2.2 用配方法求解一元二次方程　讲义　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2.2 用配方法求解一元二次方程 情景一：解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ 2＝5，，， 总结：直接开平方法解一元二次方程： 1. 一般地，对于方程…….①. 当时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根，； 当时，方程①有两个相等的实数根； 当时，因为对任意实数，都有，所以方程①无实数根. （直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义．） 练习1. 解下列方程 (1) (2) (3) (4) . 情景二：在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离满足方程2 + 12－15 = 0.我们已经求出了的近似值，你能解方程2 + 12－15 = 0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？ · ，都符合原问题的要求吗？ 解一元二次方程的思路是将方程转化为的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 练习2. 填上适当的数，使下列等式成立： ＝（+ 2）2 ＝（ ）2 ＝（+ ）2 ＝（ ）2 ＝（+ ）2 ＝（ ）2 情景三：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 解：可以把常数项移到方程的右边，得. 两边都加 (一次项系数8的一半的平方 )，得， 即 两边开平方，得 即 ，或. 所以 ， 题中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法 总结： 对形如的关于的一元二次方程，运用整体思想，把看做一个整体，直接开平方降次，得，即 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成……②的形式，那么就有： (1)当时，方程②有两个不相等的实数根， (2)当时，方程②有两个相等的实数根 练习3. 解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【基础练习1】 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）5－45＝0； （2）9(＋4)2－49＝0. （3）4－25＝0； （4） （2－1）2＝27 （5）6－2（－3）2＝0 2. 用配方法解下列方程： （1）－6＋9＝2 （2）＋2－3＝0 （3）－－ ＝0 （4）＋＋1＝0 情景四：解方程：，它与 有什么区别吗？ 解：两边同除以3，得： （可以先将二次项系数化为1） 配方，得： 移项，得： 两边开平方，得： . 即得： ，或 . 所以 ，或 练习4. 用配方法解方程（1） （2） 配方法解一元二次方程： 定义：通过把一元二次方程配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做配方法. 步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边，含未知数的项移到方程等号的左边 二除：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为1 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式 四开：如果方程的右边是一个非负数，可以直接开平方解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根 【基础练习2】 1. 用配方法解方程2 2－4＝3时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 2. 下列对方程2 2－7－1＝0的变形，正确的是(　　) A．(＋)2＝ B．(－)2＝ C．(－)2＝ D．(＋)2＝ 3. 解方程： (1)3 2＋6－1＝0 (2)2 2－5－3＝0 (3)4 2－7＋2＝0 (4) 2＋－2＝0. 4. 一桶油漆可以刷 1500，小林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 5. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同.求增加了多少行，多少列. 6. 如图，在一块长13、宽7的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草.若栽种花草的面积是55，则道路的宽应设计为多少米？ 7. 一个小球以15的初速度竖直向上弾岀. 它在空中的高度与时间满足关系：， 小球何时能达到10高？ 【提高练习】 1. 若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程2 2－3－5＝0的一个根，求这个三角形的周长． 2. 一条长64的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160，求两个正方形的边长． 3. 试用配方法说明：不论取何实数，多项式 2－4＋5 的值必定大于零. 3. 用配方法证明：无论为何实数，代数式－2 2＋4－5的值恒小于零． 4..若为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状. 4. 已知. 求的值. 5. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题. 求代数式的最小值. 解：. ∵， ∴. ∴的最小值是4. （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$