22.2二次函数与一元二次方程预习讲义-2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程预习讲义-数学九年级上册人教版 【高频考点】+【典型例题】+【跟踪训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：高频考点 第二部分：典型例题 第三部分：跟踪训练 【第一部分】 ( 高频考点 ) 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【第二部分】 ( 典型例题 ) 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）将此抛物线上P、C两点之间的部分（包括P、C两点）记为图象G．图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值． 【解答】解：（1）将点B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， ∴此抛物线对应的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 分两种情况：①当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为﹣3+6＝3， ∴m2+2m﹣3＝3， 解得：或（舍去）； ②当P点在对称轴的左侧时，P点的纵坐标为﹣4+6＝2， ∴m2+2m﹣3＝2， 解得：（舍去）或． ∴m的值为或． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以B，C，D，E为顶点且以BC为边的四边形是矩形，求满足条件的点E的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， ∴y′的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C． ∴C（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°， 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴，如图①所示： ∵D在y′的对称轴为直线x＝2， ∴FD＝2， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到E（5，﹣2）； 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图②所示： 设y′的对称轴为直线x＝2与x轴交于F， ∵D在y′的对称轴为直线x＝2， ∴FO＝2， ∴BF＝3﹣2＝1， ∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°， ∴BF＝FD＝3﹣2＝1，即点D（2，1）， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）； 综上分析可知，点E的坐标为：（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）． 【第三部分】 ( 跟踪训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣12，n），则n的值为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 2．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，且均在（1，0）左侧，当x＝0时，y＝a；当x＝2时，y＝d，则ad的值可能为（　　） A． B．1 C． D．2 3．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，下列说法正确的是（　　） A． B．点B的坐标为（4，0） C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为（1，4） 4．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1 5．关于二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣5，下列说法正确的是（　　） A．函数图象与x轴有两个交点 B．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 C．函数值的最大值为﹣5 D．图象顶点坐标为（2，﹣1） 6．在二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④图象经过点（﹣1，3）；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 7．已知关于x的方程ax2＝|x|﹣1有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，设x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论不正确的是（　　） A．x1+x2+x3+x4＝0 B．x2＜﹣1 C．x1•x2•x3•x4＞17 D．若﹣1＜m＜x3，则am2＞|m|﹣1 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间（不含端点）则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②|ax2+bx+c|﹣1＝m 有两个实数根；③当△ABM的面积为时，；④当△ABM 为直角三角形时，在△AOB 内存在唯一一点P，使得 PA+PO+PB 的值最小，最小值的平方为 ，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共5小题） 9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　． 10．二次函数y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的解为 　 　． 11．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值为 　 　． 13．如图，抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0），点A在点B左侧，交y轴于点C（0，c），抛物线的顶点为D．给出下面四个结论： ①y≥c﹣2； ②当y＜0时，a＜x＜b； ③抛物线上有点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞4，则y1＞y2； ④当时，对于抛物线上两点M（m，n1），N（m+2，n2），若n1＜0，则n2＞0． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 三．解答题（共5小题） 14．已知抛物线y＝2x2﹣3x+m（m为常数）与x轴交于A，B两点，且线段AB的长为． （1）求m的值； （2）若该抛物线的顶点为P，求△ABP的面积． 15．已知关于x的二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）． （1）当k＝1，求二次函数的对称轴和顶点坐标． （2）是否存在一个k值，使得二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 16．已知抛物线y＝ax（x﹣1）+3（a≠0）． （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母a的式子表示）； （2）若该抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（点B在点A的右侧），且x2﹣x1＝2，求a的值； （3）当a＜0时，该抛物线上的任意两点P（x3，y3），Q（x4，y4），若满足x3＝﹣1，y3＞y4，求x4的取值范围． 17．已知：如图，抛物线W1的表达式为，图象与y轴交于点C，将抛物线W1沿y轴正方向平移后得到抛物线W2，抛物线W2交y轴于点E，交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），点E的坐标为（0，2）． （1）直接写出抛物线W2的表达式及点A，B的坐标． （2）点P为抛物线W1上一动点，横坐标为m（m＜4），过点P作PQ∥y轴交W2于点Q，连接BP，BQ，△PBQ的面积为S，用含m的式子表示△PBQ的面积S，并求出当S＝20时，点P的坐标． 18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），且顶点坐标为D（2，4）． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线上有一点E（4，m），将线段AE沿着y轴向上平移，使平移后的线段A′E′与该抛物线恒有公共点，设点A′的纵坐标为n，求n的取值范围； （3）当q+1≤x≤q+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求q的值． 22.2二次函数与一元二次方程预习讲义-数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣12，n），则n的值为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 【解答】解：由题意b2﹣4c＝0， ∴b2＝4c， 又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣12，n）， ∴A、B关于直线x＝﹣对称， ∴A（﹣+6，n），B（﹣﹣6，n）， 把点A坐标代入y＝x2+bx+c， n＝（﹣+6）2+b（﹣+6）+c＝﹣b2+36+c， ∵b2＝4c， ∴n＝36． 故选：B． 2．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，且均在（1，0）左侧，当x＝0时，y＝a；当x＝2时，y＝d，则ad的值可能为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：由题意，设A（x1，0），B（x2，0）， ∴x2+bx+c＝（x﹣x1）（x﹣x2）． 令x＝0得a＝x1x2， 令x＝2得d＝（2﹣x1）（2﹣x2）， ∴ad＝x1x2（2﹣x1）（2﹣x2）＝[1﹣（1﹣x1）2][1﹣（x2﹣1）2]， ∵0＜x1＜x2＜1， ∴0＜1﹣（1﹣x1）2＜1，0＜1﹣（x2﹣1）2＜1， ∴0＜ad＜1， 故选：A． 3．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，下列说法正确的是（　　） A． B．点B的坐标为（4，0） C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为（1，4） 【解答】解：把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3得﹣1﹣b+3＝0， 解得b＝2，所以A选项不符合题意； ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B点坐标为（3，0），所以B选项不符合题意； ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，4），所以D选项符合题意； ∴当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，所以C选项不符合题意． 故选：D． 4．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1， ∴x1+x2＝﹣＝﹣4． ∴对称轴为直线x＝﹣＝×（﹣）＝×（﹣4）＝﹣2． 故选：A． 5．关于二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣5，下列说法正确的是（　　） A．函数图象与x轴有两个交点 B．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 C．函数值的最大值为﹣5 D．图象顶点坐标为（2，﹣1） 【解答】解：A、由于Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）×（﹣5）＝﹣4＜0，所以该函数图象与x轴没有交点，故本选项不符合题意； B、由y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x+2）2﹣1知，该抛物线对称轴是直线x＝﹣2，且开口向下，则当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故本选项符合题意； C、由y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x+2）2﹣1知，函数值的最大值为﹣1，故本选项不符合题意； D、由y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x+2）2﹣1知，图象顶点坐标为（﹣2，﹣1），故本选项不符合题意； 故选：B． 6．在二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④图象经过点（﹣1，3）；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝0，x＝3时，y＝3， ∴， 解得：， ∴y＝x2﹣2x， ∵c＝0， ∴图象经过原点，故①正确； ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，故②错误； ∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴x＞1时，y随x的增大而增大，故③正确； 把x＝﹣1代入得，y＝3， ∴图象经过点（﹣1，3），故④正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）， ∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确； 故选：D． 7．已知关于x的方程ax2＝|x|﹣1有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，设x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论不正确的是（　　） A．x1+x2+x3+x4＝0 B．x2＜﹣1 C．x1•x2•x3•x4＞17 D．若﹣1＜m＜x3，则am2＞|m|﹣1 【解答】解：由题意，∵关于x的方程ax2＝|x|﹣1有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4， ∴y＝ax2与y＝的交点有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4． 如图所示，画出y＝ax2与y＝的图象，易得a＞0． ∵y＝ax2与y＝的图象都关于y轴对称， ∴x2＝﹣x3，x1＝﹣x4． ∴x1+x2+x3+x4＝0，故A正确，不合题意． ∵y＝与x轴交点为（1，0），（﹣1，0）， ∴x2＜﹣1，故B正确，不合题意． 当x＞0时，y＝ax2与y＝﹣x﹣1的交点横坐标为x3，x4， 即方程ax2﹣x+1＝0有两个大于0的解， ∴x＝＞0． ∴． ∴0＜a＜． 即x3x4＝，x1•x2•x3•x4＝＜16，故C错误，符合题意． 由图象，当﹣1＜m＜x3，显然am2＞|m|﹣1，故D正确，不合题意． 故选：C． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间（不含端点）则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②|ax2+bx+c|﹣1＝m 有两个实数根；③当△ABM的面积为时，；④当△ABM 为直角三角形时，在△AOB 内存在唯一一点P，使得 PA+PO+PB 的值最小，最小值的平方为 ，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上， ∴当﹣3≤x≤1时，y≤0， 故①正确； ②方程|ax2+bx+c|﹣1＝m 可变形为方程|ax2+bx+c|＝m+1， 因此|ax2+bx+c|﹣1＝m 有两个实数根相当于函数y＝|ax2+bx+c|的图象与函数y＝m+1的图象有两个交点， 画出函数图象如下： 故②正确； ③将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c， 得， 解得：， ∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a）， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 则H（﹣1，0）， ∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1， ∵B（0，﹣3a）， ∴OB＝3a， ∴S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB＝•AH•MH+•（MH+OB）•OH﹣OA•OB＝×2×4a+×（4a+3a）×1﹣×3×3a＝3a， ∵S△ABM＝， ∴3a＝ ∴a＝， 故③正确； ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM， 则四边形ACDO是矩形， ∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°， ∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a）， ∴AC＝OD＝4a，OA＝CD＝3，OB＝3a，BD＝a，DM＝1，CM＝2， ∵△ABM为直角三角形，有三种情况：∠BAM＝90°或∠AMB＝90°或∠ABM＝90°， 显然∠BAM＜90°， ∴只能∠AMB＝90°或∠ABM＝90°， 若∠AMB＝90°，则∠AMC+∠BMD＝90°， ∵AC∥OD，OA∥DC， ∴四边形ACDO是平行四边形， ∵∠AOD＝90°， ∴四边形ACDO是矩形， ∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°， ∴∠AMC+∠MAC＝90°， ∴△AMC∽△MBD， ∴＝，即， ∴a2＝， ∵a＞0， ∴a＝； 若∠ABM＝90°，则∠ABO+∠MBD＝90°， ∵∠AOB＝∠BDM＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠MBD＝∠BAO， ∴△ABO∽△BMD， ∴，即， ∴a2＝1， ∵a＞0， ∴a＝1； ∵点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点）， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2， 解得＜a＜1， ∴a＝， ∴OB＝，AB2＝， 如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q， ∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°， ∴△PBP′和△ABA′是等边三角形， ∴BP＝PP′，AA′2＝A′B2＝AB2＝， ∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′≥OA′， ∴当点O、P、P′、A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′， 此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°， 设A′（m，n）， 则A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n﹣， 在Rt△AA′T中， 由勾股定理，得AT2+A′T2＝AA′2， 在Rt△BA′Q中， 由勾股定理，得BQ2+A′Q2＝A′B2， 即， 解得， ∴OA′2＝m2+n2＝（）2+（）2＝≠， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　m≤　． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0， 解得m≤， 即m的取值范围为m≤． 故答案为：m≤． 10．二次函数y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的解为 　x1＝﹣1，x2＝3　． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+m的对称轴是， （﹣1，0）关于x＝1的对称点为（3，0）， ∴一元二次方程x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3， 故答案为x1＝﹣1，x2＝3． 11．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 　﹣6＜m＜﹣2　． 【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3）， 即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）， 当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2； 当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6， 所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2． 故答案为：﹣6＜m＜﹣2． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值为 　2+2　． 【解答】解：在y＝x2﹣4x+3中， 令x＝0，则y＝3， ∵A（0，3）， 令x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3， ∴B（1，0）， ∴AB＝＝， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝+2+BC+AD， ∴BC+AD最小时，四边形ABCD周长最小， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 作点A（0，3）关于函数对称轴直线x＝2的对称点A'（4，3），则AD＝A′D， 将B（1，0）上移2个单位长度得B′（1，2），则四边形BB'DC是平行四边形， ∴B′D＝BC， ∴BC+AD＝B′D+DA′， 当A′、D、B′三点共线时，BC+AD＝B′D+DA′最小，周长也最小， 此时A'（4，3），B'（1，2）， ∴B′D+DA′最小为A'B'＝＝，即B′D+DA′最小为， ∴四边形ABCD周长的最小值为是2+2． 故答案为：2+2． 13．如图，抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0），点A在点B左侧，交y轴于点C（0，c），抛物线的顶点为D．给出下面四个结论： ①y≥c﹣2； ②当y＜0时，a＜x＜b； ③抛物线上有点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞4，则y1＞y2； ④当时，对于抛物线上两点M（m，n1），N（m+2，n2），若n1＜0，则n2＞0． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　①②④　． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2x+c＝（x﹣2）2+c﹣2， 又a＝＞0， ∴当x＝2时，y取最小值为c﹣2． ∴y≥c﹣2，故①正确． ∵抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0）， 又抛物线开口向上， ∴结合图象，当y＜0时，a＜x＜b，故②正确． ∵抛物线为y＝x2﹣2x+c＝（x﹣2）2+c﹣2， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2． 又∵x1＜x2，且x1+x2＞4， ∴P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到对称轴的距离． ∴y1＜y2， 故③错误． 当c＝时，y＝x2﹣2x+c＝x2﹣2x+， 令y＝0，则x2﹣2x+＝0， ∴x1＝1，x2＝3． ∴A（1，0），B（3，0）． 若n1＜0，则1＜m＜3， ∴3＜m+2＜5． ∴n2＞0． 故④正确． 综上，正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 三．解答题（共5小题） 14．已知抛物线y＝2x2﹣3x+m（m为常数）与x轴交于A，B两点，且线段AB的长为． （1）求m的值； （2）若该抛物线的顶点为P，求△ABP的面积． 【解答】解：（1）设抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2， ∴关于x的方程2x2﹣3x+m＝0， ∴△＝（﹣3）2﹣8m＝9﹣8m＞0， 解得m＜， ∵x1+x2＝，x1•x2＝， ∴AB＝|x1﹣x2|＝＝， 又∵AB＝， ∴＝， ∴m＝1； （2）∵m＝1， ∴y＝2x2﹣3x+1， ∴＝＝﹣， ∵AB＝， ∴S△ABP＝×＝． 15．已知关于x的二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）． （1）当k＝1，求二次函数的对称轴和顶点坐标． （2）是否存在一个k值，使得二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，当k＝1时，y＝3x2﹣4x+1， ∴y＝3x2﹣4x+1＝3（x﹣）2﹣． ∴二次函数的对称轴是直线x＝，顶点坐标为（，﹣）． （2）由题意，∵y＝3x2﹣（3+k）x+k＝（3x﹣k）（x﹣1）， ∴当y＝0时，可得0＝（3x﹣k）（x﹣1）． ∴x＝或x＝1． 又二次函数与x轴的交点横坐标都为整数， ∴也为整数． ∴k＝3（答案不唯一，3的正整数倍）． 16．已知抛物线y＝ax（x﹣1）+3（a≠0）． （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母a的式子表示）； （2）若该抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（点B在点A的右侧），且x2﹣x1＝2，求a的值； （3）当a＜0时，该抛物线上的任意两点P（x3，y3），Q（x4，y4），若满足x3＝﹣1，y3＞y4，求x4的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝ax（x﹣1）+3＝ax2﹣ax+3＝a（x﹣）2﹣a+3， ∴该抛物线的对称轴为x＝，顶点坐标为（，﹣）； （2）令y＝ax2﹣ax+3＝0，则方程ax2﹣ax+3＝0有两个实数根， ∴Δ＝a2﹣12a＞0，则a＞12或a＜0， 当a＞12时， ∴，， ∵x2﹣x1＝2， ∴﹣＝2，解得a＝﹣4（舍去），a＝0（舍去）， 当a＜0时， ∴，， ∵x2﹣x1＝2， ∴﹣＝2，解得a＝﹣4． （3）∵y＝a（x﹣）2﹣a+3，a＜0， ∴该抛物线的对称轴为x＝，开口向下， ∴当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小， 当x4＜时，由y3＞y4，得x4＜﹣1， 当x4＞时，由抛物线的对称性可得x＝2和x3＝﹣1的函数值相同，又y3＞y4，则x4＞2， 综上，x4的取值范围为x4＜﹣1或x4＞2． 17．已知：如图，抛物线W1的表达式为，图象与y轴交于点C，将抛物线W1沿y轴正方向平移后得到抛物线W2，抛物线W2交y轴于点E，交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），点E的坐标为（0，2）． （1）直接写出抛物线W2的表达式及点A，B的坐标． （2）点P为抛物线W1上一动点，横坐标为m（m＜4），过点P作PQ∥y轴交W2于点Q，连接BP，BQ，△PBQ的面积为S，用含m的式子表示△PBQ的面积S，并求出当S＝20时，点P的坐标． 【解答】解：（1）∵将抛物线W1沿y轴正方向平移后得到抛物线W2， ∴抛物线W2的形状，开口方向，对称轴均没有变化． ∵抛物线W2过点E（0，2）． ∴抛物线W2的表达式为：y＝﹣x2+x+2． ∴﹣x2+x+2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4． ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）； （2）设QP交x轴于点D． 由题意得：PQ＝EC＝2﹣（﹣3）＝5． S＝PQ•BD ＝×5×（4﹣m） ＝10﹣m． 当S＝20时， 10﹣m＝20． 解得：m＝﹣4． 当m＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+×（﹣4）﹣3＝﹣17． ∴点P的坐标为（﹣4，﹣17）． 18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），且顶点坐标为D（2，4）． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线上有一点E（4，m），将线段AE沿着y轴向上平移，使平移后的线段A′E′与该抛物线恒有公共点，设点A′的纵坐标为n，求n的取值范围； （3）当q+1≤x≤q+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求q的值． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+4， 把C（0，3）代入，得4a+4＝3， 解得，a＝﹣， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣， 即y＝﹣+x+3； （2）把E（4，m）代入y＝﹣+x+3，得m＝3， ∴E（4，3）， 令0＝﹣+x+3， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∴A（﹣2，0）， ∴直线AE为y＝， ∵点A′的纵坐标为n， ∴使平移后的直线解析式为y＝， 令，整理得x2﹣2x﹣8+4n＝0， ∵平移后的线段A′E′与该抛物线恒有公共点， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣8+4n）≥0， 解得n， ∴n的取值范围是0＜n≤； （3）∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为D（2，4）， ∴对称轴是直线x＝2， ①当q+3≤2，即q≤﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝q+3取最大值，x＝q+1时取最小值， ∴﹣（q+3﹣2）2+4﹣[﹣（q+1﹣2）2+4]＝2， 解得q＝﹣2， ②当q+1≥2，即q≥1时，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝q+1取最大值，x＝q+3时取最小值， ∴﹣（q+1﹣2）2+4﹣[﹣（q+3﹣2）2+4]＝2， 解得q＝2， ③当q+1＜2＜q+2，即0＜q＜1时，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2取最大值，x＝q+3时取最小值， ∴4﹣[﹣（q+3﹣2）2+4]＝2， 解得q＝﹣1±2（舍去）， ④当q+2＜2＜q+3，即﹣1＜q＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2取最大值，x＝q+1时取最小值， ∴4﹣[﹣（q+1﹣2）2+4]＝2， 解得q＝1±2（舍去）． 综上所述，q的值是﹣2或2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$