13.3等腰三角形 同步练习题 2024-2025学年人教版八年级数学上册

2024-2025学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知一个等腰三角形有一个角为，则底角是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（　　） A．或 B． C． D． 3．如图，在等腰直角 中，， 是斜边 上两点，，，则 的度数（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，平分交于E，于D，交的延长线于，连接，给出四个结论：①；②；③④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．在活动课上，小红有两根长为4 cm、8 cm的小棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长度是 cm. 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 11．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为 ． 12．在平面直角坐标系中，已知点和第一象限内点 M，若是等腰直角三角形，则点M的坐标是 . 13．中，，为上一点，上有一点满是，若，则 ． 14．如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为 ． 15．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 16．如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 三、解答题 17．线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，点D，E分别是等边三角形边上的点，且与交于点F．求证：． 19．如图，已知中，，于，平分交于，交于． 求证：． 20．如图，在中，，点在边上，点F在的延长线上，连接，点是与的交点，且交的延长线于点． 【问题探究】（1）与相等吗？说明理由； （2）试说明：； 【衍生拓展】（3）试说明：． 21．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 22．阅读下列内容并解决问题 问题背景： 如图1，在中，是边上的中线，求的取值范围： 平平同学探究此问题的方法是，延长到点，使得，连接，先证明，得，再利用三角形三边关系定理，在中得出的取值范围，进一步得出的取值范围是． 探索延伸： （1）如图2，在和中，，，点是的中点，连接．当点在上，点在上时，求证：； 能力提升： （2）如图3，当时，上述结论是否仍成立？请说明理由 参考答案： 1．解：分两种情况： ①若该角是顶角，则底角为：， ②若该角是底角，则底角为：， 故选：C． 2．解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 综上所述，有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为或， 故选：A． 3．解：∵是等腰直角三角形 ， ，， ，， 则， 故选：B． 4．解：， ，， ， ， 整理得：， 故选：D． 5．解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 6．解：由题意得 ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ()； 故选：A． 7．解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．解：作，，，垂足为、， ，， ， 又 ，， ， ，， 又 ， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ，②正确； 平分，，， ，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③正确； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴；④正确； 故选D． 9．解：当第三根是时，其三边分别为、、，不符合三角形三边关系，故舍去； 当第三根是时，其三边分别为、、，符合三角形三边关系；所以第三根长. 故答案为：. 10．解：当等腰三角形的顶角为锐角时，过作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴； 当等腰三角形的顶角为钝角时，过作，交延长线于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 11．解：如图所示，在中，，是中线， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当时， 同理得：， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴腰长为，底边为， ∴这个等腰三角形各边的长为，，． 故答案为：，，． 12．解：如图，时，作轴于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标是， 当时，同理可求，点的坐标是， 当是等腰直角三角形的斜边时，点是的中点，则点的坐标为， 综上可知，满足条件的点M的坐标是或或 故答案为：或或 13．解：设，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 14．解：如图，作，交于M， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴. ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：4． 15．解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 16．解：∵，， ∴， ∴， ∵， 是等腰三角形，分情况讨论： ①时，， ∴， 此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 17．解：连接，作的垂直平分线交于点，连接，则就是所求的以为底边的等腰三角形，如图： 18．证明：为等边三角形， 在和中， 19．证明：，， ， 平分， ， ， 又， ， ． 20．解：（1），理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴； （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 21．（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 22．解：（1）延长到点使得，连接，如图， 是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， （2）仍成立，理由如下， 证明：延长交于 点，连接，如图， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$