2.2 基本不等式 同步练习卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式同步练习卷-高一数学上学期人教A版（2019） 一、单选题 1．设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 2．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 4．存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（    ） A．M的最大值是 B．M的最大值是 C．M的最小值是 D．M的最小值是 5．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 6．设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．下列命题中错误的数量是（ ） ①当时，一定成立                 ②若实数x，y满足，则 ③对任意，都有 ④对任意，都有 A．0 B．1 C．2 D．4 二、多选题 9．已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 三、填空题 12．已知，若，则的最小值是 ， 13．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 14．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为 ． 四、解答题 15．已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 16．设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 17．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？    18．（1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？    （2）现在我们讨论一种特别的情况，如果，，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ （3）问题2中得的结论是否对所有的，都能成立？请给出证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C D C B CD ACD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为、满足，且、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 2．D 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 3．C 【分析】由已知可得，再利用基本不等式判断各个选项. 【详解】由， 因为为不相等的正实数，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确． 故选：C． 4．B 【分析】由已知得，中必有个正数，1个负数，设，，则，根据基本不等式及不等式的性质即可求解． 【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数， 设，，则， 因为，所以， 所以，即， 所以，由得，，即， 所以， 故选：B． 5．C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 6．D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 7．C 【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为. 【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 8．B 【分析】A 项利用基本不等式进行判断; B 项取特殊值判断; C、D 项利用作差判断即可. 【详解】对于 A 项，由时， , 当且仅当等号成立时,   而 , 则 成立,所以 一定成立故 A 项对； 对于 B 项,因为实数 满足 , 取 , 则 , 故 B 错误; 对于 C 项, 因为 等号成立时, , 故 C 项正确; 对于 D 项, 因为 , 故 D 项正确. 故选：B. 9．CD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项判断即可． 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 10．ACD 【分析】对于ACD，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确. 对于B，若，则，所以B错误. 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确. 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ACD 11．AD 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 12．2 【分析】由重要不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 13． 2 1 【分析】现将函数进行配凑，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为,所以, 所以， 当且仅当, 即时等号成立， 所以. 故答案为：. 14．8 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】设该直角三角形的斜边为，直角边为a，b，则， 因为，所以，即， 当且仅当，且，即时，等号成立． 因为，，所以， 所以的最大值为8，该直角三角形周长， 故这个直角三角形周长取最大值时，， 此时三角形的面积为． 故答案为：8． 15．(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 16．(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立． 17．长，宽 【分析】设每间虎笼长，宽，根据材料建立等式，利用基本不等式得出，根据等号成立的条件得到关系，联立求解方程组即可． 【详解】设每间虎笼长，宽， 则由“有可围网长的材料”，得，即． 设面积， 由于， 所以，得， 即， 且仅当时，等号成立． 解方程组 解得 所以每间虎笼设计长，宽分别为、时，面积最大为． 18．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析； 【分析】（1）根据正方形和直角三角形面积得出不等关系； （2）用，分别替换上式中的a，b可得到； （3）应用做差法或几何法证明结论. 【详解】（1） 正方形的边长，故正方形的面积为，而四个直角三角形的面积为2ab，故有，当且仅当时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． （2）用，分别替换上式中的a，b可得到，当且仅当时，等号成立．我们习惯表示成． （3） 方法一  （作差法） ， 即，当且仅当时，等号成立． 方法二  （几何法）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，，，过点C作垂直于AB的弦DE， 连接AD，BD，故有，故，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为， 由此也可以得出圆的半径不小于半弦．    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$