1.1.1 空间向量及其线性运算课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算 第一章 空间向量及其运算 课时1 空间向量及其线性运算 新知探究 探究一：空间向量的概念 情境设置 问题：在物理学中，力是什么量?这三个力共面吗?这三个力在数 学上叫什么? 已知一个正三角形钢板，三个顶点用等长的绳子绑起，在力𝐹 的作用下匀速上升，三根绳子的受力情况如图所示. 2 新知生成 知识点一 空间向量的概念 1.空间向量 (1)定义：在空间中，我们把具有______和______的量叫作空间向量. (2)长度或模：空间向量的______叫作空间向量的长度或模. (3)表示法： ①几何表示法，空间向量用有向线段表示. ②字母表示法，用字母𝒂，𝒃，𝒄，⋯ 表示. 若向量𝒂的起点是𝐴，终点是𝐵，则向量𝒂也可记作，其模记为|𝒂|或| | . 大小 方向 大小 3 新知生成 知识点一 空间向量的概念 2.几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为___的向量 单位向量 模为___的向量 ___或 ___ 相反向量 与向量长度______而方向______的向量 ____ 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__________或______，那么这些向量叫作共线向量或______向量 规定：零向量与任意向量______ 相等向量 方向______且模______的向量 或 0 1 1 1 相等 相反 互相平行 重合 平行 平行 相同 相等 4 一、空间向量的概念 例题1 (1)给出下列说法： ①在正方体中， ； ②若，，则 ； ③若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若𝒂，𝒃是相反向量，则|𝒂|=|𝒃| . 其中说法正确的是______. (2) 如图，在平行六面体中，由顶点连接而成的向量中，与向量 相等的向量有________________. 【解析】(1)①因为与的大小和方向均相同,所以 ,故①正确；②当 时不成立，故②错误；③相等向量的起点与终点不一定相同，故③错误；④相 反向量的模相等，故④正确. (2)与向量相等的向量有，， . ①④ ，， 5 反思感悟 方法总结 在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念的问题时，通常抓住这两点来解决.零向量是一个特殊的向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. 6 新知运用 跟踪训练1 (1)下列说法正确的是( ) . A.若|𝒂|<|𝒃|，则𝒂<𝒃 B.两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C.空间内两平行向量相等 D.向量与的模相同 (2)如图所示，在由平行六面体顶点连接而成的所有向量中，与向量相等的向量有_______________；与向量相反的向量有_____________________. 【解析】(1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错误；终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，B错误；相等向量需满足模相等，方向相同两个条件，因此，平行向量不一定相等，C错误；D正确. (2) 根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，， . D ，， ，，， 7 新知生成 知识点二 空间向量的线性运算 1.空间向量的加法、减法以及数乘运算 由图(1)，知 ① ； ② . 由图(2)，知 当时， ____; 当时， _____; 当时， ___. 8 新知生成 知识点二 空间向量的线性运算 2.空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：𝒂+𝒃= ______. 结合律：𝒂+(𝒃+𝒄)=___________，𝜆(𝜇𝒂)= _______. 分配律：(𝜆+𝜇)𝒂=________， 𝜆(𝒂+𝒃)= ________. 3.一般地，对于三个不共面的向量𝒂，𝒃，𝒄，以任意点𝑂为起点，𝒂，𝒃，𝒄 为邻边作平行六面体，则𝒂，𝒃，𝒄 的和等于以___为起点的平行六面体的__________所表示的向量. 体对角线 b c a a + b + c a + b b a a + b + c b + c c 9 二、空间向量的线性运算 例题2 如图所示，在长方体中，设，，， ， ，分别是，，的中点，试用，，表示以下各向量： (1)；(；( . 【解析】 (是的中点， . (是 的中点， . (，分别是，的中点， . 10 反思感悟 方法总结 利用线性运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用线性运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四 边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用中点坐标公式. 11 新知运用 跟踪训练2 如图，在长方体中，下列各式的运算 结果为向量的是( ) . ； ； ； . A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】① ； ② ； ③ ； ④ . 故选A. A 12 新知生成 知识点三 共线向量、直线的方向向量与共面向量 1.空间两个向量共线（平行）的充要条件 对任意两个空间向量𝒂，𝒃(𝒃≠𝟎)，𝒂//𝒃的充要条件是存在实数𝜆 ，使________. 2.直线的方向向量 如图，𝑂是直线𝑙上一点，在直线𝑙上取非零向量𝒂，则对于直线𝑙上任意一点𝑃 ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数𝜆 ，使得=____.我们把与向量𝒂 平行的非零向量称为直线𝑙 的__________. 方向向量 13 新知生成 知识点三 共线向量、直线的方向向量与共面向量 3.与直线、平面平行的向量 如图，如果表示向量𝒂的有向线段所在的直线𝑂𝐴与直线𝑙 ______或______，那么称向量𝒂平行于直线𝑙.如果直线𝑂𝐴_____________或____________，那么称向量𝒂 平行于平面𝛼 . 4.共面向量 平行于____________的向量，叫作共面向量. 5.三个向量共面的充要条件 如果两个向量𝒂，𝒃________，那么向量𝒑与向量𝒂，𝒃 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(𝑥,𝑦)，使𝒑= _________. 平行 重合 平行于平面 在平面内 同一个平面 不共线 14 三、三点共线 例题3 对于空间的任意一点，以下条件可以判定点,,共线的是____（填序号）. ； ； ③ . 【解析】对于①， ， ， ， ，， 三点共线，故①正确； 对于②，，，, 共线， ,,三点共线，点,, 不一定共线，故②错误； 对于③，,, , 若与平行，则点，， 不共线，故③错误. ① 15 反思感悟 方法总结 对于空间三点，， ，可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 ，使 成立； ②对空间任意一点，有 ； ③对空间任意一点，有 . 16 新知运用 跟踪训练3 已知向量，且,, ，则一定共线 的三点为( ) . A.𝐴，𝐵，𝐷 B.𝐴，𝐵，𝐶 C.𝐵，𝐶，𝐷 D.𝐴，𝐶，𝐷 A 【解析】因为 ， 所以与共线，即A，B，D三点共线. 17 四、四点共面 例题4 (多选题)给出下列命题，其中为假命题的是( ) . A.空间三点,,不共线，若点满足，则,,, 四点共面 B.若向量,所在的直线是异面直线，则, 不共面 C.若对空间中任意一点，有,则,,, 四点共面 D.若,,,四点共面，则 【解析】因为，所以，所以,, 共面， 所以,,,四点共面，A正确； 可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间中任意两个向量都是共面的，B错误； 若对空间中任意一点，有，由于，则 ,A,B,C四点共面，C正确； 若,,A,B四点共面，其中，A，B三点共线，点与点 ，A，B不共线，则不存在 实数，,使成立，D错误. BD 18 反思感悟 方法总结 对于空间四点,,, ,可通过证明下列结论来证明四点共面： (1)存在实数，,使得 成立； (2)对于空间任意一点，有 . 19 新知运用 跟踪训练4 (多选题)已知下列四种条件，空间中四点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷 不共面的是( ) . A. B. C. D. ABD 【解析】空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是 ，且 ，因为， ，所以空间中四点A，B， C，D不共面，A满足题意； 因为， ，所以空间中四点A，B，C， D不共面，B满足题意； 因为，所以，所以向量，，共面，即空间 中四点A，B，C，D共面，C不满足题意； 因为，所以 ，又 ，所以空间中四点A，B，C，D不共面，D满足题意. 20 随堂检测 1.在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量的模 相等的向量有( ) . A.7个 B.3个 C.5个 D.6个 2. 在正方体中，下列各组向量与共面的是( ) . A.， B.， C.， D.， 3. 如图，在四面体中，是的中点， ，则 ( ) . A. B. C. D. A C B 21 随堂检测 4.如图，在空间四边形中，为的重心，，分别为边，的中点， 试化简 ，并在图中标出化简结果的向量. 【解析】是的重心，是 边上的中线， . 又 ， （如图所示）. 22 课堂小结 1.知识清单： (1)空间向量的概念； (2)空间向量的线性运算； (3)共线向量、直线的方向向量与共线向量. 23 $$