2.5 一元二次方程的根与系数的关系　讲义　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2.5 一元二次方程的根与系数的关系 知识回顾： 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ · 方程的两根和与系数还有其它关系吗？ 一元二次方程 当时有两个根： ， 所以，两根之和为： 两根之积为： 总结： 如果方程有两个实数根、，那么， 这一结论习惯上称为“韦达定理”. 韦达 (1540 — 1603) 是法国数学家. 注意： 应用一元二次方程的根与系数的关系时，一定要注意两个前提条件：一是满足，二是满足 练习1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1） （2） 韦达定理的逆否命题： 如果有两个数、满足，，那么和是方程的两个根. · 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值 练习2. 1. 已知关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值. 2. 已知方程的一个根是1，求它的另一个根及的值. 3. 不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和. 拓展提升：常见变形 · 当为何值时，方程的两根差为1 解：设方程两根分别为、，则 由根与系数的关系，得 ∵ ∴ ∴ ∴ 练习3. 1. 设、为方程的两个根，则： （1） ， （2） （3） 2. 设、是方程的两个实数根，且，求的值. 3. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20 吗？为什么？ 4. 已知关于的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数的取值范围. （2）若方程两根满足求的值. 【巩固练习】 1. 若方程2－2－1＝0的两个根为1，2，则1＋2－12的值为(　　) A．－1 B．－3 C．3 D．1 2. 已知，是方程2－2－1＝0的两实数根，则的值为(　　) A．－2 B．－ C. D．2 3. 已知实数1，2满足1＋2＝11，12＝30，则以1，2为根的一元二次方程是(　　) A．2－11＋30＝0 B．2＋11＋30＝0 C．2＋11－30＝0 D．2－11－30＝0 4. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之积． (1)2＋4＝0； (2)22－3＝5. 5. 已知方程2＋＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是____________，的值是____________． 6. 若关于的一元二次方程2＋＋＝0的两个实数根分别是1和2，则＝____________，＝____________. 7. 若关于的方程2＋(－2)＋ 2＝0的两根互为倒数，则＝____________. 8. 已知1，2是方程2＋6＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值： (1)＋；(2)；(3)(1＋1)(2＋1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$