微专题-【探究在线】2024-2025学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版）

微专题1持殊平行四边形中的图形变换问题 类型①图形的平移问题 CF,若AB=4,BC=6,则CF的长是() 1.(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD中，AD= A.3 B号 c号 D. 5,S-D=15,过点A作AE⊥BC,垂足为E, 沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE的位 3.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B 落在点F处，FC交AD于点E. 置，拼成四边形AEED,则四边形AEED的 (1)求证：△AFE≌△CDE: 形状为 (2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 F E 图① 图2 (2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEED 中，在EE上取一点F,使EF=4,剪下 △AEF,将它平移至△DE'F'的位置，拼成四 边形AFFD ①求证：四边形AFFD是菱形： ②求四边形AFF'D两条对角线的长. 堡型③图形的旋转问题 4.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形 OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA'B'C'的 位置，若OB=23,∠C=120°，则点B的坐标 为 () A.(3,3) B.(3,-3) C.(63) D.(6,-6) 类型②图形的折叠问题 第4题图 第5题图 2.（中考·毕节)矩形纸片 5.如图，正方形OABC的边长为2，将正方形 ABCD中，E为BC的中 OABC绕点O逆时针旋转角a(0°<a<180)得 点，连接AE,将△ABE沿 到正方形OA'B'C',连接BC,当点A'恰好落在 AE折叠得到△AFE,连接 线段BC上时，线段BC的长度是 17探究在线九年级数学（上）·BS 微专题2与正方形有关的四个常言模型 模型① 正方形中相交垂线段问题一教 模型2 正方形中边对角线交点的直角问题 材P21例1的变式与应用 教材P25习题T4的变式与应用 模型归纳++++++++++ +模型归纳++++++++++++ 分别连接正方形的两组对边上任意两 ①△ABC是等腰直角三角形，O为斜边 点，得到的两条线段（如：图①中的线段AF AB的中点.连接OC,则△DOC2△EOB, 与BE,图②中的线段AF与EG,图③中的线 △ADO≌△CEO. 段HF与EG)满足：若垂直，则相等 4 ②在正方形ABCD中，O为对角线的交 图D 图② 图 点，直角∠EOF绕点O旋转.若OE,OF分别 1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边 与DA,AB的延长线交于点G,H,则△AGO BC,CD上，AE,BF交于点O,∠AOF=90. 2△BHO,△OGH是等腰直角三角形. 求证：BE=CF. 2.如图，在等腰Rt△ABC中， ∠C=90°，点O是AB的中 点，且AC=1,将一块直角三 角尺的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角尺的两直角边分别与 AC,BC相交，交点分别为D,E,则两个三角形 重叠部分的面积为 德型③正方形中的三垂直全等模型 3.正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD 上，E是线段AD或AD的延长线上的一点， 且PE⊥PC. (1)如图①，点E在线段AD上，求证：PE= PC: (2)如图②，点E在线段AD的延长线上，请补 第-章18 全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立，请4.如图，正方形ABCD的边长为3，E,F分别是 说明理由， AB,BC边上的点，且∠EDF=45°. (1)求证：EF=AE+CF: (2)当AE=1时，求EF的长. 图① 图② 像@④正方形中的半角模型 模型归纳++中++++中+++ (1)如图①，在正方形ABCD中，若 ∠EAF=45°，则： ①EF=BE+DF:②CAC=2AB:③FA 平分∠DFE,EA平分∠BEF;④MN=BM +DN. 魁① 图② (2)如图②，在正方形ABCD中，若 ∠EAF=45°，则FA平分∠DFE,EF=DF- BE 19探究在线 九年级数学（上）·BS 4 微专题3特殊平行四边形的性质与判定 类型①从平行四边形到特殊平行四边形 类型②特殊平行四边形间的交叉运用 1.问题背景：如图，AD是△ABC的中线，四边形 3.问题解决：如图①，在矩形ABCD中，点E,F ADCE是平行四边形.讨论交流： 分别在AB,BC边上，DE=AF,DE⊥AF于 小明说：“若AB=AC,则四边形ADCE是矩形.” 点G 小强说：“若∠BAC=90°，则四边形ADCE是 (1)求证：四边形ABCD是正方形： 菱形.” (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断 △AHF的形状，并说明理由： 下列说法中正确的是 类比迁移：如图②，在菱形ABCD中，点E,F A.小明不对，小强对 分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G, B.小明对，小强不对 DE=AF,∠AED=60°，AE=6,BF=2,求 C.小明和小强都对 DE的长. D.小明和小强都不对 A 2.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分 ∠ABC,延长BE交AD的延长线于点F,延 B 长ED至点G,使DG=DE,分别连接AE, 图① 图② AG.FG. (1)求证：DE=DF: (2)当E为CD边的中点时，判断四边形 AEFG的形状，并说明理由. 第-章20出==+=X十 直)场*州的中点谢-目道形A1学是郑后 =4.A=5. 箱展在线 在△D中，P5+P=后 厘由：，A=,8是， +食=中'== 14.1e B+-+,解持-子· ,图边形A说下是半程四动围 A.∠ACH=.PELAC,PF⊥C 第2课时正方形的月定 又WEF ∠PE工=∠且Fm∠CF 基码在转 -BtG-是+8+号-m. A)十《0=e+0F,即AC=F 再边题PF是更形 ,君名3,4 拓晨在峻 ÷阴齿形A以事是知感 ()M的长度改空.理由：直接 ,:△1D和△XD唇是尊整直角三角彩.∠A=2C- 第3课时凭形的性盾与利定岭述用 P,由D是，四政形P下是如 1.a图 ABAD.BCCD, 形，足M为EF前中有： 第里莱时短形的判定 基德在铺 品∠LD-∠8D=4,∠ 基遗在线 1心三Am2m5号 ,,”三直在一美直线上 .∠A=∠C-∠1=，边AD是矩 A=A,二库边形AD是王方形 1,∠A一9汽等要不理一) 4,旺明，”△形为等边三有形： 五，国边思A仪D是菱形， 生，E多AE,AED ,∠AO=”04. 时，℃量小，数时代一Cr-接2. 品1=8=0且AC上》 六再边形￥军为平行闲造馬 :因力形A改D是平行料这形， 又廿B=DP,∴湘Ne=D一W 义：日边彩A州？力造彩。 5点P点韩4AB上不与点A,B重自： 80D-p.01-0-寸AC ACBC-4 即E一球 ,ACLD∠AMD- 0EM,M甲=Ew(乐，脚AC-5F 得边形泥是更雨， HAC.CABCD是年用 .代的在用是品6G4 .CW的喜图是LCM2 义（⊥EF同应系ACF是正水历， 3,04A I白片1AD是矩，∠H1D=r :(1)边形A用D是平行边形 4正方形的性需与判定 盆力在性 ADBC,且AD-C 二02AD=气， 第1跟时王为形的生魔 7.C&D ”点C是E的中A,古E .A》=-7=43. 都通在线 3.)叫边形AFDE是菱彩，是由是： “AD=E 情力在赖 LD B 3.C 4D 5B 6.18 女球A山.D球A, 文AD议事，.国边形是平行离边趣 1.D5.从2 1,由正方彩的性期，斜∠M8一∠，C=D,义= ,国边多APD水是半行四连张，∠DM=∠下A ):国边形AD整平程国边形，：A日=D 1L1Di证，：△Ba△CE P,植△△p,周P=, ”AD平分∠AC,∠FAD=∠EAD, YABAF.DCAE =信=属 %使B园 ∠EDA=∠EAD,AE=BE 《平闪虚形A山是早行牌边形 二四连形（是手行山形 能力在线 平什目造形AFDP是数用， 再边形AD是阳形， ?因边用ACD是菱用， 以C机c.1 2:∠4C=+ 6,与7，用形.时 ∴1C上D∠段- 2,)板明：料边毛DF是正方形.边形A印是平 ,羲AFDE量正方耶 量力在线 平十再边形《出位是彩形 行蛋边形， 9.010.c1L. AD-I. ):四诗形AD基表思，A0一，AG=方矿： DE-BE BFFD.AB-CD. AF-DF-DEAE ,短明：：刘边形UD是平行四道® 二acL.-n-.∠pr-是∠A-a A8-ME-CD-FD .ABD.博AH(F, 辉边场AFE的离具为×2-4 “.ARF ∠BAE=∠FDE ÷∠k-国∠罪-30 A同掉彩AFHR是正方形，厘由复下， 由题显可面-8：=AB·死=， E为段D的中点：AE台E h直转知，∠AEF=∠AFD-.AF-AF,∠FAE-r 义”∠EH=∠EF, ÷-宁w-1 YABDE A∠AEB=∠FH=∠FE= G=0E=4LF=1 ∴△A△7AsA3-二AI=f (=溪=y一了= 同过形AF霍是电老 自(19，释下=A=1 又An度DE, 义：A6=AF, 贴形俯周后为1×口万+1)=4，V后+4. ,[)证调：，园边影AD为正方影，ADwI=AB, 国边形ABDF是平行国边形园 ∴细形AFHE是军方思 L1证期：：周边思A微中是思，六HCD ∠B1D∠位D一四片由正友后材角限平分每用时角可 “∠DF=,点料边形ABF是地同 含1连援BD, ”∠FAE=E 如，∠D4E-∠性家= 由(1)年，图边警A球是意形。 “华边形A议市是正友都：土=》=3， 点E是A0的中点： LAD-CB. .ABDF-3,∠AFD=, AE-DE. 在AADE作△CUF中，∠BME=∠F 在民△D中，H0=y中m下=1门2 .在△AF中.AE=[=,甲=4 X:∠EA=∠D LAE-CF. ,图游形AFE整正方思， 网边形AD是平厅料边用 ∴.△FAF2△《7PASA..》=FA A∠EH=9, dAl-CD-3. ,(0NFA,,库边形状F是平行四边围 2)48-A=4V2, 有民△n中，D明u开，又BHT: .下=47D计门=143=， 2=线么程由如下， 去DH=1 F平分∠m.∠=0， ,DmB于形=w4E)+4.区)=a &8-An1…A-吉x口+iX4-1n 后展在战 ·E= 角重左形的对角线相等互相垂直平分可得正上D .C 猪展在俊 :∠CDE-,六△CTDE最等整真角三角用： 膜专延「特城平行四虫形中的图形变换问蹈 1以.U是聘.君平分∠AC. C-DE. 1,4TC ∠0m∠2， 廿点E是A0的中点，AD-2D一强 一AE-F.月E=F=4-=2 )中E明：山盟意罪，AFD, 又出N AD-..- 库边形岸为菱想.H配非一比=冰 ,国边系AFFD是平行得边毛 ∠1-∠3. 防展在性 ∠国乐= 98.om "10.AD-A-3 ,∠1=∠，，E机 121国边形PCF是矩用， E-/7+不-/+平- 又”F=1,∠E=回，AFm 同用，可证人，乐F 里由：在A中，=1， ,E=,博风进港EDF的周长为 ,AF=A》=,边A下FD是菱 18 深究在蛋·九年数草学气上)·5 a如阁，挂接1了，D水 4,1短明：芝长笔点H (2)△AHF是器鞋三角形，型山知下： .△Aa△WTAA59,AF=L 在AA下中，A6=3.F= e=A莲接D样， :Ai=A.∠A月=∠A=,=AC, :7是'的中点，(=D,AF=D AP-3,而 图边围ATD是王本形 ,△AB2△DAE.∴，AH=E ∴，国边整ADF路半程图造形 在△DFr,FE=I-BE=A5-3, DC入∠A=∠H0 义：DEF,,AHF,即△AHF是界置日角形 H∠BC,D是C的中点 士W=西 ∴△l4△OCHESA5S3, 美比近移 A0=D-,品因姓用ALF是菱形. :得边形AF下D再素对角线的华分别是3，√可样√而 求=DH-∠D∠(DM 短目D,硅长节我点什，使利月=A6=6,连接A ∠ADC=,∠EF=5, 4)进接D5交AB于点O,如图. 2.0 ,国功形AD是态形， A∠ADE+∠FIT. DBC,A山=AD,∠ABH=∠LE 春(1)年：边EADF是菱邪： 1,(1)过明：由翻折的桂爱可得AF一AB,∠F=∠ BH=A冒，△A6H≌△DA尼. 廿网边形AD为矩形，A的=D,∠目=∠D= EFD+∠CDH=',即∠FDH= SAB,DF= =，∠=∠1D= .∠DF=∠pH=4 .AH=求-∠An=∠DA=46 X∠AEP=∠C军D,∴.△AP△AAs1 在△EDF有△球中， 又：E-AF,,AH=A 即DFX书0.∴F-10. ()△AP2△4.1=E.F-A DE-DH. ”∠AH=的，△AHF是等边三角形 真(1理：AF=CD,AF9D 柱据题折修性质可知==表，AF=AP一， ∠EDF-∠HDF, A-HF. 博边形AFC为平行四边围 在约△AF君中.A=A产+行”，博M一门=F+中 D-DF. DE=A=FF=指+下=+=点， 斯得下=小，= 二△FDF时验△HDF(s4 阶段测评11,1一1.3计 3.2 AEFHF. 么期能多冷的期积为子·山一子××一m LD点DD.非五B6.CT.5,1&菱 L1)罐明：：慢最E与F分网为△A议的中位瘦与中 “HF=CH+F一A2+F 队√/F机可1.月之丝. 线，，点卫.官，下业例是A程，AC,宜的中点， .D瓦席+区 4E-AE-IF. 13,1)证明，在R心C中，D为到边4B的中线 ,线段DF导EF这券AAC峰中位量 藏专丽：与正方形有关的四个常考顿型 1位F=,则F= 球，F8,四道形F是平行网边形， L”国边形AHD是正方形： 号正者形AD的边长为3，AB==1 D-D-Ab-子 Aa.∠AE-∠下 日AE=1.BE2H=1. ,∠DB5∠& ∠1=1-∠5 4('F-c-l X∠EFD=∠B,∠B=∠EFD: 2当AF一C小.属边影时花为冠电：理由如下 ∠E十Z∠Bt=的 .市=C下=1=(11=4= 5.KFADC :镜段成为△跨中位线限-号x (￥∠AhR-∠F十∠8A=Ir.∠iA是=∠HF 酸RAE下中，，店+F=EF, (2由■且，箱∠=0-5=5， 在△AhE和△C于中 +4--:师得一 WEF度.∠FED=∠B=S, 直(1》年，国边彩AD多有平行图登形，若小法为 ∠Ar=∠F+ ∠1P=1y-∠FED=山 形，则AF=DE, =C, 8球- I41)证明：：（置HD.EB8 六汽AF一宁C,昌边形DFE为即形. ∠BAE=∠CBF, 微专整3特平行四边形的性质与判定 ,用边形Y为平行图边形 1,器元%3，CA,0D,百 ,△AHE△Fs4, 世国边形山CD为菱形，，AC上D, .C BE-CF 收U证调，再功形ACD是果影， E.1)证调，”程边君AD数平行W边后 ∠a四边形8T为矩形. 红片 球=4 AD.∠ADC=∠C, ∴AF家，AH (2)10 女F,周道能51风为平用à限 1)健明：如围面，过点”作防多风，红时义AD.于 二∠A上∠∠FD=∠AH, 5.1)E明.下胃边形A以D是正为用，F日LH FDE平分∠ADC,,∠ADE=∠(TDE 点F,G每得∠PD=<P=r IE平分∠A.∠F=∠AE 品∠E=,A-C∠EHF- AD.∠AE=∠DEC, 二D正方形A印的略角线 &∠AFE=∠FED,AE=DF ∠1E求=m',∠AE+∠FEH-r ∠水=∠， ,∠E-FPD-PF-下IA 2同连用AEF心是矩形.理有加下 周∠AN+∠九45-，∴∠AF-∠F7和 CD-CE,,图边形EFD是菱聪， X,CND,下D8C,ADC=, :离边感A仪中是平行四边形 又YEF=AE,,△UIEAAEIF 又公∠C:平行四边围EFLC是E方形 边在F属D为期用.下D=元六PF=无 .A多岁汇，AB成D风.A作=C, ,E=下H,AEH 白由(1)即用边形城C为正方形。 VE⊥，∠FPE+∠G=. 品∠AFE-∠FC AB-=崖-H.则C--E- ∴CD=E,∠C=, ”∠FEP+∠下PE,,∠下EP=∠G 又ET∠EF∠EC .球- 在△E中，+TF=7r,D=T, 在△PFE作△CGP中， △F△Ci.FID=×-A (2)作FP1D于点P,镇0F,山(1 C0-E-4, ∠FEP∠GN :店=D.四边形A基平行国边卷 可理EH=AH,,CE3- 在的△D中，w=十2=3D=2 ∠F=∠P 呢=DF,,风AF,图边形AERG是聚围 .CH-VH-FP-r. .H=+7=t1g 1,月划■传： ,△P园△AA,∴K=代 延明：如国①，列边形山 .m1-0=,+一了-，而 信心素养线开 ()并全图形怒用回情茶.门中的情论巧绒立 D是甲释， 单元综合复习（一特殊平行四边形 L5三，+7 用山建点P作GDC分时宴AD,C干点下，G,同同 ZAZ0AB-1 热门秀点突破 第二章一元二次方程 可E么PF五a在GP气AAs). ∠AAF+∠D=0 1认识一元二次方程 DLAF. 211证明，￥B是AD期中当，4AE=DE, 氧1课时 一无二火者框 ∠AG+∠A= 1F8a,∠AFE=∠DE 基移在性 ∠nF=∠A ∠AFE-∠E 又”AF-E.二△AIF△DE,.AN=DA 在△AF释△DT中，∠AEF=∠D 量方在候 ,意形AK是正麦形 AE-DE, 7,D81 究在成·九年级冀学上)·B5 19