时间 为 t s. (1)当点 P 运动到 BC 的中点时， t 的值是 ​； 2 　 图S1－19 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)在4 s内，若 BP ＝ AP ，求 BP 的长； 答图S1－5 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (3)当△ ABP 为直角三角形时，求 t 的值. 解：在△ ABP 中，∠ B 为锐角， ①当∠ APB ＝90°时，点 P 和点 C 重合， t ＝8÷2＝4； ②当∠ BAP ＝90°时，点 P 在线段 BC 的延长线上，如答图S1－6，则 PC ＝ BP － BC ＝(2 t －8)cm. 答图S1－6 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图S1－20 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (1)如图S1－20②，Rt△ ABC ≌Rt△ DEC ， BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ，显然 DF ⊥ AB . 利用图中阴影部分面积验证勾股定理； 图S1－20 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)如图S1－20③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C ，河边原有 两个取水点 A ， B ，其中 AB ＝ AC ，由于某种原因，由 C 到 A 的路现在 已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 H ( A ， H ， B 三点在同一条直线上)，并新修一条路 CH ，且 CH ⊥ AB . 测得 CH ＝1.2 km， HB ＝0.9 km，求新路 CH 比原路 CA 少多少千米； 解：设 AB ＝ x ，则 AH ＝ x －0.9. 在Rt△ ACH 中，根据勾股定理，得 CA2＝ CH2＋ AH2，即 x2＝1.22＋( x －0.9)2.解得 x ＝1.25(km). 所以 CA － CH ＝1.25－1.2＝0.05(km). 答：新路 CH 比原路 CA 少0.05 km. 图S1－20 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (3)在第(2)问中若 AB ≠ AC ， CH ⊥ AB ， AC ＝4， BC ＝5， AB ＝6，设 AH ＝ x ，求 x 的值. 图S1－20 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 A. 8 B. 9 C. D. 10 解：因为点 N 是 FG 的中点， FG ＝ BC ＝12cm， 所以 FN ＝ FG ＝6(cm). 因为 AB ＝18cm， AM ＝6cm，所以 BM ＝ AB － AM ＝12(cm). 　 　 解：因为 n2＋ ＝ n2＋ ＝ ， ＝ ， 所以 n2＋ ＝ . 又因为 n 为奇数，且 n ≥3，所以由 n ， ， 三个数组成的数是 勾股数. 解：在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝ ＝ ＝8(cm). 当点 P 到达点 C 时， t ＝8÷2＝4，所以在4s内，点 P 在线段 BC 上. 如答图S1－5，连接 AP ，则 AP ＝ BP ＝2 t cm， PC ＝ BC － BP ＝(8－2 t )cm. 在Rt△ ACP 中，根据勾股定理，得 PC2＋ AC2＝ AP2， 即(8－2 t )2＋62＝(2 t )2. 解得 t ＝ .所以 BP ＝2× ＝ (cm). 根据勾股定理，得 AP2＝ AC2＋ PC2＝ BP2－ AB2， 即62＋(2 t －8)2＝(2 t )2－102.解得 t ＝ . 综上所述， t 的值为4或 . 23. 著名的赵爽弦图(如图S1－20①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a ，较小的直角边长都为 b ，斜边长都为 c )，大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表示为4× ab ＋( a － b )2，由此推导出重要的勾股定理：若直角三角形两条直角边长为 a ， b ，斜边长为 c ，则 a2＋ b2＝ c2. 解：因为Rt△ ABC ≌Rt△ DEC ， 所以 EC ＝ BC ＝ a ， DC ＝ AC ＝ b ， DE ＝ AB ＝ c . 因为 S阴影＝ S△ BCE ＋ S△ ACD ＝ S△ ABD － S△ ABE ， 所以 a2＋ b2＝ c · DF － c · EF ＝ c ·( DF － EF )＝ c · DE ＝ c2. 所以 a2＋ b2＝ c2. 解：因为 AH ＝ x ，所以 BH ＝6－ x . 在Rt△ ACH 中， CH2＝ CA2－ AH2， 在Rt△ BCH 中， CH2＝ CB2－ BH2， 所以 CA2－ AH2＝ CB2－ BH2， 即42－ x2＝52－(6－ x )2.解得 x ＝ . $$