第2章 一元二次方程学-【探究在线】2024-2025学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版）

第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是 A.ax2+bx+c=0 B.x2+2=0 C.2.x2+3.x+1=0 D.x2+y十2=0 2.一元二次方程x2十2x=3的二次项是x2,则它的常数项是() A.1 B.2 C.3 D.-3 3.在校园的一块正方形空地上划出部分区域搞 2m 绿化，如图，原空地一边减少1m,另一边减少 2m,剩余空地的面积为20m,求原正方形空 20m2 地的边长.设原正方形空地的边长为xm,则 1m￥业*出 可列方程为 A.(x+1)(x+2)=20 B.x2-3.x+18=0 C.(x-1)(x-2)=20 D.x2+3.x+18=0 4.两个连续偶数的平方和是100，求这两个数.若设较小的偶数为x, 则可列方程为 5.关于x的一元二次方程2(.x一1)2十b(x一1)十c=0化为一般形 式后为2.x2-3x-1=0,试求b,c的值 —9 第2课时一元二次方程的解及其估算 1.(中考·广东)若x=1是方程x2一2x十a=0的根，则a= 2.已知m是一元二次方程x2+x一1=0的一个实数根，则代数式 2m2+2m的值等于 A.-1 B.0 C.1 D.2 3.观察下列表格，一元二次方程x2一x=1.1的一个近似解是() 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x-x 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A.0.11 B.1.19 C.1.73 D.1.67 4.要剪一块面积为150cm的长方形铁片，使它的长比宽多5cm, 这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm,则宽为(x一5)cm, 列方程为x(x-5)=150,即x2-5.x-150=0. 请根据所列方程回答以下问题： (1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由； (2)完成下表： 10 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150 (3)你知道铁片的长是多少吗？ 10 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解简单的一元二次方程 1.一元二次方程x一4=0的解是 () A.x=-2 B.x=2 C.x=0 D.x=±2 2.把方程x2十2x一3=0配方后，可变形为 A.(x十2)2=3 B.(.x+1)2=4 C.(.x+1)2=2 D.(x+1)2=-2 3.若一元二次方程x2十px十q=0配方后的结果为(x一2)=1，则 A.p=4,g=3 B.p=0,q=-5 C.p=-4,9=3 D.p=-4,q=4 4.解下列方程： (1)(x-5)2-1=0: (2)5x2+8=3: (3)x2+6x+4=0: (4)x2-2x=2. 11 第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程2x2一7x十6=0，下面配方正确的是 A(--器 B(x-)=6 c(x-3)-阳 D.(x+)=8 2.将2.x2一3.x一1配方成2(x十m)2十n的形式，则m= 3.解方程：4x2一16x一3=0（用配方法） 4.已知代数式4m2一4(+1)+9.试说明：不论m取任何实数，代 数式的值总是正数. 12 3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法解一元二次方程 1.(中考·牡丹江)下列方程没有实数根的是 () A.x2+4.x=10 B.3.x2+8x-3=0 C.x2-2.x+3=0 D.(x-2)(x-3)=12 2.若关于x的一元二次方程x2十x十k=0有两个相等的实数根，则 k的值为 3.关于x的一元二次方程x2一x十m=0有两个不相等的实数根， 写出一个满足条件的实数m的值： .(写出一 个即可) 4.若关于x的一元二次方程k.x2+2x+1=0有实数根，则k的取值 范围是 5.解下列方程： (1)2.x2-3x-1=0: (2)x2-x-7=0. 13 第2课时公式法的应用 1.从一块正方形木板上锯掉3m宽的长方形木条后，剩下的木板的 面积是54m,则原来这块木板的面积是 () A.9 m2 B.64m C.81m D.121m 2.如图，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边 利用教学楼的后墙（可利用的墙长为18m),另外三边利用学校 现有的总长36m的铁栏围成.已知车棚在平行于后墙的一边留 出2m宽的缺口作门，且铁栏无剩余. (1)若围成的面积为180m2,试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为200m的自行车车棚吗？如果能，请你给出设 计方案；如果不能，请说明理由. -18m 14 4用因式分解法求解一元二次方程 1.一元二次方程x2=9.x的根是 () A.x=9 B.x=3 C.x=0 D.x1=0,x2=9 2.已知某一元二次方程的两根分别为x1=一3，x2=一4，则这个方 程可能为 () A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0 C.(.x+3)(.x+4)=0 D.(x-3)(x一4)=0 3.(中考·梧州)一元二次方程(x一2)(x十7)=0的根是 4.一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x(x一5)一2 (x一5)=0的根，则这个三角形的周长为 5.用适当的方法解下列方程. (1)x(x-1)十2(x-1)=0: (2)x2-5x十5=0： (3)x2-2x-4=0: (4)x2-2x-15=0. 15 *5一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程x2一5x一1=0的两个实数根分别为x1和x2,则 x1十x2= () A.5 B.-5 C.1 D.-1 2.关于x的一元二次方程x2一4x十k=0的一个根是1，则另一个 根是 () A.3 B.-2 C.-3 D.-4 3.(中考·黄冈)若一元二次方程x2一4x十3=0的两个根是1,2， 则·x2的值是 4.已知一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是了，1， 写出这个方程： 5.(中考·南充)已知关于x的一元二次方程x2十3.x十k一2=0有 实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2十1)=一1， 求k的值. 16 6应用一元二次方程 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 1.一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为x,则可列 方程 ) A.x(x+5)=12 B.x(x-5)=12 C.0.5.x(x+5)=12 D.0.5x(x-5)=12 2.如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一 墙 个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边 靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅 栏AB的长为x米，依题意可列方程为 3.如图，在一块长为60米、宽为40米的长方形空 地内修建一间正方形凉亭和两条宽度相等的小 凉亨 路，且小路的宽度是正方形凉亭边长的，其余 部分种植草坪，若草坪面积为2328平方米，设小路宽为x米，依 题意可列方程为 4.(中考·泰州)如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修 筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m,道 路的宽应为多少？ 50m 38m 17 第2课时利用一元二次方程解决营销问题 1.(中考·哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降 价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x,根 据题意，所列方程正确的是 () A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96 C.150(1-x)2=96 D.150(1-2x)=96 2.春节期间，阜阳市商务局组织举办了“皖美消费，乐享阜阳 2022年跨年迎新购物季”系列促销活动，某超市对一款原价位 α元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次 降价x%,此时售价共降低了b元，则 () A.b=a(1-2x%) B.b=a-a(1-x%)2 C.b=a(1-x%)2 D.b=a-a(1-2x%) 3.(中考·上海)某公司5月份的营业额为25万元，7月份的营业 额为36万元，已知5,6月的增长率相同，则增长率为 4.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价 为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件50元销售，那么 可卖出200件.通过市场调查发现，售价每增加1元，销售量减少 10件.如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元，则 该商品每件售价多少元？ 18参考答案 的四个角都是直角 4.(1)·四边形ABCD为平行四边形, 'AD/BC,. DAC= ACB=90{。 第一章 1 第1课时 .DE BC,. DEC=90又ACE 1.C 2.C 3.A 4.5 =180$-90=90*,.'ACE-DAC= 5.·四边形ABCD是菱形...AD=CD DEC-90*...四边形ACED是矩形 .: D= D,DF=DE,..△ADF$$ △CDE(SAs)..1=2. (2)·四边形ABCD是平行四边形, '.AD=BC.AB=DC,由(1)知,四边形 1效 第2课时 ACED是矩形..'AD=CE,AE=DC. 1.D 2.AB-AD(答案不唯一)3.菱 .$CE=B$C.AE=AB$.'AB-2BC,..AE 4.(1)① 一AB-BE,.'△ABE是等边三角形 (2)证明;·四边形ABCD是平行四边形, 3 第1课时 .A=C.1=2,AE=CF$ 1.C 2.C 3.8 4.2cm ..△ADE△CDF(AAS)...AD=CD. ./ABCD为菱形.(答案不唯一,选择③ 5..四边形ABCD是正方形,..BC=CD. B$CD=90{$:BCE+ DCF=90*$$$$ 证明略) ·CE I BG,DF ICE,'. BEC= 1② 第3课时 CFD=90*,' BCE+CBE=90*.$$$ 1.24 2.60 3.4 ..CBE=DCF...△BCE△CDF 4.(1)证明:.四边形ABCD是平行四边 (AAS)...BE=CF,CE=DF,..CE 形,AB=AD,..四边形ABCD是菱形, CF+EF=BE+EF,.'.DF=BE+EF. .AC1BD. 3 第2课时 (2):E,F分别为AD,AO的中点 1.D 2.A 3. ABC-90*或AC-BD 'EF是△AOD的中位线: 4..CE//BD,DE//AC...四边形OCED $EF=oD.'EF=.OD=3. 3 是平行四边形.·四边形ABCD是正方 形,.ACIBD,OD=OC... COD ·.四边形ABCD是菱形..'.BD-2OD-6. .AC BD,在Rt△AOD中,AO=2,OD 90{*}...四边形OCED是正方形. 第二章 1 第1课时 -3.*AD-A0+OD=2+3= 1.C 2.D 3.C 4.r*+(x+2)-100 /13,..菱形ABCD的周长为4/13. 5.b-1.c=-2. 2 第1课时 第2课时 1.1 2.D 3.D 4.(1):不可能小于5. 5.(1)证明:由折叠知,DA=BC=EC. 理由;若x<5,则x-5<0,不合题意. $$D- B= E=90{}又 {DFA-$$$$ r不可能等于10. EFC...△DAF△ECF(AAS) 理由:若x=10,则-5x-150= (2)由(1)知,△DAF△ECF,./DAF ×(90}一 一100,不合题意: (2)-100 = ECF-40”,.CAB= # -84 -66 -46 -24 0 26 54 40*)-25°。 2 (3)铁片的长是15cm. 第2课时 2 第1课时 1.D 2.C 3.C 1.D 2.B 3.C 4..四边形ABCD为平行四边形, 4.(1)r=6,x=4. (2)方程无实数解: 'AD//BC..AEB= EBC. ·BE平分ABC,乙AEB=45{, (3)x=-3+.x:--3-5. .ABE-EBC-45*, (4)r-1+3,x。-1-3. 2 '. ABC-90{}。.'四边形ABCD是矩形 第2课时 2 第3课时 1.A 2.20 3.对角线相等的平行四边形是矩形,矩形 4.·4n-4(n+1)+9=4n-4m-4+9 44 -4m-4m+5-(2m-1)+4>4+ 6 第3课时 '.不论n取任何实数,代数式4m-4(m 1.A 2.D 3.24 4.24 十1)十9的值总是正数。 5.(1)190 2”(n-1) 1 3 第1课时 1.C2.# (2)该班同学的人数为50人。 3.0(答案不唯一) 第三章 1 第1课时 4.k1且0 5.(1)x3+17 7.3-17 4 (2)抽得2张扑克牌的数字不同 1+②9 1-/29 (2)r= ## . 2 第2课时 _ 1.C 第2课时 2.(1)设车棚的宽为xm,则长为(36-2x十 1.不公平 2)m,即(38一2x)m,根据题意,得 2.由题意,画树状图,得 开始 x(38-2x)-180,解得x-10,x-9. 当x=10时,38-2x=18;当x=9时,3$ A益 -2x一20>18,不合题意,舍去 所以若围成的面积为180m{,自行车车 棚的长和宽分别为18m,10m. 由图可知,共有6种等可能的结果,其中 (2)不能围成面积为200m的自行车车 两数之和为偶数的有2种情况,两数之 棚.理由如下: 和为奇数的有4种情况, 设车棚的宽为ym,则长为(38一2y)m 因此甲获胜的概率为 s 根据题意,得y(38-2)-200. 3; 整理,得y-19y+100-0,△--4a$$$ 2 乙获胜的概率为一 -361-400--39<0. 3。 所以此方程没有实数根,所以不能围成 由 面积为200m{的自行车车棚. 3 第二章4 公平。 1 第3课时 1.D 2.C 3.=2,t=-7 4.15 . 5.(1)x.-1,r.=-2. 5+/5 5.5-5 (2)r.一 (3)x-1+5,x.-1-5. 第三章 2 (4)r-5,r.=-3. 1.20 第二章 ,5 2.(1)摸到白球的概率的估计值是0.25. 1.A 2.A 3.3 4.3-4x+1-$$ 理由:大量重复试验下,摸到白球的频率稳 定在0.25附近,0.25即为概率的估计值 4 (2)② (2)的值是3. 第四章 第1课时 6 第1课时 1.D 2.B 3.B 1 1.D 第2课时 3.60×40-(4t)-(60-4x)t-2328 4.道路的宽应为4m. 3.△ABC为等边三角形,理由如下;.a,b 6 第2课时 c是△ABC的三条边,..a十b十c去0. 1.C 2.B 3.20% 4.该商品每件售价为50元或60元 a C 5 45