精品解析：山东省淄博市张店区淄博张店东方双语学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

2023-2024学年山东省淄博市张店区东方双语学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制） 一、单项选择题 1. 如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　） A. B. C. D. 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 如图，交于点O，过点O的直线分别交于点E、F，，则图中全等的三角形的对数共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 4. 已知三角形的一个外角等于，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大，则这个三角形的三个内角分别是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8．则△AEF的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A. 50° B. 98° C. 75° D. 80° 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得≌，这样就有则说明这两个三角形全等的依据是______ 12. 若是三边的长，化简=____________ ． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 14. 如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 _______． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 15. 如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为__________时，和全等． 三、解答题． 16. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 17. 尺规作图（不写作法，保留痕迹）； 已知：线段， 求作：，使得． 18. 如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了，处，设与的交点为． （1）求证； （2）小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 19. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 20. 阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案： 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整； （2）任务二： ①凉亭与游艇之间的距离是_______米； ②请你说明小明方案正确的理由． 21. 已知：C中，图①中的平分线相交于M，图②中的外角平分线相交于N． （1）若，________，________． （2）若，试用β表示和． （3）如图③，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，请直接用α表示的大小． 22. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 23. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． （2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判AC与BF的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年山东省淄博市张店区东方双语学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制） 一、单项选择题 1. 如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴当时，可根据可证， 故选：B． 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】边上的高即为过点B向边所在直线所作的垂线段，据此解答即可. 【详解】解：如图，的边上的高是线段； 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的高，属于应知应会题型，熟知三角形的高的定义是解题关键. 3. 如图，交于点O，过点O的直线分别交于点E、F，，则图中全等的三角形的对数共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理逐个进行判断即可． 【详解】解：， 同理可得： 全等三角形有△AEO≌△BFO，△CEO≌△DFO，△ACO≌△BDO，共3对， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直线平行，内错角相等． 4. 已知三角形的一个外角等于，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大，则这个三角形的三个内角分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据外角性质，结合题意列方程求解，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：已知三角形的一个外角等于，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大， 设其中一个内角为，则另一个内角为， 由外角性质可得，解得， 这个三角形的两个内角分别为和， 再由三角形内角和定理可知，第三个内角为， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和与外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解决问题的关键． 5. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形； ②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形； ③由，可得，那么，能确定是直角三角形； ④因为，所以，则，所以是直角三角形； ⑤设，因为，所以， 由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个， 故选：C． 6. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 7. 如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8．则△AEF的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用BE=DE得到S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE，所以S△ACE=4，然后利用F点是CE的中点得到S△AEF=S△ACE． 【详解】∵点E是BD的中点 ∴BE=DE ∴S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE ∴S△ACE=S△ABC=×8=4 又∵F点是CE的中点 ∴S△AEF=S△ACE=． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高乘积的一半．掌握三角形的面积和中线的定义是解决本题的关键． 8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 9. 如图，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A. 50° B. 98° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=82°，然后利用平角的定义即可求出∠1. 【详解】 ∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠C′=∠C=40°， 而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=18°， ∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°， ∴∠3+∠4=82°， ∴∠1=180°-82°=98°． 【点睛】本题综合考查了三角形内角和定理、外角定理以及翻折变换的问题，而翻折变换实际上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.明确各个角之间的等量关系，是解决本题的关键. 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 二、填空题 11. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得≌，这样就有则说明这两个三角形全等的依据是______ 【答案】SSS 【解析】 【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）． ∴∠DAC=∠BAC， 即∠QAE=∠PAE． 故答案为SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 12. 若是三边的长，化简=____________ ． 【答案】a+3b+c 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 _______． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 【详解】解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ③，，是的角子分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 15. 如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为__________时，和全等． 【答案】4秒或0秒 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．当4秒或0秒时，和全等，根据定理推出即可． 【详解】解：当4秒或0秒时，和全等， 理由是：，， ， ①当时， 在和中， ， ， ②当时， 在和中， ， ， 点的运动速度为每秒钟， 当运动时间为4秒或0秒时，和全等． 故答案为：4秒或0秒． 三、解答题． 16. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 17. 尺规作图（不写作法，保留痕迹）； 已知：线段， 求作：，使得． 【答案】如图： 【解析】 【分析】利用已知角作出，进而利用得出． 【详解】解：作出边， 作出， 作出边， 连接， 为所求三角形． 【点睛】本题考查的是复杂作图，作三角形，同时考查的是全等三角形的判定与性质，理解作图的依据是解本题的关键． 18. 如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了，处，设与的交点为． （1）求证； （2）小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 【答案】（1） 证明：小蚂蚁同时从、出发，速度相同， 后两只小蚂蚁爬行的路程， 在和中， ， ； （2） 无变化．理由：， ， ， ， ， ， ， ， 无变化． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，等边三角形的性质，根据小蚂蚁的速度相同求出是证明三角形全等的关键． （1）根据小蚂蚁的速度相同求出，再利用“边角边”证明和全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后表示出，再根据等边三角形的性质求出，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°， ∵， ∴△CBE△CDF（SAS）． ∴CE=CF． （2）成立 【解析】 【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 【详解】解：（1）略 （2）GE=BE+GD成立． 理由：∵由（1）得：△CBE△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF． ∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC， ∴△ECG△FCG（SAS）． ∴GE=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD． 【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定． 20. 阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案： 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整； （2）任务二： ①凉亭与游艇之间的距离是_______米； ②请你说明小明方案正确的理由． 【答案】（1） 根据题意将测量方案示意图补充完整如图所示： （2）①9； ②由题意可得：米，米，， 在和中， ， ， 米， 小明的方案是正确的． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形 （1）根据题意将图形补充完整即可； （2）①由补充完整的图形可知：，且与是对应边，由此即可得到答案；②由“”证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由补充完整的图形可知：， 米， 故答案为：9； ② 略 21. 已知：C中，图①中的平分线相交于M，图②中的外角平分线相交于N． （1）若，________，________． （2）若，试用β表示和． （3）如图③，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，请直接用α表示的大小． 【答案】（1）； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用三角形内角和定理求解角的关系是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解；由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解； （2）由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解；由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可求解； （3）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，从而可求证． 【小问1详解】 解：如图①，∵的平分线相交于， ， ， ， ， ， ， ， 如图②，∵外角的平分线相交于， ， ， ， ，， ， 即， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图①，∵的平分线相交于， ， ， ， ， 如图②，∵外角的平分线相交于， ， ， ， ，， ， 即； 【小问3详解】 解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ， 是的外角，是的外角， ， ， ， 即， ． 22. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】 猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】略 23. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． （2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判AC与BF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中 ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）． ∴BE=AC=3． ∵AB-BE<AE<AB+BE ∵2<AE<8． ∵AE=2AD ∴1<AD<4． （2）AC=BF， 理由如下： 延长AD至点G，使GD=AD，连接BG， 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）． ∴BG=AC，∠G=∠DAC．． ∵AE=EF ∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG ∴∠G=∠BFG ∴BG=BF ∴AC=BF． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $