第一章 第2课时 探索勾股定理(二)（内文）-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 第2课时　探索勾股定理(二) 第一章　勾股定理 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 3 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 目 录 CONTENTS 02 知识重点 03 对点范例 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 01 温故知新 (限时3分钟) 温故知新 1. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为 股，斜边称为弦.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　 　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 A 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 2. 如图1－2－1，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AC ＝8， BC ＝4，则 正方形 ABDE 的面积为(　 　) 图1－2－1 B A. 18 B. 48 C. 65 D. 72 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 知识重点 如图1－2－2，有四个全等的直角三角形，其直角边长分别为 a 和 b ，斜边长为 c ，用它们可以拼成一个图形来验证勾股定理： a2＋ b2＝ c2. 图1－2－2 所以 b2－2 ab ＋ a2＝ c2－2 ab .所以 a2＋ b2＝ c2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 对点范例 3. 如图1－2－3是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，若直 角三角形斜边长为5，短的直角边长为3，则图中小正方形的面积是 (　 　) 图1－2－3 A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 课本母题 知识点1： 验证勾股定理 【例1】(课本P7习题)1876年，美国总统伽菲尔德利用图1－2－4验证了 勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出你的验证过程. 图1－2－4 思路点拨：根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出等式并整理即可. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 母题变式 4. 如图1－2－5，Rt△ ABC ≌Rt△ DAE ，两直角边的长分别为 a ， b ( a ＞ b )，斜边长为 c ，显然 AC ⊥ DE . 使用两种不同的方法表示 梯形 ABCD 的面积，并以此来验证勾股定理. 图1－2－5 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 知识点2： 勾股定理的简单应用 【例2】(课本P6习题)如图1－2－6，强大的台风使得一根旗杆在离 地面3 m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4 m处.旗杆折断之 前有多高？ 图1－2－6 思路点拨：先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，进而求出旗杆折断之前的高度. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：旗杆折断后，与地面构成了一个直角三角形. 设直角三角形的斜边长为 x m. 根据勾股定理，得 x2＝32＋42＝25. 所以 x ＝5. 所以3＋5＝8(m). 答：旗杆折断之前高8 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 5. 如图1－2－7，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8 m处 的位置( DE ＝8 m)，升起云梯到火灾窗口.已知云梯 AB 长17 m，云梯底 部距地面2 m( AE ＝2 m)，则发生火灾的住户窗口距离地面多少米？ 图1－2－7 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：根据题意，得 AC ＝ DE ＝8 m， CD ＝ AE ＝2 m. 在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝17 m， 根据勾股定理，得 BC2＝ AB2－ AC2＝225. 所以 BC ＝15(m). 所以 BD ＝ BC ＋ CD ＝15＋2＝17(m). 答：发生火灾的住户窗口距离地面17 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 创新设计 6. (创新题)如图1－2－8，已知 S正方形 CDEF ＝ S正方形 MNOP ， I 表示边长分 别为 a ， b ， c 的直角三角形.请利用这个图形来验证勾股定理. 图1－2－8 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 7. (创新变式)意大利著名画家达·芬奇用如图1－2－9所示的方法验证了 勾股定理，其中图①的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组 成，图③的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图①中空 白部分的面积为 S1，图③中空白部分的面积为 S2. 图1－2－9 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (1)请用含 a ， b ， c 的代数式分别表示 S1， S2； 图1－2－9 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (2)请利用达·芬奇的方法验证勾股定理. 解：根据题意，得 S1＝ S2. 所以 a2＋ b2＋ ab ＝ c2＋ ab . 所以 a2＋ b2＝ c2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 用两种方法计算小正方形的面积： S小正方形＝( b － a )2＝ b2－2 ab ＋ a2， S小正方形＝ c2－4· ab ＝ c2－2 ab . 解：根据面积公式，得 S梯形＝ ( a ＋ b )( a ＋ b )＝2· ab ＋ c2. 整理，得 a2＋2 ab ＋ b2＝2 ab ＋ c2. 所以 a2＋ b2＝ c2. 解：根据面积公式，得 S梯形 ABCD ＝ ( BC ＋ AD )· AB ＝ ( b ＋ a )· a ＝ ab ＋ a2， S梯形 ABCD ＝ S△ BCE ＋ S四边形 AECD ＝ ( a － b )· b ＋ c2＝ ab － b2＋ c2. 所以 ab ＋ a2＝ ab － b2＋ c2. 所以 a2＋ b2＝ c2.所以 a2＋ b2＝ c2. 解：根据面积公式，得 S正方形 CDEF ＝ c2＋4· ab ＝ c2＋2 ab ， S正方形 MNOP ＝ a2＋ b2＋4· ab ＝ a2＋ b2＋2 ab . 因为 S正方形 CDEF ＝ S正方形 MNOP ， 所以 c2＋2 ab ＝ a2＋ b2＋2 ab . 所以 a2＋ b2＝ c2. 解：根据题意，得 S1＝ a2＋ b2＋2· ab ＝ a2＋ b2＋ ab ， S2＝ c2＋2· ab ＝ c2＋ ab . $$