2.4 用因式分解法求解一元二次方程　讲义　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 知识回顾： 1. 在之前我们已经学过哪些一元二次方程的解法？ 直接开方法：，当时，它的根为 配方法：，它的根为 公式法：根的判别式：Δ＝ ，时，它的根为 2. 因式分解的主要方法有哪些？ 提公因式法： 公式法：， 十字相乘法： 分组分解法 3. 若A×B=0，下面两个结论正确吗？ （1）A和B都为0，即A=0，且B=0. （2）A和B至少有一个为0，即A=0或B=0. 情景一：我们知道 ，那么或，类似的解方程 时，可转化为两个一元一次方程 或来解. 尝试计算与的解吗？ 情景二： 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？ 解：设这个数为，根据提议可得方程。 1 由方程 , 得 因此，. 所以这个数是0或3. 2 由方程 ， 得 即 于，或. 因此， 所以这个数是0或3 3 方程两边 同时约去, 得 . 所以这个数是3. 问题：上述3种解法做得对吗？为什么？ 因式分解法： 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程化为两个一元一次方程求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. （因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程，不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解．） 因式分解法的基本步骤： (1)移项：将方程的右边化为0；（将一元二次方程整理成一般式） (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（用提公因式法或者是公式法对方程左边因式分解） (3)转化：分别令每个因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 练习1. 1. 解下列方程 (1) (2) (3) 2. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 3. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了 1 ，另一边减少了2 ，剩余空地面积为12，求原正方形空地的边长. 情景三：用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 各种一元二次方程的解法及适用类型: 一元二次方程的解法 适用的方程类型 理论依据 直接开平方 平方根的定义 配方法 完全平方公式 公式法 配方法 因式分解 若两个因式的积为0， 则这两个因式至少有一个为0 拓展： 当二次三项式中常数项可以分解为两个数的积，且这两个数的和恰好等于一次项系数时，可运用“十字相乘法”，如下，十字相乘法图解如下： 练习2. 1. 解方程 （1） （2） （3） 2. 若代数式与代数式的值相等，则x的值是多少？ 3. 若与的值互为相反数，则x的值是多少？ 4. 已知关于x的方程的一个解为，求m的值及方程的另一个解． 【巩固练习】 1. 用适当的方法解一元二次方程 （1）(＋5)2－3(＋5)＝0 （2） 2－4＋1＝0 （3）2(－1)2＋＝1. （4）2 2－2－5＝0 （5）(3－1)2－4(2＋3)2＝0 （6）(＋1)(－1)＋2(＋3)＝13. 2. 解下列方程：①22－18＝0；②9 2－12－1＝0；③3 2＋10＋2＝0；④2(5－1)2＝2(5－1)． 用较简便的方法依次是(　　) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 3. 三角形两边长分别为3和6，第三边是方程 2－13＋36＝0的根，则三角形的周长为(　　) A．13 B．15 C．18 D．13或18 4. 若(2＋)2＋2(2＋)＋1＝0，则2＋的值是____________． 5. 若正数是一元二次方程2－5＋＝0的一个根，－是一元二次方程2＋5－＝0的一个根，则的值是____________． 6. 解方程 (＋5)＝3(＋5)，甲同学的解法如下： 解：方程两边同除以(＋5)，得＝3. 请回答： (1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法． 7. 如图，把小圆形场地的半径增加5得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$