精品解析：江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三上学期期初检测数学试题

江苏省前黄中学2025届高三上学期期初检测试卷 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据集合的补集、交集运算即可得解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：B 3. 已知，且，则函数的图象一定经过（ ） A. 一、二象限 B. 一、三象限 C. 二、四象限 D. 三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 4. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知，满足，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式即可得到答案. 【详解】 ， 所以， 所以. 故选：D. 6. 现将甲､乙､丙､丁､戊､己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作，则丙､丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数：先分成两组，后排列到两项工作； 丙､丁两人恰好参加同一项服务工作的基本事件个数：丙､丁先挑一人成组，后排列到两项工作. 【详解】基本事件总数，丙､丁两人恰好参加同一项服务工作包含的基本事件个数， 所以丙､丁两人恰好参加同一项服务工作的概率. 故选：B 7. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．若的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移写出解析式，结合对称中心列方程求参数的表达式，即可得最小值. 【详解】令， 图象向右平移（）个单位长度，则， 再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，则， 又的图象关于点中心对称，则， 所以，则，又，故. 故选：A 8. 若函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由导数结合极值点得方程有两个不同的正根，从而结合韦达定理得，再将韦达定理代入计算得，进而得解. 【详解】由题， 因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不同的正根， 所以，，，所以①， 所以 ， 又，所以即得， 所以或（舍去）②， 所以由①②得. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先由极值点与导数的关系结合韦达定理初步求出的值，再由韦达定理结合不等式计算即可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，其中正确命题是（ ） A. 是以为最小正周期的周期函数 B. 的最大值为 C. 将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简函数，接着即可由函数性质直接得出函数的最小正周期和最值，进而可判断AB；对于C，由平移变换知识求得变换之后的解析式为即可判断；对于D，由得，进而结合正弦函数性质即可判断. 【详解】由题得 ， 对于A，函数最小正周期为，故A正确； 对于B，函数最大值为，故 B正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位可得到函数解析式为 ， 所以该函数图象不会与已知函数的图象重合，故C错误； 对于D，当，，因为正弦函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，则以下结论正确的有（ ） A. ，有零点 B. ，在上单调递增 C. 时， D. 时，的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，将题意转换为有解，数形结合分析即可； 对B，求导后分析可得当，即可判断； 对C，求导分析函数的单调性与最小值判断即可； 对D，求导分析可得为减函数，再结合定义域求解不等式即可 【详解】对A，当时，即有解，又与的图象明显有交点，故A选项正确； 对B，，时，，，单调递减，故B选项错； 对C，时，，时，递减，时，递增，，故C选项正确； 对D，时，，单调递减，等价于，等价于，又，解得，故D选项正确． 故选：ACD． 11. 甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 为互斥事件 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用互斥事件概念，条件概率公式和全概率公式计算,分别判断即可. 【详解】A选项: 事件可以同时发生；显然不成立，故A选项错误； B选项:当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，∴，∴B选项正确； D选项: 当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为， ∴, ∴，∴D选项正确； C选项:，∴C选项错误． 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13. 设的内角的对边分别为.若，则角______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知等式由两角差的正弦展开式，由正弦定理，余弦定理化简得到，再由特殊角的三角函数值得到结果即可； 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 又， 所以， 因为， 所以． 故答案为：. 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 【答案】-3 【解析】 【分析】分别求出两函数的导函数，由切线斜率为1求得切点坐标，写出曲线在切点处的切线方程，把的切点代入，可得b与a的关系式，再由导数求最值即可 【详解】解: 令，得，切点为， 令，得，切点为. 切线方程为代入，可得则 令，则,当时，，当时， ∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴即b的最大值为-3. 故答案为：-3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理以及已知条件代入化简即可求解； （2）由（1）求出，由同角三角函数的基本关系求出，最后由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又因， 所以，化简得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以为锐角，则， 所以的面积， 所以， 设边上的高为， 则的面积， 所以，即边上的高为. 16. 已知函数且，其中是自然对数的底数． （1）当，证明：为定值，并求出函数的对称中心； （2）当时，若在定义域上单调递增，求实数的最小值． 【答案】（1） 当时，，其中， ， 所以， 故函数的对称中心为． （2） 【解析】 【分析】（1）当时，得到，即可证明结果，由，即可求出对称中心； （2）由题有在上恒成立，利用基本不等式得到，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，其中， 因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立， 又， 又，当且仅当时等号成立， 得到，所以，即， 所以的最小值为． 17. 足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． （1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率； （2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望为【解析】 【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得； （2）得到的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【小问1详解】 设事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”， ， ， ， 则， ∴常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为； 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， ∴的分布列为： ∴. 18. 如图，已知菱形和菱形的边长均为，，分别为上的动点，且． （1）证明：平面； （2）当的长度最小时，求： ①； ②点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）方法一，过点作，证明平面平面，从而可证明结论；方法二，延长交直线于点，连结，证明，根据线面平行的判定定理证明结论； （2）①建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而利用向量的坐标运算求出坐标，可得其模长，结合二次函数性质，即可求得答案；②利用空间距离的向量求法，即可得答案. 【小问1详解】 证明：（方法一）在菱形内，过点作， ，连接，则， 由得， ∴，∴， ∵，平面，平面， ∴平面． ∵，平面，平面， ∴平面． 又平面，， ∴平面平面， 又平面，∴平面． （方法二）延长交直线于点，连结， 由，得， 由得，则， 而平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 取的中点，连接， 由题意知为等边三角形，得，同理， 而平面，则平面， 又平面，于是平面平面， ①在平面内作，平面平面，则平面， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由， 得，，， ， 由， 得． 从而， 当时，取最小值； ②此时，，， 设为平面的法向量，则， 令，得， 故点到平面的距离为. 19. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求在上的值域； （2）当时，讨论的零点个数； （3）当时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明． ①；②． 【答案】（1） （2）时有一个零点，时有2个零点； （3）选择①证明：当时，， 设， 当时，， 又由（2）知，∴， 当时，， 设，则， ∴在单调递增，∴， ∴，即在单调递增，， 综上，即当时，即； 选择②证明：当时，， 设，当时，， ∴，当时，， 设，则， ∴在单调递增，∴， ∴，即在单调递增，， 综上，， 即当时，，即. 【解析】 【分析】（1）求导后，结合可得在上恒成立，即可得的单调性，即可得其值域； （2）分及进行讨论，当时，利用函数单调性可得其有唯一零点，当，结合函数的单调性与零点的存在性定理可得在上有且仅有一个零点，再构造函数结合导数研究单调性后可得在上有一个零点； （3）选①时：设，分及进行讨论，结合（2）中所得并利用导数讨论函数单调性后即可得证；选②时：设，分及进行讨论，再多次求导结合函数的单调性计算即可得证. 【小问1详解】 当时，，， ∵，∴， ∴在上单调递减， 又，， ∴在上的值域为； 【小问2详解】 ，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴， 当时，， ∴，则在上有且仅有1个零点． 当时，令，， ∴在上单调递增， ∴，即，又， ∴在上有1个零点，又， 令，则， ∴在上单调递减， ∴， ∴， ∴在上有一个零点． 综上所述，时有一个零点，时有2个零点； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省前黄中学2025届高三上学期期初检测试卷 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则函数的图象一定经过（ ） A. 一、二象限 B. 一、三象限 C. 二、四象限 D. 三、四象限 4. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知，满足，，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 现将甲､乙､丙､丁､戊､己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作，则丙､丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．若的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，其中正确命题是（ ） A. 是以为最小正周期的周期函数 B. 的最大值为 C. 将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合 D. 在区间上单调递减 10. 已知，则以下结论正确的有（ ） A. ，有零点 B. ，在上单调递增 C. 时， D. 时，的解集为 11. 甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 为互斥事件 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 13. 设的内角的对边分别为.若，则角______． 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求边上的高． 16. 已知函数且，其中是自然对数的底数． （1）当，证明：为定值，并求出函数的对称中心； （2）当时，若在定义域上单调递增，求实数的最小值． 17. 足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． （1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率； （2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 18. 如图，已知菱形和菱形的边长均为，，分别为上的动点，且． （1）证明：平面； （2）当的长度最小时，求： ①； ②点到平面的距离． 19. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求在上的值域； （2）当时，讨论的零点个数； （3）当时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明． ①；②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $