精品解析：河南省南阳市第三中学2022-2023学年九年级上学期网课第五次学情调研数学试题

第五次数学学情调研 一．选择题（每题3分） 1. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 2. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数有最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（ ） A. 32 B. 18 C. 16 D. 以上都不对 7. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 9. 已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分） 12. 已知一次函数与二次函数的图象交于轴上的点，则的值是________． 13. 二次函数的最小值是________． 14. 如图所示，分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为________． 15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为________． 三．解答题 16. 如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点是直线上的一个动点，当点到点，点的距离之和最短时，求点的坐标． 17. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑高． （2）求落水点之间的距离． （3）若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 18. 新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为元，经市场调研，销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋． （1）直接写出：每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式________； 每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式________． （2）小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元？ （3）若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由． 19. 如图①，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，求两条抛物线、对称轴和轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）． （4）求当时，求函数值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五次数学学情调研 一．选择题（每题3分） 1. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律作答即可． 【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位 得到的函数关系式是 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象平移的规律，即上加下减，左加右减，熟练掌握平移规律是解题的关键． 2. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 3. 与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线线上的点沿x轴对称得到的新抛物线的顶点横坐标与原抛物线的顶点横坐标相同，新抛物线的顶点纵坐标与原抛物线的顶点纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∵关于x轴对称点的坐标为 ∴对称后抛物线解析式为 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换，熟练掌握轴对称变化的规律是解答本题的关键． 4. 若二次函数有最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵，即开口向上， ∴当时，二次函数有最小值， ∵二次函数有最小值为， ∴，解得：； 故选． 5. 二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由二次函数有最高点得到，求出抛物线顶点坐标为，由题意得方程求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象有最高点， 二次函数图象开口向下，即， 二次函数的顶点坐标为， 当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去）， 故选：B． 6. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（ ） A. 32 B. 18 C. 16 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数和几何的综合应用．根据题意，正确的列出二次函数的解析式，是解题的关键．设，将四边形的面积转化为二次函数，求最值即可． 【详解】解： ∵， ∴四边形的面积； 设， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 当时，四边形的面积最大：18， ∴四边形的最大面积是：18； 故选B． 7. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据解析式可求得对称轴为直线，再根据二次函数的性质及当时，y随x的增大而减小，即可求得 【详解】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，， 该抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 8. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解． 【详解】解：∵y＝x2﹣2x+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次函数的对称性比较函数值大小是解题关键． 9. 已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵对称轴为，得， ，且a、b异号，即， 又∵， ∴， 故①，②正确； ∵对称轴为，得， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵抛物线与x轴的交点可以看出， 当时，， ∴， 即， 故④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 10. 已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作轴于，于，由正方形性质即可证明，设，即可求出D点坐标，代入即可得出的值． 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， 设， 点、的坐标分别是，，， ，解得， ， 点在抛物线的图像上， ， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出点坐标是解题关键． 11. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 二．填空题（每题3分） 12. 已知一次函数与二次函数的图象交于轴上的点，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式是解题的关键． 一次函数的图像与轴的交点为，可求出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数即可求解． 【详解】解：根据题意得，当时，， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象过点，得， ∴， ∴， 故答案为：1 13. 二次函数的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将解析式配成顶点式，根据函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 14. 如图所示，分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键．求出对称轴后根据对称性求点B横坐标，再代入解析式即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点B横坐标为， 将代入得， ∴点B的纵坐标为1． 故答案为：1 15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半，即米，抛物线顶点坐标为， 通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入点坐标到抛物线解析式得出：， 所以抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面的宽度为， 故答案为． 三．解答题 16. 如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点是直线上的一个动点，当点到点，点的距离之和最短时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）点． 【解析】 【分析】（）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可； （）连接，与直线的交点即为； 本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线过，，三点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ∵抛物线经过，， ∴对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为点，连接，， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，距离之和最短， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点． 17. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑高． （2）求落水点之间的距离． （3）若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3） 解：当时，， ∴顶部是会碰到水柱． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）求雕塑高，直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，点在图象上． 当时， ． 【小问2详解】 解：由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． ， 【小问3详解】 略 18. 新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为元，经市场调研，销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋． （1）直接写出：每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式________； 每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式________． （2）小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元？ （3）若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由． 【答案】（1）；； （2）要想获利元，则销售单价应定为元； （3）能，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （）根据销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，即可列出函数关系式； 根据每天的销售利润（元）等于每袋的利润乘以每天的销售量即可列出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （）根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋，可得关于的一元一次不等式，从而可解得的取值范围；根据小王希望每天获利元，可得关于的一元二次方程，解方程并作出取舍即可； （）根据每袋口罩的利润不低于元及每天销售量不得少于袋，可得的取值范围；根据利润为元，得出关于的一元二次方程，解方程并与的取值范围相比较，即可作出判断； 【小问1详解】 解：∵销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋， ∴， 故答案为：； 根据题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵ ∴, ∵小王希望每天获利元， ∴， 解得：，（舍去） 答：要想获利元，则销售单价应定为元； 【小问3详解】 能，理由： ∵， ∴， 由（）得：， ∴， 由， 当时， ∴， 解得：或， ∴， ∴每袋口罩的利润不低于元，小王每天能获得元的总利润． 19. 如图①，已知抛物线经过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，求两条抛物线、对称轴和轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）． （4）求当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1）； （2）顶点坐标为，对称轴为直线． （3） （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，求函数值，图形的平移，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把点、、代入抛物线解析式利用待定系数法求解即可． （2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可． （3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解； （4）当时，，当是，有最小值，进而利用数形结合图形得当时，． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问3详解】 解：如图， ∵抛物线的顶点坐标为，则平移后的顶点 ∴． 又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积， 而平行四边形的面积． ∴阴影部分的面积． 【小问4详解】 解：当时，， ∵， ∴当是，有最小值， ∵ ∴结合图形得当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $