1.3.1 空间直角坐标系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示 第一章 空间向量及其运算 课时1 空间直角坐标系 新知探究 探究一：空间直角坐标系 情境设置 在给定的空间直角坐标系中，空间中给定一点，其坐标与唯一的有序实数组(𝑥,𝑦,𝑧)相对应；反之，给定一个有序实数组(𝑥,𝑦,𝑧) ，空间中也有唯一的点与之对应. 平面直角坐标系的画法：在平面内分别画两条与单位 正交基底向量𝒊，𝒋方向相同的𝑥轴和𝑦轴，相交于原点，它们互相垂直 拓展到空间中，在𝑥轴和𝑦轴的基础上添加与𝑥轴和𝑦 轴都垂 直的𝑧轴.借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角 坐标系时，让轴与轴所成的角为（或 ， 即(或，画轴和轴垂直，即 2 新知生成 知识点一 空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点𝑂和一个单位正交基底{𝒊，𝒋，𝒌}，以 点𝑂 为原点，分别以________的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：𝑥 轴、𝑦轴、𝑧 轴，它们都叫作________.这时我们就建立了一个空间直角坐标系______，𝑂 叫作原点，________都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为_____平面，_____平面，_____平面，它们把空间分成八个部分. 2.画法：画空间直角坐标系𝑂𝑥𝑦𝑧时，一般使∠𝑥𝑂𝑦=________________，∠𝑦𝑂𝑧= ____. , 坐标轴 ，， 或 3 新知生成 知识点一 空间直角坐标系 3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让__________指向𝑥 轴的正方向，______指向𝑦轴的正方向，若中指指向𝑧 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 右手拇指 食指 4 新知生成 知识点一 空间直角坐标系 4.空间中点的坐标表示：在空间直角坐标系𝑂𝑥𝑦𝑧中，𝒊，𝒋，𝒌 为坐标向量，对空间 任意一点𝐴，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理得，存在唯一的有序实数组，使____________.在单位正交基底，，下与向量对应的__________________，叫作点在空间直角坐标系中的坐标，记作_________，其中叫作点的____坐标，叫作点的____坐标，叫作点 的____坐标. 有序实数组 横 纵 竖 5 一、空间直角坐标系 例题1 设在棱长为1的正方体中，点在线段上，且，是线段的中点，以{,, }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,求点 ，的坐标. 【解析】如图，过点作于点，连接，取的中点 ，连接 . 由，知， . 因为，所以与轴平行，点与点的横坐标、 纵坐标相同，又点的竖坐标为，所以，1， .易得 为的中点，则，， . 与轴平行，且，所以，， . 6 反思感悟 方法总结 由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴 上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标.所以可以总结如下步骤： (1)过空间点分别作𝑥轴、𝑦轴和𝑧 轴的垂线； (2)确定空间点在坐标轴上的射影的坐标； (3)得到空间点的坐标. 7 新知运用 跟踪训练1 如图，在长方体中， ，，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.分别写出 ，，，四点的坐标. 【解析】因为点𝐷′在𝑧轴上，且𝑂𝐷′=3，所以点𝐷′的坐标是(0,0,3) . 同理，点𝐶的坐标是(0,4,0) . 点𝐴的坐标是(5,0,0)，所以点𝐴′的坐标是(5,0,3) . 点𝐵的坐标是(5,4,0)，所以点𝐵′的坐标是(5,4,3) . 8 新知生成 知识点二 空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，给定向量，作 ，由空间向量基本定理得，存 在唯一的有序实数组，使____________.有序实数组________叫作𝒂 在空间直角坐标系𝑂𝑥𝑦𝑧 中的坐标，上式可简记为____________. 9 二、空间向量的坐标 例题2 如图，在三棱柱中， ， ，棱，，分别为， 的中点 ，试建立恰当的坐标系，求： (1) 点，，，， 的坐标； (2) 向量，， 的坐标. 【解析】，，，且 ， ， 以为单位正交基底建立空间直角坐标系 ，如图所示.设,, . ( 点在轴上，且 ， ， 点的坐标是 .同理，点的坐标为 . 点在轴、轴、轴上的射影分别为点，，，它们在 轴、 轴、 轴上的坐标分别为0，1，2， 点的坐标是 . 的坐标为，，，点的坐标为 . ( ，的坐标为 ， 而 ， 的坐标为 .又，的坐标为 . 10 反思感悟 方法总结 求空间点、向量的坐标的一般步骤 (1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系. (2)运算：分别找出点在𝑥轴、𝑦轴、𝑧 轴上的射影的坐标，综合利用向量的加减 及数乘运算表示向量. (3)定结果：根据射影坐标写出点的坐标，将所求向量用已知的基底向量表示 出来，确定坐标. 11 新知运用 跟踪训练2 如图，已知正方体的棱长为2，，， 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. 写出各顶点的坐标； (2) 写出向量，， 的坐标. 【解析】 (1) 设轴、轴、轴的单位向量分别为，， . 因为正方体的棱长为2，所以，，. 因为 ，所以，，. 又因为，所以 . 同理可得，，， . (2)因为，分别为棱，的中点， 所以 ， ， . 12 新知生成 知识点三 空间点的对称问题 在空间直角坐标系中，任意一点𝑃(𝑎,𝑏,𝑐) 的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称平面或对称中心 对称点的坐标 轴 轴 轴 平面 平面 平面 坐标原点 13 三、空间点的对称性 例题3 在空间直角坐标系中，已知点𝑃(−2,1,4) . (1)求点𝑃关于𝑥 轴对称的点的坐标； (2)求点𝑃关于𝑂𝑥𝑦 平面对称的点的坐标； (3)求点𝑃关于点𝑀(2,−1,−4) 对称的点的坐标. 【解析】(1)因为点𝑃关于𝑥 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的 相反数，所以点𝑃关于𝑥轴对称的点的坐标为(−2,−1,−4) . (2)因为点𝑃关于𝑂𝑥𝑦 平面对称后，它的横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相 反数，所以点𝑃关于𝑂𝑥𝑦平面对称的点的坐标为(−2,1,−4) . (3)设对称点为𝑃′(𝑥,𝑦,𝑧)，则𝑀为线段𝑃𝑃′ 的中点， 由中点坐标公式，可得𝑥=2×2−(−2)=6，𝑦=2×(−1)−1=−3 ， 𝑧=2×(−4)−4=−12 ， 所以点𝑃′的坐标为(6,−3,−12) . 14 反思感悟 方法总结 对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 15 新知运用 跟踪训练3 求点𝐴(1,2,−1)关于坐标平面𝑂𝑥𝑦及𝑥 轴对称的点的坐标. 【解析】如图所示，过点𝐴作𝐴𝑀⊥ 坐标平面𝑂𝑥𝑦交平面于点𝑀 ， 并延长到点𝐶，使𝐴𝑀=𝐶𝑀，则点𝐴与点𝐶关于坐标平面𝑂𝑥𝑦 对 称，且点𝐶的坐标为(1,2,1) . 过点𝐴作𝐴𝑁⊥𝑥轴于点𝑁并延长到点𝐵，使𝐴𝑁=𝑁𝐵 ， 则点𝐴与点𝐵关于𝑥轴对称且点𝐵的坐标为(1,−2,1) . 故点𝐴(1,2,−1)关于坐标平面𝑂𝑥𝑦对称的点的坐标为(1,2,1) ，点 𝐴(1,2,−1)关于𝑥轴对称的点的坐标为(1,−2,1) . 16 随堂检测 1. 点(1,1,0) 在空间直角坐标系中的( ) . A.𝑦轴上 B.𝑂𝑥𝑦平面上 C.𝑂𝑥𝑧 平面上 D.第一象限内 2.在空间直角坐标系中，点𝑃(3,4,5)与𝑄(3,−4,−5) 两点的位置关系是( ) . A.关于𝑥轴对称 B.关于𝑂𝑥𝑦 平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 3. 如图，在棱长为2的正方体中，取点为原点建立空间直角坐标系，，分别是，的中点，写出下列向量的坐标：_________， _______. B A 17 随堂检测 4. 已知𝑃𝐴垂直于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷所在的平面，𝑀，𝑁分别是𝐴𝐵，𝑃𝐶 的中点，并且 𝑃𝐴=𝐴𝐷=1，建立适当的坐标系，求向量的坐标. 【解析】以{，， }为单位正交基底，建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，又，分别为， 的中点， ， ， ，0， . 18 课堂小结 1.知识清单： (1)空间直角坐标系； (2)空间向量的坐标； (3)空间点的对称问题. 19 $$