第二章有理数拓展提优讲义2024-2025学年苏科版七年级数学上册

七年级上册数学有理数拓展提优 知识点一:有理数的分类：按照符号分类，可以分为 、________和 ；按照定义分类，可以分为_________和________：整数分为 、 和_______；分数分为_______和_____。 非负数指的是_________________; 非正数_____________ 非负整数：_____________ 非正整数_____________________ 不大于_______________不小于_________________ 【例题精讲】例1.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里： −，0.618，-3.14，260，-2001，，-1，-53%，0 【变式1】把下列各数分别填在相应的集合里： -1，500%，，0.3，0，-1.7，21，-2，1.01001，+6 1. 正数集合{ …} （2）负数集合{ …} （3）正整数集合{ …} （4）整数集合{ …} （5）分数集合{ …} （6）非负数集合{ …}． 例2：某自行车计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 ________辆； （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_________ 辆； （3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式】1、小明在超市买一食品，外包装上印有“总净含量（300±5）g”的字样．小明拿去称了一下，发现只有297g．则食品生产厂家______（填“有”或“没有”）欺诈行为． 2、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值/克 -5 -2 0 1 3 6 袋数 4 3 6 3 3 1 （1） 这批样品的质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？ 知识点二：数轴的定义：规定了________、________和________的________叫数轴。 数轴的三要素：数轴的三要素是指________、________和________，缺一不可。 用数轴比较有理数的大小：在数轴上，________的点表示的数总比________的点表示的数大。 例1， 在数轴上，与表示-7的点距离为4个单位长度的点所表示的数是______________ 变式：点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为-2和1，若B，C两点之间的距离为２，则A，C两点之间的距离为_________________ 例2， 将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0cm”和 “15 cm”分别对应数轴上的－3.6和x，则 x=____________ 例3，小明在一张纸上画了一条数轴，折叠纸面。 （1） 若数轴上数1对应的点与数－1对应的点重合，那么数轴上数2对应的点与数_______对应的点重合; （2） 已知数轴上数－4对应的点与数0对应的点重合，那么 1) 数轴上数3对应的点与数_______对应的点重合; 2) 若点A到原点的距离是5，且A，B经折叠后重合，求点B所对应的数； 3) 若数轴上M，N两点之间的距离为2024，且点M，N经折叠后重合， M点在N点的左边，分别求出M，N表示的数。 例4：如图，在数轴上，A1、P两点表示的数分别为1、2，A1、A2关于O对称，A2、A3关于点P对称，A3、A4关于点O对称，A4、A5关于点P对称…依次规律，则点A15表示的数是_______ 知识点三：绝对值的定义：数轴上_________与________的________，叫做这个数的绝对值。 绝对值的表示方法如下：的绝对值是，记作________；的绝对值是，记作________；0的绝对值是________。 绝对值性质：绝对值的非负性，可以用下式表示 若|a|=a，则 ；若|a|=-a，则 ；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 若|a|=|b|，则 绝对值【例题精讲】 例1：（1）|x|=7，则x=______；|-x|=7，则x=______。 （2）已知|a|=5，|b|=3，且ab＜0，则|a-b|=________。（3）若|m|=-m，则|m-1|-|m-2|=_______。 例2：若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2| 例3：同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： （1）求|5-（-2）|=________． （2）若|x-3|=|x+1|，则x=_______． （3）同样道理|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是_________． 变式.阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题： （1）数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　　，数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离是　 ； （2）数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为　　 ； （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣7|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【巩固练习】 1、（1）若|a-3|与|b+4|互为相反数，则a+b的值为_______。 （2）若有理数a、b满足|a+2|+（b-3）2=0，则ab的值为_________。 2、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为_______。 3、（1）阅读下面材料： 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|． 当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a-b|； 当A，B两点都不在原点时， ①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|； ②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|； ③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|； 综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a-b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________ ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_________； ②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_________，如果|AB|=2，那么x为________； ③当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的值是_________． ④当x=________时，|x+1|+|x-2|=5． 知识点四：相反数的定义：__________、__________的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的________。表示一个数的相反数就是在这个数的前面添一个________号，如的相反数可表示为________，的相反数可表示为________。 例1：化简：（1）-{+[-（+3）]}； （2）-{-[-（-|-3|）}． 例2，－1的相反数是______；－2是______的相反数；_______与互为倒数． 5的相反数是____，_____的相反数是5，那么－x的相反数是____，m＋n的相反数是______． 例3：若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是最大的负整数．求代数式2a+2b−+m2值． 【巩固练习】 1、 化简下列各式的符号，并回答问题： （1）-（-2）； （2）+（-）； （3）-[-（-4）] （4）-[-（+3.5）]； （5）（-{-[-（-5）]}） （6）-{-[-（+5）]} 问：①当+5前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当-5前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 2、a，b是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果a-b=0，那么a与b的关系是_________如果a+b=0，那么a与b的关系是__________ 如果a×b=1，那么a与b的关系是___________ 有理数的加法和减法 1．有理数加法法则： ①同号两数相加，取________的符号，并把________相加； ②异号两数相加，________相等时，和为________；绝对值不等时，取__________符号，并用________________。 ③一个数与0相加，________。 有理数减法法则：减去一个数，等于____________。 有理数加法运算律：加法交换律：________；加法结合律：________ 有理数的加法和减法【例题精讲】 例1：计算： 【巩固练习】 1．判断对错 ①两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数。 （ ） ②如果两个有理数的和比其中任何一个加数都大，那么这两个数都是正数。 ( ) ③两个不等的有理数相加，和一定不等于0。 （ ） ④零减去一个数等于这个数的相反数。 （ ） 2．下列说法正确的是( ) A．两数的和大于每一个加数 B．两个数的和为负数，则这两个数都是负数 C．两个数的和为0，则两个数都是0 D．两个数互为相反数，则这两个数的和为0 有理数的乘法和除法 有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。 多个非零的有理数相乘，积的符号是由________的个数决定的：当________的个数是奇数个时，积为________；当________的个数为偶数个时，积为________。 有理数除法法则：除以一个数，等于________________。 有理数的乘法和除法【例题精讲】 1. 计算： ① ② 【巩固练习】 1．几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数个，则积为（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．一个有理数和它的相反数相乘，积为（ ） A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0 3．一个非零的有理数与它的相反数的商是（ ） A．-1 B．1 C．0 D．无法确定 有理数的乘方 乘方的定义：________________的运算叫做乘方。 对于式子，______是指数，________是底数，________是幂，它表示的意义是___________。 乘方的符号法则：正数的________次幂都是正数；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数。 科学记数法的定义：把一个大于10的数记成的形式，其中________，是________，这样的记数法叫做科学记数法。科学计数法中，10的指数等于原数的整数位数减去_______。 有理数的乘方【例题精讲】 1：比较和，并填表： 写法 有括号 无括号 读法 意义 结果 例2：计算：①        ②        ③        ④        ⑤ 【巩固练习】 1．一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A．正数 B．负数 C．正数或负数  D．奇数 2．为正整数时， +的值是（  ）A．2 B．-2 C．0 D．不能确定 3. 平方得的数是________；若，则________。 4．一个数的绝对值等于它本身，则这个数是________；一个数的相反数等于它本身，则这个数是________；一个数的平方等于它本身，则这个数是________；一个数的立方等于它本身，则这个数是________；一个数的倒数等于它本身，则这个数是________。 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：先________，再________，最后________；若有括号，先___________。同级运算应该________依次计算；对于多重括号应该遵循________依次去括号。 例1：计算： 计算： 变式：计算：（1） （2） （3） （4） 售出件数 7 6 3 5 4 5 售价（元） +3 +2 +1 0 ﹣1 ﹣2 例2.某商场老板以32元的价格购进30件儿童服装，针对不同的顾客，30件儿童服装的售价不完全相同．若以47元为标准，超过的钱数记为正数，不足的钱数记为负数．记录结果如表所示： （1）在销售这30件儿童服装中，价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？ （2）请问该商场在售完这30件儿童服装后，赚了多少钱？ 变式.某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9 （1）根据记录的数据可知该厂星期五生产自行车 　 　辆； （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车 　 　辆； （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得80元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该工人这一周的工资总额是多少元？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 动点问题拓展 例1：如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1） 数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是_________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 例2.如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0． （1）a＝　 　，b＝　 ，c＝　 ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　　对应的点重合； （3）若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，那么3BC﹣2AB的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 例3.如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． （1）AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　； （2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动． ①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC； ②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【巩固练习】 1、在数轴上与数-2相距2个单位长度的点表示的数为_________，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖__________个表示整数的点，最多能覆盖________个表示整数点． 2、如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数-2012将与圆周上的哪个数字重合（ ） 3、已知在数轴上A，B两点对应数分别为-4，20． （1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数． （2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数． （3）在（2）的条件下，是否存在M点，使3MA=2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由． 巩固练习 一、填空题 1．数轴上最靠近－2且比－2大的负整数是______． 2．数轴上表示－2的点离原点的距离是______个单位长度；表示＋2的点离原点的距离是___个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有____个，它们表示的数分别是____． 3．绝对值小于π的非负整数是_______． 4．数轴上，若A，B表示互为相反数的两个点，并且这两点的距离为8，则这两点所表示的数分别是______和_______． 5．写出一个x的值，使＝x－1成立，你写出的x的值是______． 6．若x，y是两个负数，且x<y，那么_______． 7．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB＝BC，若>>，则该数轴的原点 O的位置应该在______． 8．已知是非零的有理数，求的值。 9． (1)如图，根据数轴上各点的位置，写出它们所表示的数：  (2)用数轴上的点表示下列各数，并用“<”号把下列各数连接起来． －，，2.5，0，1，－(－7)，－5，－1． 10． 已知与互为相反数，求的值。 11．如图是一个长方体纸盒的展开图，请把－5，3，5，－1，－3，1分别填入六个长方形中，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数． 12．计算：… 13． (1)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系4＝(2＋6)，那么到点100和到点999距离相等的点表示的数是_______；到点m和点－n距离相等的点表示的数是_______．(2)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系5＝9－4，那么点10和点－3之间的距离是_______；点m和点n之间的距离是_______． 3.阅读理解：我们知道的几何意义是:在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为: 表示在数轴上数对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和﹣1的两点A和B之间的距离是AB=|a﹣（﹣1）|=|a+1|． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）求数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离； （2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，求|a+3|+|a﹣5|的值； （3）当|a﹣1|+|a﹣2|取最小值时，相应的数a的取值范围是　 　 ； （4）求|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是　 　． 实际应用：（5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：A1，A2，A3，A4，A5，…A2023，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在紧靠　　 居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：（6）若数a，b满足|a-1|+|a-3|+|b-4|+|b+5|=11，求a+b的最小值为　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$