精品解析：吉林省吉林市吉林松花江中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

名校调研系列卷·九年级第一次月考试卷 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、是一元一次方程，故选项错误，不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故选项正确，符合题意； C、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； D、是二元一次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 2. 将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标， 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程求解参数即可． 【详解】将代入原方程得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，理解“方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值”是解题关键． 5. 如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由栅栏的总长度可得出米，根据矩形仓库的面积为375平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵米， ∴米． 依题意得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 若二次函数，则此二次函数图象的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数对称轴．根据二次函数的顶点式写出对称轴即可． 【详解】解：二次函数，图象的对称轴是直线， 故答案为：直线． 8. 一元二次方程的较大的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 ∴ ∴， ∴一元二次方程的较大的根为， 故答案为：． 9. 一元二次方程的根的判别式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，此题得解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式并根据其符号确定一元二次方程的根的情况是解题的关键． 10. 当______时是二次函数 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数定义求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 11. 已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是________ 【答案】x＞1 【解析】 【详解】二次函数y=（x﹣1）2+4图象开口向上，对称轴x=1，因为y随x的增大而增大，所以x的取值范围是x＞1. 12. 将抛物线向左平移4个单位长度后，所得的抛物线对应的函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据平移的原则：上加下减左加右减，即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移4个单位长度后，那么所得新抛物线的表达式是，即． 故答案为：． 13. 规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，解题的关键是利用新定义得到方程．求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴的交点为，顶点为，点为该抛物线上一点，且在对称轴右侧第一象限内（点不与点重合），连接、、、，若的周长为，则四边形的周长为______（用含的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】由抛物线的对称性得到：，，则四边形的周长为等于的周长加上的长，由此得出答案即可． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线， ， 由抛物线的对称性知， ∴四边形的周长为 的周长为， 即， ∴四边形的周长为， 即四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点坐标，此题利用了抛物线的对称性，解题的关键在于把求四边形的周长转化为的周长加的长． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 16. 用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0． 【答案】,. 【解析】 【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 因此， ，方程有两个不相等的实数根 故． 【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，根据方程求出公式中的值是解题关键． 17. 小明在用配方法解方程x2﹣x﹣＝0时出现了错误，解答过程如下：x2﹣x＝（第一步）；x2﹣x+＝+（第二步）；（x﹣）2＝1（第三步）；∴x1＝﹣，x2＝（第四步）． （1）小明的解答过程是从第　 　步开始出错的； （2）用配方法写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）二； （2）∵x2-x-=0， ∴x2-x=， ∴x2-x+=+，即（x-）2=， 则x-=±， ∴x1=，x2=． 【解析】 【分析】（1）第二步方程的左边加上，而右边加上，这不符合等式的基本性质，据此可得答案； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可． 【详解】解：（1）小明的解答过程是从第二步开始出错的， 故答案为：二； （2）略 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）写出此函数的开口方向、顶点坐标 【答案】（1） （2）二次函数的开口向上，顶点坐标为 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象和性质． （1）把代入求出a的值即可； （2）根据二次函数图象和性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点． ∴ 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴二次函数的开口向上，顶点坐标为 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知二次函数中，函数与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的解析式； （2）当为何值时有最低点？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的性质； （1）由表格可得顶点，且过，据此求解析式即可； （2）根据顶点求解即可． 【小问1详解】 由表格可得顶点，且过， ∴设二次函数的解析式为 当时则 解得 所以二次函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵顶点，开口向上 ∴当时有最低点． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求该方程的根； （2）求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】（1） （2） 证明：由题意，得， 不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式； （1）当时，原方程可化为，利用因式分解求解即可； （2）证明即可． 【小问1详解】 ：当时，原方程可化为 ∴， 解得． 【小问2详解】 略 21. 2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同． （1）求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率； （2）如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额． 【答案】（1）该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10% （2）66.55万元 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）设夜市销售额平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据夜市增长率保持不变，求出9月份销售额，即可求解． 【小问1详解】 解：设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为； 【小问2详解】 解：该夜市9月份的总销售额为（万元）． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）点的坐标为：______； （3）图中阴影部分图形的面积为______． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移、二次函数的图象和性质， （1）根据平移规律得到函数解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）根据平移规律写出坐标即可； （3）根据平移和二次函数的图象可知图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，据此求出面积即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 ∵点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 根据平移规律和二次函数的图象可知， 图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，故阴影部分图形的面积为：. 故答案为： 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某商店以每件1元的进价购进一种商品，如果以每件2元的售价可卖出该商品50件，经调查发现，该商品零售单价降0.1元，每天可多销售10件， （1）若每天多销售30件，该商品零售单价为______元； （2）在不考虑其他因素的条件下，为了让利于顾客，要使商店每天销售这种商品获取的利润为50元，求该商品的定价． 【答案】（1）1.7 （2）1.5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据“该商品零售单价降0.1元，每天可多销售10件”，即可求出每天多销售30件时的零售单价； （2）设该商品的定价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让利于顾客，即可得出该商品的定价． 【小问1详解】 ， 故答案为：1.7． 【小问2详解】 设该商品的定价为元，由题意，得 解得 ∵让利于顾客， ∴． 答：该商品的定价为1.5元． 24. 如图，抛物线与轴的交点为（点在点的左边），且点的坐标为与轴交于点，该抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与面积问题； （1）将点代入计算即可； （2）先求出、坐标，再求面积即可． 【小问1详解】 将点代入 得， ， ． 【小问2详解】 将配方，得 点的坐标为 抛物线的对称轴为 点的坐标为 ． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动；同时动点从点出发，以速度沿向终点匀速运动，连接，设点的运动时间为（），的面积为（）． （1）当时，求的值； （2）求与之间的函数关系式，并写出自变量取值的范围； （3）当的面积是矩形面积的时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，点在上，此时，由此构建含时间方程求解即可． （2）分两种情形：当时，，当时，，分别求解即可． （3）分两种情形分别构建方程求出t的值即可． 【小问1详解】 解：当时，点在上，此时， ，解得． 时，． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 综上所述： 【小问3详解】 当时，解得或（舍去）， 当，解得， 综上所述，或时，的面积是矩形面积的． 【点睛】本题综合考查了四边形，矩形的性质，三角形的面积，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 26. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，试判断的形状，并说明理由； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． 【小问1详解】 解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级第一次月考试卷 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（　　） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 若二次函数，则此二次函数图象的对称轴是______． 8. 一元二次方程的较大的根为______． 9. 一元二次方程的根的判别式的值是_____． 10. 当______时是二次函数 11. 已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是________ 12. 将抛物线向左平移4个单位长度后，所得的抛物线对应的函数解析式是______． 13. 规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴的交点为，顶点为，点为该抛物线上一点，且在对称轴右侧第一象限内（点不与点重合），连接、、、，若的周长为，则四边形的周长为______（用含的代数式表示）． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程： 16. 用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0． 17. 小明在用配方法解方程x2﹣x﹣＝0时出现了错误，解答过程如下：x2﹣x＝（第一步）；x2﹣x+＝+（第二步）；（x﹣）2＝1（第三步）；∴x1＝﹣，x2＝（第四步）． （1）小明的解答过程是从第　 　步开始出错的； （2）用配方法写出此题正确的解答过程． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）写出此函数的开口方向、顶点坐标 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知二次函数中，函数与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的解析式； （2）当为何值时有最低点？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求该方程的根； （2）求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 21. 2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同． （1）求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率； （2）如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）点的坐标为：______； （3）图中阴影部分图形的面积为______． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某商店以每件1元的进价购进一种商品，如果以每件2元的售价可卖出该商品50件，经调查发现，该商品零售单价降0.1元，每天可多销售10件， （1）若每天多销售30件，该商品零售单价为______元； （2）在不考虑其他因素的条件下，为了让利于顾客，要使商店每天销售这种商品获取的利润为50元，求该商品的定价． 24. 如图，抛物线与轴的交点为（点在点的左边），且点的坐标为与轴交于点，该抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接求的面积． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动；同时动点从点出发，以速度沿向终点匀速运动，连接，设点的运动时间为（），的面积为（）． （1）当时，求的值； （2）求与之间的函数关系式，并写出自变量取值的范围； （3）当的面积是矩形面积的时，直接写出的值． 26. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，试判断的形状，并说明理由； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $