2.1 认识一元二次方程 讲义　　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2.1 认识一元二次方程 情景一：幼儿园某教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为，那么地毯中央长方形图案的长为 ，宽为 ，根据题意，可得方程： 化简得： 情景二：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， 根据题意，可得方程： 化简得： 情景三：如图，一个长为10的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8.如果梯子的顶端下滑1，那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　　.如果设梯子底端滑动 ，那么滑动后梯子底端距墙　　 ， 根据题意，可得方程： 化简得： · 观察上述方程，方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 一元二次方程的定义： 1. 只含有一个未知数，并且都可以化成的形式的整式方程，叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程必须同时满足三个条件：①只含有一个未知数；②含未知数项的最高次数是2；③整式方程． 如：3＝6，(＋1)(＋2)＝4，2＋2＝6－都是一元二次方程． 一元二次方程的一般形式: 一元二次方程的一般形式是 ， 是二次项，是二次项的系数； 是一次项，是一次项系数； 是常数项． 注意：一元二次方程的系数： (1)若已知是关于的一元二次方程，则隐含这一条件； (2)确定一元二次方程各项系数时，必须先将其化为一般形式，习惯上把二次项系数化为正数，写项和系数时一定要包括前面的符号． 练习1. 1. 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？ ① ② ③ ④ 2. 关于的方程 (2－1) 2＋2(+1)＋2＋2＝0，当_______时，是一元二次方程；当_______时，是一元一次方程． 3. 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) (2) . 4. 将方程化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项系数是 5. 将方程化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项系数是 6. 根据题意列出一元二次方程： 1 已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长. 2 有一面积为 的长方形，将它的一边剪短5，另一边剪短2，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 情景四：你能设法估计情景一中四周未铺地毯部分的宽度吗？我们知道，满足方程( 8－2)( 5－2)= 18. (1) 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由. (2) 你能确定的大致范围吗？ (3) 填写下表： 0.5 1 1.5 2.5 ( 8－2)( 5－2) (4) 你知道所求宽度是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流. 情景五：情景三中，梯子底端滑动的距离足方程 (+ 6 )2 + 72 = 102，也就是 2 + 12－15 = 0. (1) 小明认为底端也滑动了1，他的说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是2吗？可能是3吗？为什么？ (3)你能猜出滑动距离的大致范围吗？ (4)的整数部分是几？十分位是几？ 解一元二次方程（“两边夹”方法）： 确定其解的大致范围 列表、计算 进行两边“夹逼” 求得近似解 1. 先列表，再列举出几组的值，并分别计算出方程，中的值； 2. 在表中找到可能使的值等于0的未知数的取值范围； 3. 在2中确定的取值范围内进一步列表、计算、估计取值范围，直到近似解符合题中的精确度要求为止． （对一元二次方程的解的估算，只是估算“解”的取值范围，即在哪两个数之间.） 【基础练习】 1. 下列方程是一元二次方程的是(　　) A．2＋＝0 B．(＋2)(－3)＝2－3 C．2＋＝ D．22－1＝0 2. 把方程(＋2)(－2)＝5化成一元二次方程的一般形式是(　　) A．2－5－4＝0 B．2－5＋4＝0 C．2＋5－4＝0 D．2＋5＋4＝0 3. 方程22－7＝-5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A．7，2，5 B．2，7，-5 C．2，－7，－5 D．2，7，5 4. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(　　) A．(－11)＝180 B．2＋2(－11)＝180 C． (＋11)＝180 D．2＋2(＋11)＝180 5. 方程 2－95＝0的一个根可能在(　　) A．4与5之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 6. 根据下表： －3 －2 －1 … 4 5 6 2－3－5 13 5 －1 … －1 5 13 确定方程 2－3－5＝0的解的取值范围是(　　) A．－3＜＜－2或4＜＜5 B．－2＜＜－1或5＜＜6 C．－3＜＜－2或5＜＜6 D．－2＜＜－1或4＜＜5 7. 已知方程3＋2＝0是关于的一元二次方程，则＝____________. 8. 一元二次方程-32＋4＝－10的二次项系数、一次项系数及常数项之和为____________． 9. 三个连续奇数的平方和是251，求这三个数．若设最小的数为，则可列方程为____________． 10. 写出一个根为＝－2的一元二次方程，它可以是____________． 11. 若关于的方程＋8＋2＝0是一元二次方程，求的值，并写出这个一元二次方程． 12. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 42＝5－3 　 (3+4)2－2＝0 2＋2－2＝11 13. 如图，在宽为20，长为30的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500 2.若设路宽为，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． 【巩固练习】 1. 把方程－52＋6＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为 (　 　) A．2＋＋＝0 B． 2－6－3＝0 C． 2－－＝0 D． 2－＋＝0 2. 一元二次方程(＋1)2－＝3( 2－2)化成一般形式是________________ 3. 小颖在做作业时，一不小心，一个方程32－■－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解为＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少． 4. 把方程(1－)(＋3)＝2 2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 5. (1) 如图，已知一矩形的长为300，宽120 .现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径应满足的方程（其中取3）. (2)据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率应满足的方程. 6. 对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系： ，其中是离抛出点所在平面的高度，是初速度，是重力加速度(＝10 )，是抛出后所经过的时间．如果将一物体以25的初速度向上抛出，几秒钟后它在离抛出点20高的地方？ 7. 要做一个容积为750，高为6，底面长比宽多5的无盖长方体铁盒． (1)若设长方体底面宽，则长方体底面长为____________，根据题意，可列方程为____________； (2)将(1)中的方程化为一般形式是____________； (3)可能大于9.1吗？可能小于8.9吗？请说说你的理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$