精品解析：天津市实验中学2025届高三上学期第一次质量调查数学试卷

2025届高三年级第一次质量调查数学学科试卷 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3. 观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）． A. ①②③ B. ②③① C. ②①③ D. ①③② 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的散点图，结合相关性，即可求解. 【详解】根据给定的散点图，可得甲中的数据为正相关，乙中的数据不相关，丙中的数据为负相关， 所以甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是①③②. 故选：D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性可排除AC，通过时函数值的符号可排除D，进而可得结果. 【详解】令，其定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC， 当时，，，，即，故排除D， 故选：B 5. 已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数单调性，再比较这3个数的大小，然后利用单调即可. 【详解】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，， 从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以. 故选：C． 6. 函数的一个对称中心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数对称中心计算求解. 【详解】令，则, 当时，对称中心为：，结合选项，ABC错误， 故选：D. 7. 将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果. 【详解】将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得； 再将图象上各点向左平移个单位长度，可得. 故选：C 8. 函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ） A. B. 是函数图象的一条对称轴 C. 时，函数单调递增 D. 的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论． 【详解】解：函数，的图象的一个最低点是， 距离点最近的对称中心为， ，，， ，，解得，，因为， 令，可得， 所以函数，故A错误； ，故函数关于对称，故B错误； 当时，，函数单调递增，故C正确； 把的图象向右平移个单位后得到的图象， 若是奇函数，则，，即，， 令，可得的最小值是，故D错误， 故选：C 9. 定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程（，）有且只有6个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象以及方程有且只有个不同的实数根列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，定义在上的函数满足，所以是偶函数，图象关于轴对称. 由于当时，，从而可画出的图象如下图所示. ，. 令，，结合图象可知， 此方程的两根满足：，时， 方程有且只有个不同的实数根. ， 设， ①当时，， . ②当时，， ，解得. ③当时，，， ，，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：A 【点睛】求解二次型“复合方程”的根有关问题，要结合两个方面来考虑，一个是一元二次方程根的分布，另一个是“内部”函数的图象与性质，如本题中的.分类讨论时，要做到不重不漏. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知，i是虚数单位，若（1i）（1bi）=a，则的值为_______. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：由，可得，所以，，故答案为2． 【考点】复数相等 【名师点睛】本题重点考查复数基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为. 11. 的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】先求的展开式中，然后与中的项相乘可得. 【详解】的展开式通项为， 则的展开式中，含的项为： ，系数为10. 故答案为：10 12. 已知点，，，，与方向相同的单位向量为，若向量在方向上的投影向量为，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据求解. 【详解】由题意知， 则 向量在方向上的投影向量为， 所以. 故答案为： 13. 已知且，则最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】解：令，，因为，所以， 则，，所以, 所以 ， 当且仅当，即，，即时取“”， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式． 【详解】由图象可知，， ， ， 三角函数的解析式是 函数的图象过,， 把点的坐标代入三角函数的解析式， ，又， ， 三角函数的解析式是. 故答案为：. 15. 已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数各区间的性质，结合已知条件，将时，存在使成立，转化为在有解，进而求参数范围. 【详解】作出函数与的图象，易得两函数交点位于两侧， 若存在使得成立，又关于对称， 那么与有交点， 如下图有与关于对称，那么就有； 令，令； 即在有解； 所以，即的取值范围为． 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求图象的对称轴方程； （3）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式可将化简，从而求得其最小周期； （2）利用整体代入法求得图象的对称轴方程，从而得解； （3）利用正弦函数的性质，结合整体法即可得解. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期为：； 【小问2详解】 令，得， 所以图象的对称轴方程为； 【小问3详解】 因为，所以， 注意到在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 所以，. 17. 已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求； （2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求． 【小问1详解】 解：因为，，，且，， 所以，， 所以，， 所以，； 【小问2详解】 解：设向量，的夹角的大小为． 由题意可得，，， 所以， 因为，所以． 18. 已知函数，. （1）当时，求在上的值域； （2）若的极大值为4，求实数的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）求导函数，从而可确定函数在闭区间上的单调性，通过比较端点处函数值与极值，从而可得函数的最值，即可得函数值域； （2）根据极值的概念对函数求导之后，确定函数单调性及极值情况，即可求得实数的值. 【小问1详解】 时，，，令，得或， ∴在单调递增，单调递减，单调递增 又，，， ∴的值域为. 【小问2详解】 ，令，解得：或， 当时，，单调递增，无极值，舍； 当时，或，在和单调递增，在单调递减， 在时取得极大值，又，不符合题意，舍去； 当时，或，在和单调递增，在单调递减， 在时取得极大值，故，解得. 综上得，. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）(i)；(ii) 【解析】 【分析】（1） 由已知结合正弦定理及余弦定理列出方程即可求解B； （2） (i) 由余弦定理结合上问求边长即可. (ii) 利用余弦定理结合同角平方关系可求的正弦和余弦值，然后结合二倍角公式及两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，可化为 【小问2详解】 （i）由余弦定理得，由 得解得 （ii）由余弦定理得，， 20. 设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求证: ； （3）设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求导数，分别令和，即可求出的单调区间； （2）根据函数由两个极值点，则是方程的两个不相等的实根，结合韦达定理，可得，构造新函数，由导数法求出其最小值，即可得证； （3）根据题意写出的表达式，求出在上的单调性，可得的最大值，列出不等式，构造新函数，分类讨论，确定单调性，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 当时或；时，∴的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 函数有两个极值点，则是方程的两个不相等的实根，所以，，即，， 所以 ，(). 令，()，则 所以在上单调递减. ，即. 【小问3详解】 ∵ ，∴ ， ∵，，∴，在上单调递增， ∴ ， ∴对于任意，总存在，使成立，等价于 在上恒成立， 令 ，则在上恒成立． ， ， i.当时，，在上单调递减，，不合题意； ii.当时，令，得， ①当，即时，在上单调递减，存在不合题意； ②，即时，在上单调递增，，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决. 一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论. 当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三年级第一次质量调查数学学科试卷 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）． A. ①②③ B. ②③① C. ②①③ D. ①③② 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 函数的一个对称中心的是（ ） A. B. C. D. 7. 将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ） A B. 是函数图象一条对称轴 C. 时，函数单调递增 D. 的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是 9. 定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程（，）有且只有6个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知，i是虚数单位，若（1i）（1bi）=a，则的值为_______. 11. 的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 12. 已知点，，，，与方向相同的单位向量为，若向量在方向上的投影向量为，则实数________. 13. 已知且，则的最小值为___________. 14. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________． 15. 已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求图象的对称轴方程； （3）求在上最大值和最小值． 17. 已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 18. 已知函数，. （1）当时，求在上的值域； （2）若的极大值为4，求实数的值. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）求的值． 20. 设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求证: ； （3）设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$