第1章 特殊平行四边形-【探究在线】2024-2025学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版）

第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1.(中考·河池)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 下列结论中错误的是 () A.AB=AD B.ACI BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC D c B 第1题图 第2题图 第3题图 2.(中考·河南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为 () A.6 B.12 C.24 D.48 3.如图，在菱形ABCD中，∠A=50°，DE⊥AB于点E,则∠BDE 的度数为 () A.25° B.35 C.40° D.50° 4.(中考·通辽)菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,则菱形的 边长为 5.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别为AD,CD边上的点，DE=DF. 求证：∠1=∠2. 第2课时菱形的判定 1.(中考·襄阳)如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O, 下列说法正确的是 A.若OB=OD,则□ABCD是菱形 A D B.若AC=BD,则□ABCD是菱形 C.若OA=OD,则□ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,则□ABCD是菱形 2.(中考·营口)如图，将△ABC沿着BC方 向平移得到△DEF,只需添加一个条件即 可证明四边形ABED是菱形，这个条件可 以是 .(写出一个即可) 3.小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操 作的（如图所示）：分别以点A和点B为圆心，大 于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C,D, 则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四 边形ADBC一定是 形. 4.(中考·岳阳)如图，点E,F分别在□ABCD的边AB,BC上，AE =CF,连接DE,DF.请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF; ③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使□ABCD为 菱形. (1)你添加的条件是 (填序号)； (2)添加了条件后，请证明□ABCD为菱形. -2 第3课时菱形的性质与判定的运用 L.(中考·乐山)已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别 是8cm和6cm,则菱形的面积为 cm2. 2.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,且它们的长度分别为10cm和24cm,过点 O的直线分别交AD,BC于点E,F,则阴影部 分面积的和为 cm2. 3.如图，两条笔直的公路11,2相交于点O,村庄 C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B, D C村 D.已知AB=BC=CD=DA=5km,村庄C A B。 到公路l1的距离为4km,则村庄C到公路l2的o 距离是 km. 4.(中考·长沙)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, AB=AD. (1)求证：AC⊥BD: (2)若E,F分别为AD,A0的中点，连接EF,EF=号A0=2,求 BD的长及四边形ABCD的周长. B 3 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.(中考·邵阳)已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为 10cm,则矩形的面积为 cm2. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，CD= 3,AC=2,则BC的长为 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，D为AB的中点.若∠ACD= 20°，则∠B= 4.(中考·吉林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF= }AC,连接ER.若AC=10,则EF 5.(中考·苏州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对 应点为E,AE与CD交于点F. (1)求证：△DAF≌△ECF; (2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数. B 第2课时 矩形的判定 1.如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添 加下列哪个条件 A.BO=DO B.AC⊥BD B C.AB=BC D.AO-DO 2.(中考·聊城)要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量 方案是 A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是否是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 3.要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件.陈师傅对4个零 件进行了检测.根据零件的检测结果，图中不合格的零件是() -4m 4cm- 3 cm cm -4 cm- -4cm- A B D 4.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC,且与AD边交于点E, ∠AEB=45°.求证：四边形ABCD是矩形 第3课时 矩形的性质与判定的运用 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD, ∠OAD=55°，则∠OCD的度数为 ( A.35° B.40° C.45° D.50° D D 第1题图 第2题图 第3题图 2.(中考·黔东南)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, DE∥AC,CE∥BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是 3.如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都 垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度.若 二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中 的数学原理： 4.如图，在□ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的 延长线于点E (1)求证：四边形ACED是矩形： (2)连接AE,若AB=2BC,求证：△ABE是等边三角形. 6 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE,则 ∠EBC的度数是 () A.45° B.30° C.22.5° D.20° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD,AC的交点，EF过点O, 若图中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为 () A.2 B.42 C.8 D.4 3.如图，已知阴影部分是一个正方形，AB=4,∠B=45°，则此正方 形的面积为 4.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 点E,F分别是线段AO,BO的中点，若OA= 2/2cm,则EF的长度为 B 5.(中考·恩施)如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上 任意一点，CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证：DF=BE+EF. G 第2课时正方形的判定 1.如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方 形的是 () A.AC=BD B.AB BC C.AD=BC D.AC⊥BD 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，将长方形纸片折叠，使点A落在BC上的F处，折痕为BE, 若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是() A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 3.如图，□ABCD的对角线互相垂直，要使□ABCD成为正方形， 还需添加的一个条件是 (只需添加 一个即可) 4.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD, DE∥AC.求证：四边形OCED是正方形.参考答案 的四个角都是直角 4.(1):四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,.∠DAC=∠ACB=90° 第一章1第1课时 ,DE⊥BC,.∠DEC=90°.又，∠ACE 1.C2.C3.A4.5 =180°-90°=90°，∴.∠ACE=∠DAC= 5.,四边形ABCD是菱形，∴.AD=CD. ∠DEC=90°，.四边形ACED是矩形. ∠D=∠D,DF=DE,△ADF≌ (2),四边形ABCD是平行四边形 △CDE(SAS)..∠1=∠2. .AD=BC,AB=DC,由(1)知，四边形 1第2课时 ACED是矩形，∴.AD=CE,AE=DC, 1.D2.AB=AD(答案不唯一)3.菱 ..CE=BC.AE=AB..AB=2BC,.'.AE 4.(1)D =AB=BE,△ABE是等边三角形. (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 3第1课时 .∠A=∠C.∠1=∠2，AE=CF, 1.C2.C3.84.2cm .△ADE≌△CDF(AAS),.AD=CD, 5.四边形ABCD是正方形，.BC=CD, .口ABCD为菱形.（答案不唯一，选择③ ∠BCD=90°，∴.∠BCE+∠DCF=90° 证明略) :CE⊥BG,DF⊥CE,.∠BEC= 1第3课时 ∠CFD=90°，∴.∠BCE+∠CBE=90°， 1.242.603.4 ∴.∠CBE=∠DCF..△BCE≌△CDF 4.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边 (AAS),.BE=CF,CE=DF,.CE= 形，AB=AD,.四边形ABCD是菱形， CF+EF=BE+EF...DF=BE+EF. .AC⊥BD. 3第2课时 (2)E,F分别为AD,AO的中点， 1.D2.A3.∠ABC=90°或AC=BD .EF是△AOD的中位线， 4.,CE∥BD,DE∥AC,∴.四边形OCED EF=ODEF=号OD=8. 是平行四边形.，四边形ABCD是正方 四边形ABCD是菱形，.BD=2OD=6. 形，.AC⊥BD,OD=OC,∴.∠COD= .AC⊥BD,在Rt△AOD中，AO=2,OD 90°，.四边形OCED是正方形 第二章1第1课时 =3,∴.AD=√A0+OD=/2+3= 1.C2.D3.C 4.x2十(x+2)2=100 /13,.菱形ABCD的周长为4/I3. 5.b=1.=-2. 2第1课时 1 第2课时 1.482.453704号 1.12.D3.D 4.(1)x不可能小于5. 5.(1)证明：由折叠知，DA=BC=EC, 理由：若x<5,则x一5<0，不合题意 ∠D=∠B=∠E=90°.又∠DFA= x不可能等于10. ∠EFC,.△DAF≌△ECF(AAS). 理由：若x=10,则x2一5x一150= (2)由(1)知，△DAF≌△ECF,.∠DAF 一100.不合题意. =∠BCF=40∠CAB=7×(90 (2)-100 -84 -66-46-24 02654 40°)=25°. (3)铁片的长是15cm. 2 第2课时 2第1课时 1.D2.C3.C 1.D2.B3.C 4.:四边形ABCD为平行四边形， 4.(1)x1=6,x2=4. (2)方程无实数解. ∴.AD∥BC,∴.∠AEB=∠EBC. .BE平分∠ABC,∠AEB=45°， (3)x1=-3十5，x4=-3-5. .∠ABE=∠EBC=45°， (4)x1=1十5，x2=1-5 .∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. 2第2课时 2第3课时 1.A2.20 1.B2-是8=2+ 24=2-1四 2 3.对角线相等的平行四边形是矩形，矩形 4.:4m2-4(m+1)+9=4m2-4m-4十9 44