1.2 空间向量的基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理 第一章 空间向量及其运算 空间向量基本定理 新知探究 探究一：空间向量基本定理 情境设置 如图,设是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点.对于任意一个空间向量,设为在所确定的平面上的投影向量,则.又向量共线,因此存在唯一的实数,使得, 从而 而在所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得 从而 因此,如果是空间三个两两垂直的向量,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,,使得 我们称分别为向量在上的分向量. 2 新知生成 知识点一 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量𝒂，𝒃，𝒄不共面，那么对任意一个空间向量𝒑 ，存在唯一的有序实数组(𝑥,𝑦,𝑧)，使得𝒑=𝑥𝒂+𝑦𝒃+��𝒄 . 2.基底与基向量 把{𝒂，𝒃，𝒄}叫作空间的一个基底，𝒂，𝒃，𝒄 都叫作基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 3 一、空间向量基本定理 例题1 设𝒙=𝒂+𝒃，𝒚=𝒃+𝒄，𝒛=𝒄+𝒂，且{𝒂，𝒃，𝒄 }是空间的一个基底，给出下列 向量组：①{𝒂，𝒃，𝒙}，②{𝒙，𝒚，𝒛}，③{𝒃，𝒄，𝒛}，④{𝒙，𝒚，𝒂+𝒃+𝒄 }.其中可以 构成空间的一个基底的向量组有( ) . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】如图所示，令，，，则，， ， .由A，，C，四点不共面，可知向量，，也不共面，同理 ，，和，，也不共面，而，，共面，故选C. C 4 反思感悟 方法总结 基底判断的基本思路及方法：①若向量中存在零向量，则不能构成基底；②假设存在一个向量可以用另外的向量线性表示，即𝒂=𝜆𝒃+𝜇𝒄(𝜆,𝜇∈𝐑) ，运用空间向量 基本定理，建立含有𝜆 ，𝜇 的方程组，若有解，则共面，不能构成基底，若无解，则不共面，能构成基底. 5 新知运用 跟踪训练1 如图，已知{，，}是空间的一个基底，且 , ，，试判断，，能否构成空间的一个基底. 【解析】假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数， ,使 成立， ， 即 ， 此方程组无解, ，,使，，，不共面， ，，能构成空间的一个基底. 6 新知生成 知识点二 空间向量基本定理的应用 向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量； (2)用基向量表示出直线的方向向量； (3)用求长度，用求夹角； (，（， 7 二、空间向量数量积的性质与运算律 例题2 如图，在四棱锥中，底面 是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于 ， 是的中点，设，， . (1) 试用，，表示向量 ； (2) 求 的长. 【解析】(1)是的中点， . ，，， 结合， ，，得 . (，，， . ， ，， . 由（1）知 ， ，，即的长为 . 8 反思感悟 方法总结 (1)用基底表示向量时要注意：①若基底确定，则要充分利用向量加法、减法的三角形法则、平行四边形法则以及向量的数乘运算进行表示；②若没给定基底，首先要选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，然后就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. (2)运用空间向量基本定理，可以求空间向量的模、夹角以及证明垂直等. 9 新知运用 跟踪训练2 如图，已知平行六面体 的底面是正方形，， ，， ，设，， . (1) 用，，表示， ； (2) 求 的长度. 【解析】 (1) ， . (2)因为，， ， ，，， ， 所以 ， 所以，即的长度为 . 10 新知探究 探究三：空间向量的正交分解 情境设置 的棱长为2，向量，，分别为棱，，上的单位向量. 问题1: 如何用向量，，表示向量 ？ 问题2:若以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则与轴、轴、轴共线的向量，，的坐标各有什么特点？ 问题3:你能写出坐标平面上向量的坐标吗？ 11 新知生成 知识点三 空间向量的正交分解 空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为 ___，那么这个基底叫作单位正交基底，常用__________表示. (2)正交分解：把一个空间向量分解为______________的向量，叫作把空间向量进 行正交分解. 两两垂直 ，， 三个两两垂直 12 三、空间向量的正交分解 例题3 如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且. (1) 求证： . (2) 求与 所成角的余弦值. 【解析】(1)设，，，则｛，， ｝构成空间的一个单位正交基底. 因为，，所以 ， 即，故 . (2)由(1)知， ， 又，所以 ， 则， . 因为与所成角的范围为，，所以其夹角的余弦值为 . 13 反思感悟 方法总结 利用空间向量的正交分解解决问题的关键是根据几何体特征寻找单位正交基底，然后用基向量表示其他向量，再根据向量的运算性质求解. 14 新知运用 跟踪训练3 在正方体中，,分别是棱,的中点，是棱上靠近点的五等分点，过,,三点的平面 交棱所在的直线于点 ，设，则 __. 【解析】选择，， 为基向量， 则， ， . 由题意可知，，，共面，设 ， 即 ， 所以解得 . 15 随堂检测 1. 已知，，是空间的一个正交基底，并且，则向量在基底 ， ，下的有序实数组为( ) . A.(−1,1,−1) B.(−𝒊,𝒋,−𝒌) C.(1,−1,−1) D.不确定 2.已知{𝒂，𝒃，𝒄}是空间的一个基底，则下列向量中与向量𝒂+𝒄，𝒂−𝒄 一起能构成空 间的另外一个基底的是( ) . A.𝒂 B.𝒃+𝒄 C.2𝒂+𝒄 D.𝒂−2𝒄 3. 如图，在空间四边形中，，，，点在边上，且 ，为的中点，则_______________（用，， 表示）. A B 16 随堂检测 4.如图所示，已知平行六面体中，，，两两的夹角 ，，是的中点，是的中点.设, , ,用基底，， 表示以下向量并计算其模： (1) ；(2) . 【解析】连接， （图略）， (1)因为 ， 所以 ，所以 . ( ， 所以 ，所以 . 17 课堂小结 1.知识清单： (1)空间向量基本定理； (2)空间向量基本定理的应用； (3)空间向量的正交分解. 18 $$