精品解析：天津市第四中学2025届高三上学期数学统练（一）

天津四中2025届高三第一学期统练（一） 命题人：杨赫梁 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知M，N均为R的子集，且，则为（ ） A. M B. N C. D. R 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出韦恩图，结合韦恩图分析求解. 【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：. 故选：A. 2. 在中，角所对的边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件. B. 必要不充分条件. C. 充要条件. D. 既不充分也不必要条件. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】在中，若，则， 由正弦定理， 得，即充分性成立； 若， 由正弦定理有， 得，则，即必要性成立； 综上可得：“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数定义域排除A，结合时的函数值恒大于0排除CD，则可得答案. 【详解】由得．排除A； 当时，，所以．排除CD． 又， 当时，，故，故B中图象符合题意， 故选：B 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项. 【详解】，， 而，则，即，所以. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式，二倍角公式得到，代入求解. 【详解】 故选：D 6. 已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（   ） A. 变量x与变量y呈正相关 B. 变量x与变量y的相关性变强 C. 残差平方和变大 D. 样本相关系数r变大 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可. 【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关， 所以B正确，A错误； 由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误， 由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大， 而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误. 故选：B. 7. 头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（ ） A. 8h B. 9h C. 10h D. 11h 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程，把指数式化为对数式求解即可. 【详解】设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L下降到8mg/L需要经过，则， 所以，则， 故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L需要8+2=10（h）. 故选：C. 8. 将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 是的一个零点 D. 是的一个单调减区间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 9. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两边求导得，再根据为奇函数得，由对称性得出是周期为2周期函数，即可求解． 【详解】由两边求导得，，即， 因为为奇函数， 所以，即， 所以关于中心对称， 所以，变形得，且， 由，得，变形得， 所以，则， 所以是周期为2的周期函数，则， 故选：A． 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. i为虚数单位，若复数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后代入模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 11. 若，是方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理得，再求出，即得解. 详解】由题得. 所以， 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查和角的正切公式的应用，考查正切函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12. 若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为___________. 【答案】280 【解析】 【分析】根据二项式系数和可得，再结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】由题意可知：二项式系数和为，解得， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：280. 13. 已知为正实数，则的最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为4. 故答案为：4 14. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为___________；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设相应事件，结合题意分析相应事件的概率，结合全概率公式求；结合条件概率求. 【详解】设“第次是甲投篮”为事件，“投篮命中”为事件B， 由题意可知：，， 则， 所以第2次投篮的人是甲的概率为 ； 且在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 故答案为：；. 15. 已知函数，则函数的值域为________________；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】求出每段函数的值域求并集可得的值域；作出函数的图象，根据直线与函数的图象有三个交点可得的取值范围. 【详解】当时，； 当时，； 当时，. 综上，函数的值域为. 作出函数的图象如图： 因为关于的方程恰有三个不相等的实数根， 所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可知，，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 三、解答题（5个小题，共75分） 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 【答案】（1） （2）弧度 【解析】 【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解； （2）由扇形的周长和面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为弧度， 所以； 【小问2详解】 由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求正切值，然后化简式子，在进行齐次化求解即可； （2）先用二倍角公式展开，然后进行齐次化求解. 【小问1详解】 因为 ,所以 , 所以; 【小问2详解】 . 18. 已知函数 （1）求的值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数，即可得的值； （2）根据正弦型三角函数的性质列不等式求解单调增区间即可； （3）根据（2）确定函数在区间上的单调性，求值即可得函数的值域． 【小问1详解】 则； 【小问2详解】 令：， 解得 的单调递增区间为：,； 【小问3详解】 由（2）可得，函数在区间上单调递增 ， 在区间上的值域为：． 19. 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，计算出，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角； （3）由计算出点到面的距离. 【小问1详解】 因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 设平面的法向量，， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则，又， 所以，所以直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，因为， 所以，所以点到平面的距离为. 20. 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值是，最小值是 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （3）根据题意，先求参数，进而用分离参数的方法解决恒成立问题即可. 【小问1详解】 当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 【小问2详解】 因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. 【小问3详解】 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得： 所以实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津四中2025届高三第一学期统练（一） 命题人：杨赫梁 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知M，N均为R的子集，且，则为（ ） A. M B. N C. D. R 2. 在中，角所对边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件. B. 必要不充分条件. C. 充要条件. D. 既不充分也不必要条件. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（   ） A. 变量x与变量y呈正相关 B. 变量x与变量y的相关性变强 C. 残差平方和变大 D. 样本相关系数r变大 7. 头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（ ） A. 8h B. 9h C. 10h D. 11h 8. 将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 是的一个零点 D. 是的一个单调减区间 9. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. i为虚数单位，若复数，则______ 11. 若，是方程的两个根，则__________. 12. 若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为___________. 13. 已知为正实数，则的最小值为_______. 14. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为___________；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为___________. 15. 已知函数，则函数的值域为________________；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________________. 三、解答题（5个小题，共75分） 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数 （1）求值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 19. 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 20 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$