2.3 用公式法求解一元二次方程　讲义　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2.3 用公式法求解一元二次方程 情景一：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：， 尝试用配方法解一元二次方程： 解：移项，得： 方程两边都除以（二次项系数化为1），得： 等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方： 左边运用完全平方公式进行因式分解，等式右边进行计算： 左右两边进行开平方： 移项求解：（一元二次方程的求根公式） · 探究：中，因为，所以. 1 当 时， 0；（填“＞”、“＜”或“＝”），即 （填“能”或“不能”）开平方，开平方得 ，解得： ； 2 当 时， 0；（填“＞”、“＜”或“＝”），即 （填“能”或“不能”）开平方，开平方得 ，解得： 3 当 时， 0.（填“＞”、“＜”或“＝”），即 （填“能”或“不能”）开平方，原方程 用公式法解一元二次方程： 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根为，这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 注意： (1)用公式法解一元二次方程有两个前提条件：①；②； (2)当时，方程有两个相等的实数根，不要误认为方程只有一个实数根，如，其根为 . 一元二次方程的根的情况可由来判定，我们把叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 对于一元二次方程， 1 当Δ＝时，方程有两个不相等的实数根； 2 当Δ＝ 时，方程有两个相等的实数根； 3 当Δ＝时，方程没有实数根. 用公式法求解一元二次方程一般步骤： (1) 化：一般形式（对方程进行化简，化简成等号一端为0） (2) 定：确定一元二次方程中的值（确定的值时，要注意带上各系数前面的符号） (3) 算：计算的值 (4) 判：判断Δ＝ 与 0 的大小（确定一元二次方程的根的情况） (5) 解：由求根公式计算出方程的根 练习1. 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1） （2） （3） 2. 利用公式法解系数简单的一元二次方程： （1） （2） （3） 3. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 4. 当为多少时，代数式与的值互为相反数. 5. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长. 情景二：在一块长16，宽12的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积的一半，你能给出设计方案吗？ 1 小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等。你能求出小明设计的方案中小路的宽吗？ 2 小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相等。你能帮小亮求出图中的吗？ · 用求根公式法解一元二次方程时，所得的解不一定符合实际，因此，应用一元二次方程解决实际问题要“检验”. 练习2. 1. 在一幅长 90、宽 40的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂画面积的 72%，那么金色纸边的宽度应该是多少？ 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25)，另三边用木栏围成，木栏长40. (1) 鸡场的面积能达到1802吗？能达到2002吗？ (2) 鸡场的面积能达到2502吗？ 【巩固练习】 1. 已知关于的一元二次方程32＋4－5＝0，下列说法正确的是(　　) A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2. 若关于的方程2＋2＋＝0不存在实数根，则的取值范围是(　　) A．＜1 B．＞1 C．≤1 D．≥1 3. 若关于的一元二次方程 2－3＋＝0有两个相等的实数根，则＝____________. 4. 《九章算术》中有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何”.大意是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？高是 尺，宽是 尺.（注：1尺＝10寸，1丈＝10尺） 5. 用公式法解方程： （1）32＋2＋1＝0. （2） (－1)(1＋2)＝2 （3）2＋2－6＝0 6. 已知关于的一元二次方程(－1)2－3＋1＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若该方程没有实数根，求正整数的最小值． 7. 关于的一元二次方程 2－＋2－4＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求的取值范围． 8. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 9. 如图，利用一面墙（墙长25），用总长度为49的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD ，且中间共留两个1宽的小门.设栅栏 BC 的长为. （1） 若矩形围栏 ABCD 的面积为2102，求栅栏 BC 的长. （2） 矩形围栏 ABCD 的面积能不能达到2402？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由. 10. 将一条长为40的铁丝剪成两段，并将每一段铁丝围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和为52 2 ，那么这条长铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和能等于48 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. 11. 为了匹配日益增加的人口数量，某地政府计划对该区域的矩形公园进行扩建．如图，原矩形公园长30米，宽20米，要求扩建后的矩形公园长与宽的比为5∶4.扩建区域的扩建费用每平方米50元，扩建后在原公园和扩充区域都铺设石板，铺设石板的费用是每平方米150元．如果计划总费用14370000元，扩建后公园的长和宽应分别是多少米？ 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$