1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算 第一章 空间向量及其运算 课时2 空间向量的数量积运算 新知探究 探究一:向量的夹角与数量积的概念 情境设置 问题1:? 是哪两个量的夹角? 如果一个物体在力的作用下产生位移,那么力 为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引进了“数量积”的概念. 问题2:任意两个向量的数量积是向量吗?两个向量的数量积一定是非负数吗? 2 新知生成 知识点一 向量的夹角与数量积的概念 1. 定义:如图,已知两个非零向量? ,? ,在空间任取一点? ,作,则 _叫作向量? ,? 的夹角,记作_. 通常规定,0≤ ? ,? ≤ ,且 ? ,? = ? ,? . 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量? 和? ,则|? ||? |cos ? ,? 叫作? ,? 的数量积,记作? ⋅? ,即 ? ⋅? =|? ||? |cos ? ,? .特别地,零向量与任意向量的数量积为0. 3 一、向量的夹角与数量积的概念 例题1 已知四面体的每条棱长都等于1,,分别是,的中点,则 等于( ) . A. B. C. D. 【解析】如图,,分别是,的中点, . 四面体的每条棱长都等于1, 每个面都是等边三角形, .故选B. B 4 反思感悟 方法总结 求空间向量的数量积和求平面向量的数量积一样,关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模,利用公式? ⋅? =|? ||? |cos ? ,? 即可解决问题. 5 新知运用 跟踪训练1 如图,已知正方体 的棱长为1,则= ( ) . A. B.2 C. D.1 【解析】 , , 故选:C. C 6 新知生成 知识点二 空间向量数量积的性质与运算律 1.空间向量数量积的运算律 (1)交换律: ; (2)分配律: ; ( . 2.空间向量数量积的有关结论 (, ; ( ; ( . 7 二、空间向量数量积的性质与运算律 例题2 如图,已知正四面体? −? ? ? 的棱长为1,求: (1) ; (2) . 【解析】 ( (2) 8 反思感悟 方法总结 空间向量数量积的应用 (1)求夹角:求向量? 与? 夹角的余弦值,需先求出|? |,|? |和? ⋅? 的值,再利用求夹 角余弦值的公式,求解即可知夹角. (2)求线段的长度:向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此,线段的长度 可用向量求解. (3)证明向量垂直:立体几何中有关判断线线垂直的问题,通常可以转化为证明向 量的数量积为零. 9 新知运用 跟踪训练2 (1)如图,在平行六面体? ? ? ? −? ′? ′? ′? ′中,若以? 为顶点的三条棱长均为2,? ? ,? ? ,? ? ′两两的夹角为,求? ? 与? ? ′ 所成角的余弦值. 【解析】, , . , . , . 设与所成的角为 ,则, . 10 新知运用 跟踪训练2 (2)如图,在长方体中,是棱上的动点,是棱 上的动点,,,求的取值范围. 【解析】 因为 所以 因此 因为 所以 11 新知生成 知识点三 投影向量 1.如图(1),在空间中,向量向向量投影,先将它们平移到同一个平面内,利 用平面上向量的投影,得到与向量? 共线的向量? ,, , ,,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地,也可以将向量向直线投影,如图(2). 12 新知生成 知识点三 投影向量 2.如图(3),向量? 向平面? 投影,就是分别由向量? 的起点? 和终点? 作平面? 的垂线,垂足分别为? ′,? ′,得到向量_,向量_称为向量? 在平面? 上的投影向量.这时,向量_,_的夹角就是向量? 所在直线与平面? 所成的角. 13 三、投影向量 例题3 如图,已知四棱柱的底面是矩形,, , , ,为棱的中点,则_;在上的投影向量是_. 【解析】由图可知 , 所以 , , 故在上的投影向量是 . 14 反思感悟 方法总结 根据投影向量的定义可得,,此结论可用于求解空间中的距离问题. 15 新知运用 跟踪训练3 在四棱锥中,四边形为正方形, ,且 底面,则向量在平面上的投影向量是_, _. 【解析】如图,∵? ? ⊥ 底面? ? ? ? , 向量在平面上的投影向量是 . 底面, . 四边形为正方形, , . 16 随堂检测 1. 已知向量? ,? ,? 和实数? ,下列命题中,是真命题的为( ) . A.若,则或 B.若,则或 C.若,则或 D.若,则 2. 在空间四边形中,,,则,( ) . A. B. C. D.0 3.如图,在长方体中,设 ,,是的中点,则与所成角的大小为_, 在方向上的投影向量的模为_ _. B D 17 随堂检测 4.如图,在平行六面体中, , , ,则线段的长度是_. 【解析】根据平行四边形法则可得 , 所以 , 所以 . 18 课堂小结 1.知识清单: (1)空间向量的夹角及数量积; (2)空间向量数量积的性质及运算律; (3)投影向量. 19 $$