两角和与差的三角函数专项讲义-2025届高三数学一轮复习

两角和与差的三角函数专项讲义-高考数学一轮复习专题 【高频考点】+【典型例题】+【跟踪训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：高频考点 第二部分：典型例题 第三部分：跟踪训练 【第一部分】 ( 高频考点 ) 两角和与差的三角函数 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）＝． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝． 【解题方法点拨】 ﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ cos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ ﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值． ﹣验证计算结果的正确性． 【第二部分】 ( 典型例题 ) 1．（2024•聊城模拟）在梯形ABCD中，AD∥BC，设∠BAD＝α，∠ABD＝β，已知． （1）求∠ADB； （2）若CD＝2，AD＝3，BC＝4，求AB． 【解答】解：（1）因为cos（α﹣β）＝2sin（α+）sin（β+）， 所以cos[（α+）﹣（β+）]＝2sin（α+）sin（β+）， 即cos（α+）cos（β+）+sin（α+）sin（β+）＝2sin（α+）sin（β+）， 所以cos[（α+）+（β+）]＝cos（α+β+）＝0， 由0＜α+β＜π，得＜α+β+＜， 所以α+β+＝，即α+β＝， 所以∠ADB＝π﹣（α+β）＝． （2）因为AD∥BC，所以∠DBC＝∠ADB＝， 在△BCD中，由正弦定理得sin∠BDC＝＝＝1， 所以∠BDC＝， 所以BD＝2， 在△ABD中，由余弦定理得 AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB＝32+（2）2﹣2×2×＝3， 所以AB＝． 2．（2024•兴庆区校级四模）已知函数． （1）求f（x）的对称轴； （2）若方程f（x）＝﹣1在区间[0，m]上恰有两个解，求m的取值范围． 【解答】解：（1）＝sin2x﹣[1+cos（2x﹣）]＝sin2x﹣（cos2x+sin2x）﹣1＝sin（2x﹣）﹣1． 令2x﹣＝kπ+（k∈Z）， 则x＝+（k∈Z）， 故f（x）的对称轴方程为x＝+（k∈Z）； （2）若方程f（x）＝﹣1在区间[0，m]上恰有两个解，即sin（2x﹣）﹣1＝﹣1在区间[0，m]上恰有两个解， 即sin（2x﹣）＝0在区间[0，m]上恰有两个解， 故π≤2m﹣＜3π，解得≤m＜， 故m的取值范围为[，）． 3．（2024•红桥区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝6，，且bsinA＝3csinB． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求b的值； （Ⅲ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为bsinA＝3csinB，a＝6， 所以由正弦定理可得ab＝3bc， 可得a＝3c＝6， 所以c＝2； （Ⅱ）因为c＝2，a＝6，cosB＝， 所以由余弦定理可得b＝＝＝4； （Ⅲ）由（Ⅱ）可知b＜a，可得B为锐角， 所以sinB＝＝，sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝2cos2B﹣1＝﹣， 所以＝cos2B﹣sin2B＝﹣＝． 【第三部分】 ( 跟踪训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•长沙月考）已知，则sinαsinβ＝（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•博罗县月考）已知，则＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024•天河区校级模拟）已知，，，则tanαtanβ的值为（　　） A． B． C． D．2 4．（2024•江西二模）已知tanα＝3，tan（α+β）＝﹣5，则tan（2α+β）＝（　　） A．8 B．﹣8 C． D． 5．（2024秋•大庆月考）已知0＜α＜β＜π，且sin（α+β）+cos（α+β）＝0，sinαsinβ＝6cosαcosβ，则tan（α﹣β）＝（　　） A．﹣1 B． C． D． 6．（2024春•江宁区校级期末）已知sin（α+β）＝m，，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C．3m D．﹣3m 7．（2024春•南京期末）若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），则tan（α+β）的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•青岛月考）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C．1 D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•广汉市校级模拟）在△ABC中，下列等式恒成立的是（　　） A．sinA﹣sin（B+C）＝0 B．cosA﹣cos（B+C）＝0 C． D． （多选）10．（2023秋•荔湾区校级期末）下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）11．（2024•南通模拟）设，，且tanα＝sin（α+β），则（　　） A．tanα+tan（α+β）＜0 B．cosα+cos（α+β）＜0 C． D． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•鞍山月考）已知，则＝　 　． 13．（2024•湖南开学）（1+5cosθ）2+（﹣1+5sinθ）2的取值范围为 　 　． 14．（2024•咸阳模拟）已知角α，β为锐角，且，，则角β＝　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•汉中开学）已知角α∈（0，π），且． （Ⅰ）求sin（π+α）的值； （Ⅱ）求的值． 16．（2024•嘉定区校级学业考试）已知． （1）求tanα的值； （2）若α，，且，求角α+β的值． 17．（2024•海淀区校级开学）已知函数，且． （1）求a的值和f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间． 18．（2024•安徽开学）已知． （Ⅰ）求sinx+cosx的值； （Ⅱ）已知，求x+y的值． 19．（2024春•通州区校级期末）已知向量，，． （1）求cos（α﹣β）的值； （2）若，，求sinα的值． 两角和与差的三角函数专项讲义-高考数学一轮复习专题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•长沙月考）已知，则sinαsinβ＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 又因为， 所以． 故选：A． 2．（2024秋•博罗县月考）已知，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得 ＝， 所以． 故选：B． 3．（2024•天河区校级模拟）已知，，，则tanαtanβ的值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：因为，， 所以＝， 分子分母同时除以cosαcosβ得：①， 由于，所以，所以， 所以，， 所以＝②， 联立①②，可得． 故选：B． 4．（2024•江西二模）已知tanα＝3，tan（α+β）＝﹣5，则tan（2α+β）＝（　　） A．8 B．﹣8 C． D． 【解答】解：已知tanα＝3，tan（α+β）＝﹣5， 则tan（2α+β）＝＝． 故选：D． 5．（2024秋•大庆月考）已知0＜α＜β＜π，且sin（α+β）+cos（α+β）＝0，sinαsinβ＝6cosαcosβ，则tan（α﹣β）＝（　　） A．﹣1 B． C． D． 【解答】解：由题意得sin（α+β）＝﹣cos（α+β），则tan（α+β）＝﹣1， 又因为sinαsinβ＝6cosαcosβ，所以tanαtanβ＝6，tanα，tanβ同号， 又因为， 则tanα+tanβ＝5，tanα，tanβ同正， 所以，则tanα＜tanβ， 所以， 所以，故D正确． 故选：D． 6．（2024春•江宁区校级期末）已知sin（α+β）＝m，，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C．3m D．﹣3m 【解答】解：因为sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝m①， 又＝②， ①②联立得，sinαcosβ＝，sinβcosα＝， 则sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝． 故选：A． 7．（2024春•南京期末）若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），则tan（α+β）的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），则sin[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αsin（α﹣β）， 所以sin2αcos（α﹣β）﹣sin（α﹣β）cos2α＝cos2αsin（α﹣β）， 所以sin2αcos（α﹣β）＝2cos2αsin（α﹣β），即tan2α＝2tan（α﹣β）， tan（α+β）＝tan[2α﹣（α﹣β）]＝＝， 若使得tan（α+β）取得最大值，结合选项可知，tan（α﹣β）＞0， 则tan（α+β）＝＝，当且仅当＝2tan（α﹣β），即tan（α﹣β）＝时取等号． 故选：D． 8．（2024秋•青岛月考）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称， 又，∴β＝﹣α+2kπ， ∴cos（α﹣β）＝cos2α＝2cos2α﹣1＝＝． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•广汉市校级模拟）在△ABC中，下列等式恒成立的是（　　） A．sinA﹣sin（B+C）＝0 B．cosA﹣cos（B+C）＝0 C． D． 【解答】解：在△ABC中，B+C＝π﹣A， 对于A，sinA﹣sin（B+C）＝sinA﹣sin（π﹣A）＝0，A正确； 对于B，cosA﹣cos（B+C）＝cosA﹣cos（π﹣A）＝2cosA，cosA不一定为0，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，不一定为0，D错误． 故选：AC． （多选）10．（2023秋•荔湾区校级期末）下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A，sin15°cos15°＝sin30°＝，即A正确； 选项B，2sin222.5°﹣1＝﹣cos45°＝﹣，即B错误； 选项C，＝tan（71°﹣26°）＝tan45°＝1，即C正确． 选项D，sin26°cos34°+cos26°sin34°＝sin（26°+34°）＝sin60°＝，即D错误． 故选：AC． （多选）11．（2024•南通模拟）设，，且tanα＝sin（α+β），则（　　） A．tanα+tan（α+β）＜0 B．cosα+cos（α+β）＜0 C． D． 【解答】解：因为，，所以， 又因为sin（α+β）＝tanα＞0，所以， 由图可知，α＜π﹣（α+β）， 对于A，因为α＜π﹣（α+β），且，又因为函数在y＝tanx在上单调递增， 所以tanα＜tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β），所以tanα+tan（α+β）＜0，故A正确； 对于B，因为α＜π﹣（α+β），函数在y＝cosx在上单调递减， 所以cosα＞cos[π﹣（α+β）]＝﹣cos（α+β），所以cosα+cos（α+β）＞0，故B错误； 对于C，因为α＜π﹣（α+β）＝π﹣α﹣β，所以2α＜π﹣β，所以，即， 因为，函数在y＝sinx在上单调递增， 所以sin＜sin（）＝﹣sin（α﹣）， 所以，故C错误； 对于D，因为α＜π﹣（α+β）＝π﹣α﹣β，所以2α+β＜π，所以2α+2β＜π+β， 所以，即， 因为． 所以， 又因为，函数在y＝snx在上单调递增， 所以， 所以，故D正确． 故选：AD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•鞍山月考）已知，则＝　　． 【解答】解：已知， 则， 所以， 由于， 所以， 所以． 故答案为：． 13．（2024•湖南开学）（1+5cosθ）2+（﹣1+5sinθ）2的取值范围为 　　． 【解答】解：由题意可得： （1+5cosθ）2+（﹣1+5sinθ）2＝27+10（cosθ﹣sinθ）＝， 又， 所以， 所以（1+5cosθ）2+（﹣1+5sinθ）2． 故答案为：． 14．（2024•咸阳模拟）已知角α，β为锐角，且，，则角β＝　45°　． 【解答】解：∵角α，β为锐角，且，， ∴tanα＝2，tanβ＞0， tan（α﹣β）＝＝＝， 解得tanβ＝1， ∵角β是锐角，∴角β＝45°． 故答案为：45°． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•汉中开学）已知角α∈（0，π），且． （Ⅰ）求sin（π+α）的值； （Ⅱ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵α∈（0，π），且， ∴sinα＝＝， ∴sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣； （Ⅱ）＝cosαcos+sinαsin＝（﹣+）＝﹣． 16．（2024•嘉定区校级学业考试）已知． （1）求tanα的值； （2）若α，，且，求角α+β的值． 【解答】解：（1）因为， 解得． （2）因为且， 所以，， 所以， 又α+β∈（﹣π，0）， 所以． 17．（2024•海淀区校级开学）已知函数，且． （1）求a的值和f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间． 【解答】解：（1）因为，所以， 即，解得a＝4， 所以 ＝， 所以f（x）的最小正周期为． （2）由，解得， 所以f（x）的单调递增区间为， 所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间为． 18．（2024•安徽开学）已知． （Ⅰ）求sinx+cosx的值； （Ⅱ）已知，求x+y的值． 【解答】解：（Ⅰ）已知． 则， 则sinx＞0，cosx＜0， 又sin2x+cos2x＝1， 则，， 则sinx+cosx＝＝； （Ⅱ）已知， 则， 则sin（x+y）＝sinxcosy+cosxsiny＝＝， 又sinx＞0，cosy＜0， 则，， 则， 则． 19．（2024春•通州区校级期末）已知向量，，． （1）求cos（α﹣β）的值； （2）若，，求sinα的值． 【解答】解：（1）已知向量，，． 则， 即， 即cos（α﹣β）＝； （2）已知， 则， 又cos（α﹣β）＝＞0， 则sin（α﹣β）＝， 又， 则， 则sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ＝＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$