1.3 交集、并集7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 1.3 交集、并集7题型分类 知识点1 并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B A B B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点2 交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点3 区间 （1）设是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； ②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为； ③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．这里的实数与都叫做相应区间的端点． 实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大"． 我们可以把满足的实数的集合，用区间分别表示为，，，． （2）区间的几何表示 （一） 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 题型1：集合的交集运算 1-1．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，则 ． 1-2．（2024高一上·江苏连云港·期末）设，，则（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高三下·上海虹口·期中）已知集合，，则 . 1-4．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 1-5．（2024高一上·福建福州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． （二） 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 题型2：集合的并集运算 2-1．（2024高一上·江西景德镇·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024·青海海东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高一·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2-5．（2024高三上·福建福州·开学考试）已知集合，，则（    ） A．S B．T C．R D． （三） 区间的表示 题型3：区间的表示 3-1．（2024高一·全国·课后作业）用区间表示下列集合． （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）R： ． 3-2．（2024高一·全国·课前预习）若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 3-3．（2024高一·全国·课后作业）将集合用区间表示为 . 3-4．（2024高三·全国·课后作业）用区间表示不等式的解集，该集合为 . （四） 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 题型4：集合的交集、并集与补集的混合运算 4-1．（2024高一下·安徽阜阳·阶段练习）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高一上·河北保定·阶段练习）若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024高三·全国·对口高考）已知全集，集合，或，那么集合等于 ． 4-4．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． （五） 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 题型5：已知集合的交集求参数 5-1．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，若，求实数m的取值范围． 5-2．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 5-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，集合． (1)若时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 5-4．（2024高一上·福建厦门·期中）已知集合，，求： (1)； (2)； (3)若且，求m的取值范围. 题型6：已知集合的并集求参数 6-1．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）设集合，， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 6-2．（2024高一上·四川遂宁·阶段练习）已知集合，，或. (1)若，求的取值范围． (2)若，求的取值范围. 6-3．（2024高一上·山东·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 6-4．（2024高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． （六） 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 题型7：韦恩图在集合运算中的应用 7-1．（2024高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7-2．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 7-3．（2024高一上·重庆南岸·期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 ． 6-4．（2024高一下·浙江·阶段练习）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高一上·湖南长沙·期末）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·天津）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津）已知集合则= A． B． C． D． 4．（2024·全国）设集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·广东汕头·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川遂宁·模拟预测）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一下·广东·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一·全国·课后作业）已知全集，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川遂宁·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一下·湖北武汉·期末）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·山西大同·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二下·广东茂名·期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一下·吉林长春·开学考试）已知全集，设集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 15．（2024高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（2024高一下·湖北·阶段练习）已知全集，，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一下·河北衡水·开学考试）设集合.若，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一上·江苏·专题练习）设I为全集，、、是I的三个非空子集且.则下面论断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·江苏无锡·期末）设，若，则m的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 22．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 23．（2024高一上·新疆·阶段练习）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（       ） A． B． C． D． 三、填空题 25．（2024高一上·江西赣州·期中）为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为 ． 26．（2024高一上·全国·单元测试）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠∅，则a的值为 ． 27．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一（1）班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有 人． 28．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知集合,,则 ； 29．（2024高一·全国·课后作业）用区间表示集合 ． 30．（2024高一上·江西·阶段练习）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ． 31．（2024高一·江苏·假期作业）已知集合则= ． 32．（2024高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，，，则 33．（2024高一上·广东广州·期末）若集合与满足，则实数 . 34．（2024高一上·北京·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会（有跳远，球类，跑步三项比赛），一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远比赛和球类比赛的有3人，同时参加球类比赛和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则下列说法正确的序号是 . ①同时参加跳远比赛和跑步比赛的有4人 ②仅参加跳远比赛的有8人 ③仅参加跑步比赛的有7人 ④参加两项比赛的有10人 35．（2024高一上·上海闵行·期末）若集合，则 ． 36．（2024高一上·湖南张家界·阶段练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为 ． 37．（2024高一上·广东汕尾·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有 人. 38．（2024高一上·上海浦东新·期中）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集. ①集合为幸运集；②集合为幸运集； ③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有； 其中正确结论的序号是 39．（2024高一·全国·专题练习）40．（2024高一上·山东济南·期中）某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有 人． 41．（2024高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若，则实数a的取值范围是 ． （2）若，则实数a的取值范围是 ． （3）若，则实数a的取值范围是 ． 42．（2024高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合都是的子集，已知，，则等于 ． 43．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 44．（2024高一上·河北衡水·阶段练习）设全集，集合，则 ． 45．（2019年8月31日《每日一题》必修1周末培优）设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 46．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设全集，，，，则集合 . 四、解答题 47．（2024高一上·西藏拉萨·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 48．（2024高一下·江西南昌·期中）已知全集为，集合，． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 49．（2024高一·江苏·假期作业）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求C的非空真子集的个数． 50．（2024高一·湖南·课后作业）已知，，，，求集合，． 51．（2024高一上·北京·阶段练习）全集，集合，集合. (1)若，且集合满足：，求出所有这样的集合； (2)集合是否能满足，若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 52．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知集合或. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 53．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设集合. (1)讨论集合与的关系； (2)若，且，求实数的值. 54．（2024高一上·北京丰台·期末）记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 55．（2024高一上·湖南张家界·阶段练习）已知集合，或． (1)若全集，求、； (2)若全集，求； 56．（2024高一上·全国·单元测试）已知集合或，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 57．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若且，求实数a的值． 58．（2024高一上·广东深圳·期末）集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 1.3 交集、并集7题型分类 知识点1 并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B A B B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点2 交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点3 区间 （1）设是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； ②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为； ③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．这里的实数与都叫做相应区间的端点． 实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大"． 我们可以把满足的实数的集合，用区间分别表示为，，，． （2）区间的几何表示 （一） 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 题型1：集合的交集运算 1-1．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据交集含义并结合数轴即可得到答案. 【详解】因为或， 故或， 故答案为：或. 1-2．（2024高一上·江苏连云港·期末）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出二元一次方程组的解即可作答. 【详解】解方程组得，， 所以. 故选：A 1-3．（2024高三下·上海虹口·期中）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】由交集运算求解. 【详解】. 故答案为： 1-4．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据交集运算法则得到答案. 【详解】，或，则. 故选：C. 1-5．（2024高一上·福建福州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义，直接运算求解即可. 【详解】， 故选：C （二） 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 题型2：集合的并集运算 2-1．（2024高一上·江西景德镇·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2-2．（2024·青海海东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【详解】，. 故选：C. 2-3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集运算即可得出答案. 【详解】由集合，知． 故选：A. 2-4．（2024高一·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用并集的定义求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A 2-5．（2024高三上·福建福州·开学考试）已知集合，，则（    ） A．S B．T C．R D． 【答案】A 【分析】对n分奇、偶讨论，判断出，即可得到. 【详解】集合，. 当时，有； 当时，有. 所以，所以. 故选：A （三） 区间的表示 题型3：区间的表示 3-1．（2024高一·全国·课后作业）用区间表示下列集合． （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）R： ． 【答案】 / 【分析】根据区间表示集合的方法表示出每个集合即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；； 3-2．（2024高一·全国·课前预习）若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得：，所以a的取值范围是． 故答案为： 3-3．（2024高一·全国·课后作业）将集合用区间表示为 . 【答案】/ 【分析】根据区间的表示方法，结合并集的意义，即可表达. 【详解】根据题意，集合表示大于等于1小于5，且不等于3的实数的集合. 故可用区间表示为： 故答案为：. 3-4．（2024高三·全国·课后作业）用区间表示不等式的解集，该集合为 . 【答案】 【分析】根据一元一次不等式以及区间的知识求得正确答案. 【详解】由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： （四） 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 题型4：集合的交集、并集与补集的混合运算 4-1．（2024高一下·安徽阜阳·阶段练习）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断． 【详解】因为全集，，， 因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确. 故选：D． 4-2．（2024高一上·河北保定·阶段练习）若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的运算求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：B. 4-3．（2024高三·全国·对口高考）已知全集，集合，或，那么集合等于 ． 【答案】 【分析】先由补集的概念求出，根据交集的定义可得. 【详解】因或， 得， 又因 ， 故答案为： 4-4．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 【答案】 【分析】作出韦恩图，将全集中的各元素放置在合适的区域内，得出集合和集合，再根据交集的定义可得出集合. 【详解】全集，作出韦恩图如下图所示： 由图形可知集合，，因此，. 故答案为. 【点睛】本题考查集合的混合运算，同时也考查了韦恩图法的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. （五） 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 题型5：已知集合的交集求参数 5-1．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解. 【详解】因为，所以当时，；当时，， 因为，所以， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或， 所以实数m的取值范围为或. 5-2．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据并集的定义运算即得； （2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得. 【详解】（1）当时，，； （2）， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，解得， 实数m的取值范围为. 5-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，集合． (1)若时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2)或 【分析】（1）根据集合的交并补的运算，即可求得答案; （2）由题意讨论集合B是否为空集，不为空集时，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）因为，当时，， 又因为，所以． 因为或， 所以或； （2）时， 当时，，解得， 当时，或，解得或， 综上，实数的取值范围是或. 5-4．（2024高一上·福建厦门·期中）已知集合，，求： (1)； (2)； (3)若且，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合交集的运算即可求得答案； （2）求出A的补集，再根据交集的运算即可求得答案； （3）根据推出，由此列出不等式，求得答案. 【详解】（1）由题意知集合，， 故； （2）或，故； （3）因为，且，故， 故. 题型6：已知集合的并集求参数 6-1．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）设集合，， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得； （2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由集合可得， 由可得， 故，解得或， 当时，，此时不满足题意，舍去， 当时，，满足题意， 故； （2）由得， 当时，即时，满足题意； 当时，即时，满足题意； 当时，即时，，解得， 综上可得，或； 即实数的取值范围为. 6-2．（2024高一上·四川遂宁·阶段练习）已知集合，，或. (1)若，求的取值范围． (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据得出，通过对集合分类讨论解. （2）依据并集定义和实数集，解. 【详解】（1）因为，所以. 当时，满足，此时解得； 当时，要使，则解得. 综上，的取值范围为. （2）因为， 所以解得. 6-3．（2024高一上·山东·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由集合先得到，结合集合和得到不等式组，即可得到答案； （2）分和两种情况讨论，结合子集定义可求解 【详解】（1）因为，所以或， 又且， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）若，则， 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，解得， 此时； 综上，实数a的取值范围为 6-4．（2024高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将集合表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. 【详解】（1） ， （2）＝R，，解之：. （六） 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 题型7：韦恩图在集合运算中的应用 7-1．（2024高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 7-2．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 【答案】19 【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到，求出答案. 【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集， 就是两者都爱好的，要使中人数最多，则， 要使中人数最少，则，即，解得， . 故答案为：19 7-3．（2024高一上·重庆南岸·期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 ． 【答案】4 【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果. 【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示： 由图可知：，解得， 所以同时参加数学和化学小组有人. 故答案为：4 6-4．（2024高一下·浙江·阶段练习）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图中阴影部分表示，由交集的补集的定义求解即可. 【详解】图中阴影部分表示，，则或， 因为 所以， 故选：D． 一、单选题 1．（2024高一上·湖南长沙·期末）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】化简集合，根据交集的概念求出，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以或或或或或或， 所以, 因为、、、满足， 所以， 所以中元素的个数为. 故选：C 2．（2024·天津）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 3．（2024·天津）已知集合则= A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4； 当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10. 即B＝{1,4,7,10}． 又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D. 4．（2024·全国）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 5．（2024高一下·广东汕头·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义可求得结果. 【详解】由，得， 因为， 所以， 故选：B 6．（2024·四川遂宁·模拟预测）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集定义即可求得. 【详解】， 则 故选：C 7．（2024高一下·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果. 【详解】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以； 若，，则， 因为，所以，则； 故实数取值集合为. 故选：D. 8．（2024高一下·广东·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果. 【详解】集合，，所以集合． 故选：D. 9．（2024高一·全国·课后作业）已知全集，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图，即可得出答案. 【详解】由题意画出图如下，    可得：，，，. 故选：D. 10．（2024·四川遂宁·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用子集和集合相等的定义，结合交集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，，则集合为整数的构成的集合， ，则集合为整数中奇数的构成的集合， 所以，故B正确；A ，C错误； 所以，故D错误. 故选：B. 11．（2024高一下·湖北武汉·期末）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的补集、交集运算即可. 【详解】因为集合，集合， 所以，则. 故选：C. 12．（2024高一上·山西大同·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的补集、交集运算即可. 【详解】因为集合，，， 所以，所以. 故选：C. 13．（2024高二下·广东茂名·期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意求得结合，结合阴影部分表示的集合为，即可求解. 【详解】 由集合， 又由阴影部分表示的集合为. 故选：C. 14．（2024高一下·吉林长春·开学考试）已知全集，设集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的运算，求得，再结合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由全集，集合，可得 ， 又由，所以. 故选：C. 15．（2024高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：因为，所以， 因为，， 所以，解得， 所以，实数的取值范围是 故选：D 16．（2024高一下·湖北·阶段练习）已知全集，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求全集，再结合集合的交集和并集分析求解. 【详解】由题意可得：， 因为，所以. 故选：A. 17．（2024高一下·河北衡水·开学考试）设集合.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，进而得出集合B. 【详解】因为，所以，. 则. 故选：D 18．（2024高一上·江苏·专题练习）设I为全集，、、是I的三个非空子集且.则下面论断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出关于且含7个不同区域的韦恩图，根据韦恩图结合集合的交并补运算确定各选项中对应集合所包含的区域，并判断包含关系. 【详解】将分为7个部分(各部分可能为空或非空)，如下图示： 所以、、， 则，，， 所以，故，A错误； ，故，B错误； ，C正确； ，显然与没有包含关系，D错误. 故选：C 二、多选题 19．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据并集的定义结合条件即得． 【详解】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有，所以可能成立； 当集合与中有公共元素时，，所以可能成立； 当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立； 根据集合的并集运算可知不能成立. 故选：ABD． 20．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以或， 解得或， 因为，所以. 综上，m的取值范围为或， 故选：BC 21．（2024高一上·江苏无锡·期末）设，若，则m的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】先求出集合A中元素，当明显符合，当时，根据可得m的值. 【详解】， ， 当时，，符合； 当时，， 或， 或. 故选：ABC. 22．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据定义，得到，对四个选项一一验证. 【详解】根据定义. 对于A：若,则,,,,∴,故A正确; 对于B：若,则,,,,∴,故B正确; 对于C：若 ,则,,则.故C错; 对于D：左边,右边所以左=右.故D正确. 故选：ABD. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 23．（2024高一上·新疆·阶段练习）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项. 【详解】当时，，即，此时，符合题意， 当时，，即， 由可得或， 因为，所以或，可得或， 因为，所以， 所以实数的取值范围为或， 所以选项ABC正确，选项D不正确； 故选：ABC. 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项CD不正确， 故选：AD. 三、填空题 25．（2024高一上·江西赣州·期中）为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为 ． 【答案】35 【分析】求出只参加社团和只参加社团的人数，即可求出高一（1）班总共有学生人数. 【详解】由题意， 高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人， ∴只参加社团的学生有（人）， 只参加社团的学生有（人）， ∵另外还有3个人既不参加社团也不参加社团， ∴高一（1）班总共有学生人数为：（人） 故答案为：. 26．（2024高一上·全国·单元测试）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠∅，则a的值为 ． 【答案】3或6或9 【分析】讨论集合B的元素即可求解结果． 【详解】由题意可知B＝．若A∩B≠∅，则＝1或＝2或＝3，得a＝3或6或9． 故答案为：3或6或9． 27．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一（1）班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有 人． 【答案】5 【分析】利用Venn图，设立相应的集合，建立方程组求解即可. 【详解】设报名乒乓球兴趣小组的学生构成集合A，其元素个数为x，报名羽毛球兴趣小组的学生构成集合B，元素个数为y，其关系如下： 由题意可知:， 解得， 因此只报名羽毛球兴趣小组的学生有人． 故答案为：5 28．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知集合,,则 ； 【答案】 【分析】根据集合交集的定义求出答案即可. 【详解】解:由题知,, 所以. 故答案为: 29．（2024高一·全国·课后作业）用区间表示集合 ． 【答案】 【分析】利用区间的定义得出答案即可. 【详解】集合用区间表示为. 故答案为： 30．（2024高一上·江西·阶段练习）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ． 【答案】11 【分析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，借助Venn图列出方程，求出x，进而求得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可． 【详解】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，则只喜爱篮球的有(17－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人， 由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17－x＝11人． 故答案为：11． 31．（2024高一·江苏·假期作业）已知集合则= ． 【答案】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】由题意可得，解方程可得，故． 故答案为： 32．（2024高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，，，则 【答案】 【分析】依题意画出韦恩图，即可得解. 【详解】解：由题意，画韦恩图可知： ． 故答案为： 33．（2024高一上·广东广州·期末）若集合与满足，则实数 . 【答案】0或 【分析】结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】∵， ∴或 解得，或 故答案为：0或 34．（2024高一上·北京·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会（有跳远，球类，跑步三项比赛），一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远比赛和球类比赛的有3人，同时参加球类比赛和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则下列说法正确的序号是 . ①同时参加跳远比赛和跑步比赛的有4人 ②仅参加跳远比赛的有8人 ③仅参加跑步比赛的有7人 ④参加两项比赛的有10人 【答案】①③④ 【分析】利用韦恩图即可列方程解得，即可根据选项得出答案． 【详解】设全班同学组成全集，参加跳远的同学组成集合，参加球类的同学组成集合，参加跑步的同学组成集合， 在相应的位置填上数字，则 ， 解得， 所以同时参加跳远和跑步比赛的有4人， 仅参加跳远比赛的有9人， 仅参加跑步比赛的有7人， 参加两项比赛的有人， 故答案为：①③④ 35．（2024高一上·上海闵行·期末）若集合，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 由交集的定义可得：， 故答案为：. 36．（2024高一上·湖南张家界·阶段练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为 ． 【答案】21 【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn图列出方程求解作答. 【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素. 设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图， 由Venn图可知，，即，解得， 所以对A，B都赞成的学生有21人. 故答案为：21. 37．（2024高一上·广东汕尾·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有 人. 【答案】 【分析】先确定赞成和赞成的人数，设都赞成的学生数为，再根据总人数来列方程求解即可. 【详解】由已知得赞成的人数是， 赞成的人数是， 设都赞成的学生数为，则都不赞成的学生数为， ， 解得， 则赞成的不赞成的有人. 故答案为：. 38．（2024高一上·上海浦东新·期中）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集. ①集合为幸运集；②集合为幸运集； ③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有； 其中正确结论的序号是 【答案】②④ 【解析】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断； 【详解】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误； ②设，则，所以集合P是幸运集，故正确； ③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误； ④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确； 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法. 39．（2024高一·全国·专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据运算“*”，，利用集合的交集和补集运算求解. 【详解】解：因为集合，，，， 所以，则， 又， 所以， 故答案为： 40．（2024高一上·山东济南·期中）某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有 人． 【答案】43 【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，根据题意画出维恩图求解. 【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C， 由题意画出维恩图，如图所示：    全班人数为（人）. 故答案为：43 41．（2024高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若，则实数a的取值范围是 ． （2）若，则实数a的取值范围是 ． （3）若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用集合间的关系，即可得出答案. 【详解】（1）若，得， 所以实数a的取值范围是. （2），即，所以， 所以实数a的取值范围是. （3）若，即，所以， 则实数a的取值范围是. 故答案为：；；. 42．（2024高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合都是的子集，已知，，则等于 ． 【答案】{3,4} 【分析】根据集合的运算可得答案. 【详解】由， 即， 则． 故答案为：. 43．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，然后分和两种情况，再利用集合间的包含关系即可求解． 【详解】根据题意，因为集合，， 且，则， 当时，，即，符合题意， 当时，，得， 综上，的取值范围为， 故答案为：. 44．（2024高一上·河北衡水·阶段练习）设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示所有能被整除但不能被整除的整数，从而可求得答案 【详解】，则集合中的元素为所有能被整除的整数， 表示所有不能被整除的整数，即， ∵集合中的元素为所有能被整除的整数， 表示所有能被整除但不能被整除的整数， 即， 故答案为：. 45．（2019年8月31日《每日一题》必修1周末培优）设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 【答案】. 【分析】根据定义求出集合，再次利用定义得出. 【详解】由于，，，，则， 由题中定义可得，则， 因此，，故答案为. 【点睛】本题考查集合的计算，涉及新定义，解题的关键在于利用题中的新定义进行计算，考查运算能力，属于中等题. 46．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设全集，，，，则集合 . 【答案】 【分析】先求出全集，由题意可知，，由已知条件可知，利用韦达定理可得出集合中的另一个元素，由此可解出集合，再结合可求出集合. 【详解】，则，， ，， 设集合中的另一个元素为，由韦达定理得，得，. ，又，， 设集合中另一个元素为，由韦达定理得，得，因此，， 故答案为. 【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，同时也考查了韦达定理的应用，解题的关键就是确定集合中的元素，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 四、解答题 47．（2024高一上·西藏拉萨·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可. 【详解】（1）由题知，， 当时，， 所以. （2）由题知， 因为， 所以 当时，解得，满足题意； 当时，或， 解得，或， 综上所述，的取值范围为， 48．（2024高一下·江西南昌·期中）已知全集为，集合，． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，即可求得； （2）根据集合间的关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）解不等式，解得， 所以， 所以； （2）由（1）得， 又， 则或，解得或， 即. 49．（2024高一·江苏·假期作业）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求C的非空真子集的个数． 【答案】(1) (2)254 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数. 【详解】（1）∵，∴， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2）∵，集合C中共8个元素， 因此，集合C的非空真子集个数为. 50．（2024高一·湖南·课后作业）已知，，，，求集合，． 【答案】 【分析】由韦恩图求解. 【详解】解：因为知，，，， 所以得到韦恩图，    由韦恩图得：. 51．（2024高一上·北京·阶段练习）全集，集合，集合. (1)若，且集合满足：，求出所有这样的集合； (2)集合是否能满足，若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)，，或； (2)能， 【分析】（1）解出，，根据，，求出所有的集合； （2）根据得到，分与，与，讨论得到结论. 【详解】（1）时，， ， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故，，或； （2）因为，所以， 若，则满足，此时，解得：； 若，则，解得：， 所以，解得：或，故，不满足，舍去； 若，则，解得：， 所以，解得：或2，所以，不满足，舍去； 若，则，解得：，所以， 解得：或4，不满足，舍去， 综上：实数的取值范围是 52．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知集合或. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可列不等式求解， （2）根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）因为或 所以，解得， 所以实数的取值范围是. （2）或， 由得当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，得. 综上，. 53．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设集合. (1)讨论集合与的关系； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）解方程得到，分两种情况，得到的关系； （2）根据交集结果得到，分类讨论，求出实数的值. 【详解】（1）， 当时，； 当时，，是的真子集. （2）当时，因为，所以，所以. 当时，解得（舍去）或，此时，符合题意. 当时，解得，此时符合题意. 综上，或. 54．（2024高一上·北京丰台·期末）记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，代入，进而可求得； （2）求出，再根据可得实数的取值范围． 【详解】（1），，即， 当时，，又集合或 ； （2）由已知， ， . 55．（2024高一上·湖南张家界·阶段练习）已知集合，或． (1)若全集，求、； (2)若全集，求； 【答案】(1)或；或 (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的运算即可得到结果； （2）根据题意，由集合的交集，补集运算即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，或 且或，则或 （2）根据题意，且，则可得 则 56．（2024高一上·全国·单元测试）已知集合或，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范围； （2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）因为，所以解得． 故的取值范围是． （2）因为，所以， 则或，解得或． 故的取值范围是． 57．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若且，求实数a的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由方程有实数解，结合判别式得出实数a的取值范围； （2）由得出或，进而得出实数a的值． 【详解】（1）由题意得方程有实数解， ，得， 实数的取值范围是； （2）∵， ， 或， 则或. 58．（2024高一上·广东深圳·期末）集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集； （2）由条件可知，，再分和两种情况，求实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式，得， 所以， 当时，则， 所以，； （2）因为，所以 当时，，即，此时； 当时，，则，解得:， 综上所述，实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$