第二十二章 二次函数综合测试题　 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数综合测试题 考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（，每小题3分，满分30分） 1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3 D．yx+1 2．把二次函数yx2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（　　） A．y（x﹣2）2+2 B．y（x﹣2）2+4 C．y（x+2）2+4 D．y＝﹣（x）2+3 3．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　） A．5 B．10 C．1 D．2 4．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 5．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，当﹣1≤x≤1时，y的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．7 6．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，九（1）班同学准备用8米长的围栏，在本班劳动实践基地内围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，他们能围出的最大面积是（　　） A．米2 B．米2 C．8米2 D．米2 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论： ①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0． 其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（　　） A．54 B．52 C．50 D．48 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11．已知抛物线y＝x2﹣6x+m与y轴的交点坐标是（0，5），那么m的值为　 　． 12．二次函数y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是 　 　． 13．已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　． 14．如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝　 　米． 15．在平面直角坐标系中，抛物线 （0≤x≤8）的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝7时，W的取值范围是 　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）已知函数y＝（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 17．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围． 18．（9分）已知抛物线y＝﹣x2+4x+5． （1）用配方法将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 19．（9分）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小． 20．（9分）如图，抛物线的顶点为C（1，9），与x轴交于A，B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线与y轴交点为D，求S△BCD． 21．（9分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 22．（10分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数解析式． （2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 23．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值． （3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3 D．yx+1 解：y＝2x+1不是关于x的二次函数， 故A不符合题意； 当a≠0，a，b，c为常数时，y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数， 故B不符合题意； y＝﹣5x2﹣3是关于x的二次函数， 故C符合题意； yx+1不是关于x的二次函数， 故D不符合题意， 故选：C． 2．把二次函数yx2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（　　） A．y（x﹣2）2+2 B．y（x﹣2）2+4 C．y（x+2）2+4 D．y＝﹣（x）2+3 解：yx2﹣x+3（x2+4x+4）+1+3（x+2）2+4． 故选：C． 3．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　） A．5 B．10 C．1 D．2 解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0， 解得：t＝2或t＝0（不合题意舍去）， ∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒； 故选：D． 4．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2． ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1． ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），﹣4＜﹣21， ∴y1＞y2＞y3， 故选：B． 5．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，当﹣1≤x≤1时，y的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．7 解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵a＝1＞0， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小， ∵﹣1≤x≤1， ∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣4x+2有最小值，即为：y＝12﹣4×1+2＝﹣1； 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 解：由y＝﹣x2+2x﹣1得到：y＝﹣（x﹣1）2． ∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）； 抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0）； 从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位， ∴抛物线也是如此平移的． 故选：C． 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误． D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误． 故选：A． 8．如图，九（1）班同学准备用8米长的围栏，在本班劳动实践基地内围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，他们能围出的最大面积是（　　） A．米2 B．米2 C．8米2 D．米2 解：当墙为底边时，如图1所示， ∵用8米长的围栏围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地， ∴腰长为8÷2＝4（米）， 设腰上的高为h， ∴该等腰三角形的面积＝4h÷2＝2h， 当h和腰相等时，此时为等腰直角三角形，2h取得最大值，此时2h＝8； 当墙为腰时，作BD⊥AC于点D，如图2所示， 设AB＝x米，则BC＝（8﹣x）米， ∵8， ∴此时能围出的最大面积一定小于8； 由上可得，能围出的最大面积是8； 故选：C． 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论： ①abc＜0； ②4a﹣2b+c＜0； ③3a+c＝0； ④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0． 其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①∵二次函数图象的开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数图象的顶点在第三象限， ∴， ∵a＞0， ∴b＞0， ∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∴abc＜0，故结论①正确； ②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c， ∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上， 又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上， ∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确； ③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）， ∴，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确； ④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0） ∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方， ∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确． 综上所述：结论①②③④正确． 故选：D． 10．如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（　　） A．54 B．52 C．50 D．48 解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20， ∴AB25， ①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示， 此时AD＝x， ∵ED⊥AB， ∴∠DEA＝90°＝∠C， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴△CAB∽△EAD， ∴， ∴AE， DE， BE＝25， ∴yBE•DE（25）10x， 当x＝10时，y＝76， ∴a＝76， ②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示， 此时BD＝35﹣x， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°＝∠C， ∵∠DBE＝∠ABC， ∴△DBE∽△ABC， ∴， ∴BE28， DE21， ∴yDE•BE（28）×（21）＝（14）（21）， 当x＝25时，y＝24， ∴b＝24， ∴a﹣b＝76﹣24＝52， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知抛物线y＝x2﹣6x+m与y轴的交点坐标是（0，5），那么m的值为　5　． 解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与y轴的交点坐标是（0，5）， ∴m＝5， 故答案为：5． 12．二次函数y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是 　（3，2）　． 解：二次函数y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2）． 故答案为：（3，2）． 13．已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m≤1　． 解：抛物线的对称轴为直线x， ∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大， ∴1， 解得m≤1． 故答案为：m≤1． 14．如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝　20　米． 解：∵AB＝30米， ∴当x＝15时，y152＝﹣9， 当水位上升5米时，y＝﹣4， 把y＝﹣4代入yx2得：﹣4x2， 解得x＝±10， 此时水面宽CD＝20米， 故答案为：20． 15．在平面直角坐标系中，抛物线 （0≤x≤8）的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝7时，W的取值范围是 　4≤W　． 解：根据题意可得：（x﹣3）2， ∴抛物线的对称轴x＝3，顶点坐标为（3，）， ∵L＝7，即b与a的差值为7， ∴b＝a+7， ∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+7≤8， ∴0≤a≤1，则7≤a+7≤8， ∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+7时，y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y有最大值，最大值为， 当x＝a+7时，y有最小值，最小值为（a+4）2， ∴W[（a+4）2]（a+4）2， 则对称轴a＝﹣4， ∴当0≤a≤1时，W随a的增大而增大， ∴当a＝0时，W有最小值，最小值为4， 当a＝1时，W有最大值，最大值为， 综上所述：4≤W； 故答案为：4≤W． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）已知函数y＝（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 解：（1）由题意得：m2﹣1≠0， 解得：m≠±1， 当m≠±1时，此函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 当m＝﹣1时，此函数是一次函数． 17．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围． 解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得： ﹣4﹣2m+3＝3， 解得m＝﹣2， ∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （2）∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0， ∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4． 18．（9分）已知抛物线y＝﹣x2+4x+5． （1）用配方法将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 解：（1）y＝﹣x2+4x+5 ＝﹣x2+4x﹣4+4+5 ＝﹣（x﹣2）2+9； （2）∵y＝﹣（x﹣2）2+9，其中a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，抛物线的顶点坐标为（2，9），当x＞2时，y随x的增大而减小． 19．（9分）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小． （1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0， ∴x1＝1，x2＝1+a， ∵a≠0， ∴1≠1+a， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：∵点（0，y1），（3，y2）在函数图象上， ∴当x＝0时，， 当x＝3时，， ∴， ∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2； 当a＝1时，y1＝y2； 当0＜a＜1时，y1＜y2． 20．（9分）如图，抛物线的顶点为C（1，9），与x轴交于A，B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线与y轴交点为D，求S△BCD． 解：（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9， 把B（4，0）代入解析式得：a（4﹣1）2+9＝0， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式y＝﹣（x﹣1）2+9； （2）设对称轴直线x＝1与直线BD相交于E，如图所示： 令x＝0，则y＝8， ∴D（0，8）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+8， ∴当x＝1时，y＝﹣2+8＝6， ∴E（1，6）， ∴CE＝9﹣6＝3， ∴S△BCDCE•OB3×4＝6． 21．（9分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1， 设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10； （2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10， 解得x1或x1（舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（1）米． 22．（10分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数解析式． （2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 解：（1）设每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y与x的函数解析式为y＝﹣100x+3000； （2）设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元， 根据题意得，w＝（x﹣6﹣2）（﹣100x+3000）＝﹣100x2+3800x﹣24000＝﹣100（x﹣19）2+12100， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝19， ∵销售价格不高于18元/kg， ∴当x＝18时，w有最大值为12000元， ∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元． 23．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值． （3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由． 解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． ∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）． 将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M， ∴点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，0）， ∴MN＝﹣m2+2m+3，AN＝m+1， ∴AN+MN＝m+1+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+3m+4＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0，且0＜m＜3， ∴当m时，AN+MN有最大值，最大值为； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝﹣x2+4． 当x时，y＝﹣（）2+23， ∴点M的坐标为（，）． 假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4）． ①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分， ∴， 解得：n， ∴点Q的坐标为（，）； ②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分， ∴， 解得：n， ∴点Q的坐标为（，）； ③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分， ∴， 解得：n， ∴点Q的坐标为（，）． 综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（，）或（，）或（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$