1.4.2 空间中直线、平面的平行课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 课时2 空间中直线、平面的平行 1 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.（数学抽象） 2.能用向量方法证明有关直线、平面平行关系的判定定理.（逻辑推理、数学运算） 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.（逻辑推理、数学运算） 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 2 新课导入 如图，设分别是直线的方向向量. 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行. 所以 类似地，如图，设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，，则 l1 l2 (1) ，使得. . u1 u2 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 新课知识 如图，设 分别是平面 的法向量，则 α (3) β P m n ，使得. 线线平行 线面平行 面面平行 平行 ，使得. . ，使得. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反. ( ) √ （2） 若向量，为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合的 直线一定平行. ( ) √ （3） 两条直线的方向向量平行，则两条直线平行. ( ) × （4） 两个不同平面的法向量平行，则这两个平面平行. ( ) √ 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 5 例:如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？ 分析： 是否存在P？ 找到P 如何判断 P在哪儿？ P在B1C上 如何表示 A1P//面ACD1 如何 确定 向量运算 确定存在 A C D B C1 D1 B1 A1 P 课本例题--P30 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 例:如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？ 课本例题--P30 x y z 法向量坐标法 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 例:如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？ 课本例题--P30 x y z 坐标法 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 例1 如图所示，在正方体中，，分别为， 的中点.求证： 四边形 是平行四边形. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 9 [解析] 以为坐标原点，，，的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），不妨设正方体的棱长为1，则 ，，0，，，，1， ， ，0，，，0，，，1，，，1， ， ，，， . 又，，， ， 四边形 是平行四边形. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 10 方法总结 （1）两直线平行 两直线的方向向量共线. （2）两直线的方向向量共线 两直线平行或重合，所以由两直线的方向向量共 线证明两直线平行时，必须指出两直线不重合. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 11 巩固训练 在长方体中，，，，，，， 分别是，，，的中点.求证： . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 12 [解析] （法一）以为坐标原点，，， 所在直线分 别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，， ， ， ，，即 . （法二） ， ， ，，即 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 13 例2 [2021年天津卷节选] 如图，在棱长为2的正方体中，为棱 的中点，为棱的中点.求证：平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 14 [解析] 以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,, ， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以 ， ， 所以,, . 设平面的法向量为 ， 则令，则, , 得 ， 因为，所以 . 因为 平面，所以平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 15 方法总结 向量法证明线面平行的三个思路 （1）设直线的方向向量是，平面 的法向量是，则要证明 ，只 需证明，即 . （2）根据线面平行的判定定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，在平面 内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. （3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量， 那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一 个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示. 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 16 巩固训练 在正方体中，，分别是， 的中点.求证： 平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 17 [解析] （法一）如图，以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，，，1，，，1， ， 于是，，，0， . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 18 设平面的法向量为 ， 则即 令，则， ， 平面的一个法向量为 . 又，0， ， 且 平面， ， 平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 19 （法二）， . 又 平面，平面 . （法三） . 即可用与线性表示，故与，是共面向量. 又 平面 ，所以平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 20 例3 如图所示，在正方体中，求证：平面平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 21 [解析] 以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱 长为1，则，，， ， ，，， ， ， . 设平面的法向量为 ， 则 令，得， ， 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 22 平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为 ， 则 令，得， ， 平面的一个法向量为 ， 又，即，而平面与平面 不重合， 平面平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 巩固训练 如图所示，在正方体中，为底面的中心，是 的中点，设是上的点，问:当点在什么位置时，平面平面 ？ 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 24 [解析] 如图所示，以为坐标原点，，， 所在直线分 别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系. 设正方体 的棱长为1， 则，，，， ， ， ， ， . 设点的坐标为 ， 则， ， 当时，，即，又 ， ，， 平面，， 平面 ， 则有平面平面 ， 当为的中点时，平面平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 25 1.已知向量，，若，则 与 的值可以是( ) . A A.2， B.， C. ，2 D.2，2 2.已知平面 ， 的法向量分别为，，且 ，则 ( ) . D A. B.1 C. D. 3.若直线的方向向量，平面 的法向量，则直线与平面 的位置关系是_____________. 或 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 26 4.已知三棱锥，，，分别为棱，，的中点，求证：平面 平 面 . [解析] 如图，设，，，则，， . 设平面的法向量为，则， ， ， . 又 ， ， ， ， 是平面的法向量，而平面与平面 不重合， 平面平面 . 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 27 2.若平面 ， 的一个法向量分别为，，，，， ，则( ) . D A. B. C. 与 相交但不垂直 D. 或 与 重合 3.已知线段的两端点坐标为，，则线段 与坐标平面( ) . C A.平行 B.平行 C.平行 D. 相交 4.设平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为，若 ， 则 ___. 4 返回至目录 2 5 届 高 中 课 堂 同 步 书 28 $$