第12章全等三角形 解答题优生辅导训练 2024-2025学年人教版八年级数学上册

2024-2025学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》 解答题优生辅导训练（附答案） 1．如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，已知与的角平分线相交于，连接，分别过点，作，的垂线交，的延长线于点，，垂足分别为，．求证：． 3．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证： (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 4．已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 5．如图所示，是高，点P在的延长线上，，点Q在上，． (1)判断： 　　（用“>”、“<”、“＝”填空）； (2)探究：与之间的关系； (3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 6．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 7．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； (3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 8．如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 9．如图①所示，在中，． (1)若，则_______， ______； (2)过点C在外作直线，于点M，于点N，试说明：； (3)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N，（2）中的结论是否仍然成立? 说明理由． 10．数学活动课中，老师给出以下问题： (1)如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． (2)如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． (3)已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 11．如图，已知中，，点D为的中点． (1)如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多少时间后，点P与点Q第一次在的哪一边上相遇？ 12．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连结．    (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______． (2)设，． ①如图2，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点在直线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论． 13．如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．    (1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）； (2)当时，如图2． ①求证：； ②直接写出与的数量关系： ． 14．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 15．已知线段直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边和，直线交直线于点． (1)当点F在线段上时，如图1，试说明： （ⅰ）． （ⅱ）． (2)当点F在线段延长线上时，如图2，请写出线段，，之间的关系，并说明理由． 16．【问题解决】 已知中，三点都在直线1上，且有．如图①，当时，线段的数量关系为：    【类比探究】 （1）如图②，在（1）的条件下，当时，线段的数量关系是'否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （2）如图③，，点的坐标为，点的坐标为，请求出点的坐标． 17．如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 18．如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 19．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 20．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 参考答案： 1．（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．证明：如图，过点作，，， ∵平分，且，， ∴， 同理可得， ∴， 又，， ∴平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴． 3．（1）证明：∵在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 5．（1）解：设交于F， 是高， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：结论：，， 证明： 是高，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， ， 即， ； 即，； （3）解：上述结论成立，理由如下： 如图所示： 是高，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 6．解：（1）， ，即， 在和中， ， ， ； （2）， ， ，， 又，， ， ． （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，    ∵， ∴， ∴， ∴B点在的平分线上， 即平分． 7．（1）证明：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 8．（1）解：，即， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：延长交于F，在上取，连接， ，， ， 则， ， 平分， ， ，， ， ，则， ， ，即， ， 则． 即：． 9．解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）（1）结论不成立；应该是． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵ ∴． 10．（1）解：如图1，延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，, ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：线段构成的三角形是钝角三角形，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段构成的三角形为， ∴， ∴当为锐角时，为钝角三角形，即由三条线段BE、EF、CF构成的三角形为钝角三角形； （3）证明：如图3，延长至G，使，连接， 同理（2），， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 11．（1）解：设运动的时间为，则， ①，理由如下： 点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， 当时，， cm，，，点D为的中点， ，， ∴, 在和中， ， ． ②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， ， 设点Q的速度为， ， cm，且cm， ， ，即：， 在和中， ， ， 当点Q的运动速度为多cm/s时，． （2）解：设经过点P与点Q第一次相遇， 根据题意得，解得， 的周长为， （周） ， 经过24秒，点P与点Q第一次在的AC边上相遇． 12．（1）解：∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴； 故答案为：． （2）解：①； 理由：∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴， 即， ∴、存在的数量关系为． ②当点在射线上时，如图1，    ∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴， 即， ∴、存在的数量关系为； 当点在射线的反向延长线上时，如图2，    ∵，， 且，， ∴； 在和中， ∴； ∴； ∴， 即， ∴、存在的数量关系为． 13．（1）解：如图，    中，，， 点A关于的对称点F， ∴； 故答案为：． （2）解：连接，，    ，，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， ， ， ， 点A关于的对称点是点F， ， ∴， ， ． ②如图    取， 由①可得，，， ， ，，， ，， ； 在和中， ， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 14．解：（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．解：（1）（ⅰ）证明：和都是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． （ⅱ）， ，． 直线， ，，． 点，，在一条线上，， ， ， ． ， ，即； （2）解：同理证明， ，，， ， ， ，即． 16．解：（1）的数量关系不变， 理由如下：是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，    点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 由（1）可知，， ，， ， 点的坐标为． 17．（1）解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 18．（1）证明：∵， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，∵， ， ， ， ， ， ． 19．解：（1）如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． （2）图2成立，图3不成立． 证明：如图2，延长到K使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 如图3，如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 20．（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：结论不成立，结论：． 证明：如图中，在上截取，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$