2.6 应用一元二次方程　讲义　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2.6　应用一元二次方程 1. 平均增长(降低)率问题 平均增长率问题：设基数为，平均增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值，依此类推，次增长后的值为.如果增长次后的量为，那么可列方程为. 平均降低率问题：设基数为，平均降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为，依此类推，次降低后的值为.如果降低次后的量为，那么可列方程为. 1. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程：________________ 1. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为 20 万台，2023 年出口量增加到 45 万台. (1)求 2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少? (2)按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少? 1. 下图是2022年某工厂1~4月份的口罩产量统计图.设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月均增长率为. (1)求口罩产量的月均增长率； (2)按照这个增长率，预计5月份口罩的产量能否超过600万只. 5. 常用公式 ①三个连续整数： ②三个连续偶数： ③三个连续奇数： ④两位数:十位数字×10＋个位数字； ⑤三位数：百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 · 若某个两位数的个位数字为，十位数字为，则该两位数表示为，切不可表示为，因为表示的意义是乘 1. 一个三位数的十位数字等于百位与个位数字的和，个位数字比百位数字多1.这个三位数与个位数字的积为264，求这个三位数. 1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数． 1. 2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答). 9. 单、双循环问题 单循环问题：两者之间事件发生一次，（如：打比赛、握手、单程车票） 设参加比赛的队伍有个队，则总的比赛场数为 双循环问题：两者之间事件发生两次，（如：互送礼物、互相写信、往返车票） 设参有个人互送礼物，则总共需要准备礼物份数为 1. 某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排45场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 1. 某人建了一个好友助力群，群内的每个成员都分别给其他成员助力1次，这样共助力10 100次，这个助力群共有多少个成员？ 12. 分裂、传播问题（细胞分裂、信息传播、储蓄收益等） 传播问题的等量关系：传染源＋第一轮被传染的＋第二轮被传染的＝第二轮传染后的总数 1. 假设起始有个细胞，每个细胞每次能分裂个新细胞： 1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是___________ 1. 在某次病毒感染中，有5只动物被感染，后来经过两轮感染后，共有605只动物被感染.若设每轮感染中平均一只动物会感染只动物,则可列方程为：______________________ 1. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 1. 某种电脑病毒传播得非常快，如果1台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 18. 几何图形问题 1.数学上常见的图形有三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆、圆锥、圆柱等，根据它们的(表)面积、体积或周长公式来列方程是一种常见的类型. 2.常见的几种面积公式: 3.常见的几种体积公式： 4.勾股定理： 1. 学校准备在校园内利用校围墙的一段(墙体的最大可用长度为10米)和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园ABCD(如图)，已知篱笆长24米(篱笆全部用完)，如果要围成面积为45平方米的菜园，AB的长是多少米? 1. 如图是一个长为30，宽为20的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532，那么小道进出口的宽度应为____________米． 1. 如图，小明用一张长11，宽7的矩形纸板制作一个底面积为21的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形的边长为，则可列出关于的方程为______________________.  10.如图,在一块长为7米，宽为6米的长方形花坛里，栽种同样宽度的两条粉色花带，剩余部分栽种黄色花，要使栽种黄色花的面积为30平方米，求粉色花带的宽. 1. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为，矩形区域ABCD的面积为. (1)求AE的长(用的代数式表示)； (2)当＝108时，求的值． 1. 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米． (1)当通道宽为10米时，花圃的面积＝____________平方米； (2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽． 1. 《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地，八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为22围成中间隔有一道篱笆的长方米)，用长为34米的篱笆(正好要全部用完，且不考虑接头的部分)，形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践. (1)若设菜地的宽AB为米，BC＝ 米(用含的代数式表示)； (2)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米; (3)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由 1. 动点问题： 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点P从点A出发沿AB以1的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28? 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发秒后，PA＝2PC，则＝_________秒． 1. 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝，点P从点A开始沿AB向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于？ （2）小明在解答上述问题时，求得？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ． 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，动点P从点C出发，沿CA方向运动，同时动点Q从点B出发，沿BC方向运动，点P，点Q的运动速度均为．当运动时间为多少秒时，两点相距？ 1. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始向B运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿BC，CA方向运动，且速度为每秒．它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求PQ的长： （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PBQ能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 31. 销售问题 ①利润＝售价－进价(或成本)； ②利润率＝×100%＝×100%； ③利润＝进价×利润率； ④售价＝进价×(1+利润率)； ⑤总利润＝单件商品的利润×销售量＝销售额－总成本 1. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元． 2. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 3. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价为35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售.已知这种消毒液销售量(桶)与每桶降价 (元)(0<<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求与之间的函数关系式; (2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元，这种消毒液每桶实际售价为多少元? 4. 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元. 调查发现，当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5. 某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ 6. 一个农业合作社以 64000 元的成本收获了某种农产品 80，目前可以以 1200元/的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利 122000 元？ 7. 红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预测这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元.同时，平均每天有3千克的苹果腐烂不能出售，而且这种苹果在冷库中最多能保存90天. (1)若李明将这批苹果存放天后一次性出售，则天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克(用含的代数式表示);  (2)这批苹果存放天后一次性售出，李明共获得利润12000元，求这批苹果存放了多少天后出售. 8. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3、4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨. (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加，5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元，求的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，求6月份每吨再生纸的利润是多少元. 9. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000放养在塘内，此时市场价为30元/．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出? 学科网（北京）股份有限公司 $$