小升初典型奥数：多次相遇问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

多次相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在A、B两地之间不断往返行驶.甲、乙两车的速度比为3:7,并且甲、乙两车第1996次相遇的地点和第1997次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇).那么,A、B两地之间的距离是多少千米? 【答案】200千米 【详解】如图,将AB十等分,因甲乙速度之比为3:7,它们第一次相遇时在点,即甲车走了3个单位长,以后甲车每走6个单位就和乙相遇一次. 故两车相遇地点依次是:以10为周 期循环.故第1996次的相遇点为,第1997次相遇点为,是6个单位长,为120千米.故每个单位长120÷6=20(千米),AB相距20×10=200(千米). 例题2：A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发，甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？ 【答案】千米/小时 【分析】根据题意，画简单线段图如下： 第一次甲乙两人在D处相遇，相遇时甲走的路程为AD，乙走的路程为BD；甲、丙在E处相遇，此时乙已走到F处；则乙走FC用的时间与丙走EC用的时间相同。据此解答即可。 【详解】1小时45分钟＝1.75小时 乙原来的速度为：105÷1.75－40＝20（千米/小时） 甲、乙两人相遇时甲走的路程：AD＝40×1.75＝70（千米） 3分钟＝0.05小时 甲、丙相遇时甲离A地距离为：40×（1.75＋0.05） ＝40×1.8 ＝72（千米） 甲、丙相遇时甲离乙的距离为：（40＋20）×0.05 ＝60×0.05 ＝3（千米/小时） 甲、丙相遇时乙离A地为：105－20×（1.75＋0.05） ＝105－20×1.8 ＝69（千米） C点离A点的距离为：20×[105÷（20＋20＋2）] ＝20×[105÷42] ＝20×2.5 ＝50（千米） 乙从甲、丙相遇时到C地的时间为：（69－50）÷20 ＝19÷20 ＝0.95（小时） 0.95小时也就是丙追上乙的时间； 而丙追乙走的路程为＝甲、丙相遇时甲离A地距离－C地离A地的距离＝72－50＝22（千米） 丙的车速是：22÷0.95＝（千米/小时） 答：丙的车速是千米/小时。 【点睛】乙从F到C和丙从E到C用的时间相同。 例题3：甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【答案】100 【详解】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行米才能回到出发点． 例题4：甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动。两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇。若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为多少千米？ 【答案】150千米 【分析】根据题意，两人第一次迎面相遇是在C处，甲速度提升一倍，当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，由此可知甲提速一倍走到D处所用的时间与提速前走到C处所用的时间相同，所以甲提速一倍后走到D处的路程是提速前走到C处的路程的2倍，因此AD＝2AC＝AC＋CD，所以AC＝CD＝60千米，即第一次相遇时，甲走了60千米；从第一次相遇到第二次相遇，甲走的路程是第一次相遇时走的路程的2倍，为60×2＝120千米，即CD＋2BD＝120千米，所以BD＝（120－60）÷2，进而可求出AB。 【详解】如图，根据题意，甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同， 所以路程也增加一倍，因此AC＝CD＝60千米， 第一次相遇，甲走了60千米， 第一次相遇到第二次相遇，甲走了60×2＝120（千米）， 即CD＋2BD＝120， BD＝（120－60）÷2 ＝60÷2 ＝30（千米） 所以AB＝AC＋CD＋BD＝60＋60＋30＝150（千米） 答：从A地到B地的全程为150千米。 【点睛】本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键理解题意，分析出甲提速一倍后走到D处与提速前走到C出所用时间相同，因此所走路程也增加一倍。 第三部分 高频真题 1．甲、乙二人同时从A、B两地，相向而行，相遇后继续行进，到达目的地后，立即折返，就这样不停的往返于两地之间，并且不断的相遇，第8次和第10次相遇的地点相距54米，已知，甲的速度是乙的速度的，那么，A、B两地的距离是多少米？ 2．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后都立即返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地的距离。 3．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行千米．汽车每小时行千米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距离中点千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？ 4．赵老师和王老师每天早晨都要在长600米的一条路上练习长跑，赵老师每分钟跑110米，王老师每分钟跑90米，他们每天都是分别从路的两端出发，跑到另一端后再返回继续跑．他们第二次相遇时，已经跑了几分钟？ 5．客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进．客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇．求甲、乙两站之间的距离． 6．A、B两地相距24千米，甲和乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地．途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D．CD相距6千米，则甲、乙两人的速度比是为多少？ 7． A、 B 两地相距 950 米．甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近？ 8．甲乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶，与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶，当丙行了30千米时与甲相遇，相遇后甲立即掉头，并且将速度提高到原来的2倍，当甲乙两车相遇时，丙行驶了40千米。当乙丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么AB两地的距离是多少千米？ 9．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。问甲、乙两地的距离。 10．甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地90千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地30千米处相遇．求、两地间的距离？ 11．、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？ 12．A、B两地相距1000米，甲从地、乙从地同时出发，在、两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇（含追及）时距B地最近？最近距离是多少？ 13．李想和朱朱两人同时分别从甲、乙两地相对出发，各自到达对方地点后立即返回，两人第二次相遇时，李想比朱朱多行了210米。求李想、朱朱第一次相遇的地点距离中点多少米？ 14．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 15．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。 16．李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到．半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米．又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到．结果三人同时在途中某地相遇．问骑车人每小时行驶多少千米？ 17．小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇．甲、乙两地相距多少米？ 18．大宝和小宝两人同时分别从甲、乙两地相对出发，各自到达对方地点后立即返回，第一次相遇时大宝比小宝多走了80米，求第二次相遇地点距离中点多少米？ 19．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇．问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？ 20．苏步青是我国著名的数学家，他小时候，有人曾给他出了这样一道数学题：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是1000米，甲每分钟走120米，乙每分钟走80米，甲带着一只狗，狗每分钟走500米，这只狗与甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲的时候，又往乙这边走，直到两人相遇，问这只狗走了多少米？你能像苏步青一样，很快说出这道题的答案吗？ 21．环形跑道400米，小百小合背向而行，小百6米/秒，小合4米/秒，当小百正面和小合相遇时，立刻转向跑．当小百追上小合时，小合立即转向跑，两人第11次碰头时离起点多少米？（按较短计算） 22．小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去。小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米。在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度。 23．一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区，其中C恰好处于AE中点，而AB段由于道路泥泞，车速在此均只能降低到原来的一半，甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行，在C点第一次相遇，之后分别到达对方出发点并调头继续行驶，在B处第二次相遇。若AB段长度为90km，则AE全长为多少km？ 24．张华和李冰分别从A、B两地同时出发相向而行，张华的速度是李冰的，两人分别到达B地与A地后，立即返回各自的出发地。返回时，张华的速度比原来增加了，李冰比原来增加了。已知两人第一次相遇处距返回途中第二次相遇处35千米，A，B两地相距多少千米？ 25．甲、乙两车同时从相距300km的两站相向开出，到达对方站后立即返回．经过5小时甲、乙两车在途中相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了120km．求两车的速度． 26．甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地千米处相遇．求、两地间的距离？ 27．甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？ 28．甲、乙二人相距2000米，两人同时从两地相向而行．甲分钟走60米，乙每分钟走40米，甲带着一只狗，同甲一起出发，狗每分钟走100米，碰到乙时狗立即调头往甲的方向走，碰到甲时又立即调头向乙的方向走，如此继续往返，当甲和乙相遇时，这只狗一共走了多少米？ 29．快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。 30．甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇，求两次相遇地点之间的距离． 31．铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？ 32．甲、乙两人在相距90米的直路上来回的跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米，如果他们分别在直路的两端出发，跑了12分钟，共相遇多少次？ 33．李明和王华步行同时从A、B两地出发，相向而行，第一次在距离A地520米处相遇，相遇后继续前进，到对方出发点后立即原速返回，第二次在距离A地440米处相遇，计算A、B两地之间距离． 34．甲、乙两名同学在周长300米的圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，他们第十次相遇时，甲还跑多少米才能回到出发点？ 35．甲、乙两辆汽车同时分别从、两地相对开出，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达、两地后， 立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用小时．求、两地的距离？ 36．阿呆和阿瓜同时从距离千米的两地相向而行，阿呆每小时走千米，阿瓜每小时走千米． 阿瓜带着一只小狗，狗每小时走千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米？ 37．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度． 38．汽车从A地出发，到B地去，一人骑自行车同时从B地出发到A地去，当汽车与骑自行车人第一次相遇时，距B地12.8千米，自行车与汽车继续以原速驶到各自的目的地后立即返回，第二次相遇时，距A地0.24千米，求AB两地间的路程是多少千米？ 39．甲、乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇) 40．快、慢两车同时从甲、乙两车站迎面开来，快车每小时行驶100km，慢车每小时行驶65km．两车到达车站后立即往回开，第二次相遇时快车比慢车多行驶了210km．求甲、乙两车站间的距离． 41．甲、乙两车同时从东城出发，开往相距750千米的西城，甲车每小时行68千米，乙车每小时行57千米，甲车到达西城后立刻返回．两车从出发到相遇一共经过多长时间？ 42．电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长20厘米的路上巡逻，大警卫每秒走0.5厘米，小警卫每秒走0.3厘米，每天早晨俩人同时从路的两段相向走来，走到对方出发地点再向后转接着走．当他们第三次相遇时，大警卫走了多少厘米？ 43．A、B、C三位好朋友沿着小区的环形跑道匀速慢跑锻炼，他们同时从跑道一固定点出发，B、C两人同向，A与B、C反向。A在第一次遇上B后1.5分钟第一次遇上C，再经过2.5分钟第二次遇上B。已知A的速度与B的速度的比是3∶2，环形跑道的周长是1100米，求B、C两人的速度每分钟各是多少米。 44．甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48千米／时．有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇．求丙车的速度． 45．客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米．求甲乙两站相距多少千米？ 46．小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 47．从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的 2千米处有个铁道路口，是每关闭 3分钟又开放 3分钟的．还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？ 48．每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？ 49．甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进．两人的上山速度都是米/分，下山的速度都是米/分．甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息分钟后返回，两人在距山顶米处再次相遇．山道长多少米？ 50．有一辆火车以每小时 15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶．如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？ 参考答案： 1．189米 【分析】这道题目初看时，似乎缺少解决问题的条件，但是通过甲的速度是乙的速度的，不难看出，当甲走3份路程的时候，乙就走了4份的路程，因此不妨将全程看成7份，第一次相遇时，甲走了3份，乙走了4份．在这之后，甲和乙要想再次相遇，必须共同走完两个全程，需用与第一次相遇时间相同的2倍的相遇时间．在这期间，甲走了3份路程的2倍，即6份的路程．我们不妨将路上的点（包括A、B两点）从左至右设定为A、C、D、E、F、G、H、B点，而第一次相遇在E点，第二次相遇在G点，以次类推，就很容易确定出第八次和第十次的相遇点的具体位置，从而使问题得以解决． 【详解】解：因为甲的速度是乙的速度的，不妨将全程看成7份，第一次相遇时，甲走了3份，乙走了4份．将路上的点（包括A、B两点）从左至右设定为A、C、D、E、F、G、H、B点，由分析可推出第一次相遇点在E；第二次相遇点在G；第三次相遇点在C；第四次相遇点在B；第五次相遇点在C；第六次相遇点在G；第七次相遇点在E；第八次相遇点在E；第九次相遇点在G；第10次相遇点在C．由于第八次相遇点在E；第十次相遇点在C，E和C相距的是2份的路程，而全程是7份的路程，所以，A、B两地的距离54÷2×7=189（米） 【点睛】这道题目充分的利用了时间一定，速度与路程的关系，值得注意的是除了第一次相遇二人是共同走完了一个全程，从第二次相遇开始都是共同走完两个全程，这是解题的关键． 2．30千米 【分析】由于甲的速度是乙的速度的2倍，所以同一时间内，甲走的路程是乙走的路程的2倍。设A、B两地的距离为3份，第一次相遇，甲、乙共走了一个全程，甲走了2份，乙走了1份；从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走了两个全程，这期间乙走了1×2＝2份，正好到达A地，两次相遇地点相距2份为20千米，1份的路程为20÷2＝10（千米），进而可求出A、B两地的距离。 【详解】如图，设A、B两地的距离为3份，根据题意，第一次相遇在C处，第二次相遇在A地。 A、B两地的距离： 20÷2×3＝30（千米） 答：A、B两地的距离是30千米。 【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是熟知时间相同，路程比等于速度比，根据题意设出份数，画图分析，找出20千米所对应的份数。 3．1224千米 【详解】第二次相遇距中点千米，说明两车共有(千米)的路程差，由此可知两车共行驶了：(小时)．又因为第二次相遇两车共走了三个全程，所以走一个全程用(小时)．这样可以求出甲乙两地的路程是：(千米)． 4．9分钟 【详解】600×3÷（110+90） =1800÷200 =9（分钟） 答：他们第二次相遇时，已经跑了9分钟． 5．100千米 【详解】40×3=120（千米） 120-20=100（千米） 答：甲、乙两站之间的距离是100千米． 6．9︰7 【详解】因为甲比乙早返回原地，甲的速度比乙快，第二个相遇点D应该比C更靠近A点．由于相关数量未知，首先假设第一次相遇时甲和乙分别行走了x千米和y千米．可得：x+y=24① 由假设可得：第二次相遇时，甲、乙分别行走了3x千米和3y千米，那么甲返回时走了3x-（x+y）=2x-y，第二个相遇点距B点（2x-y）千米，这段距离比y多6千米，所以有：（2x-y）-y=6② 联立①②两个方程能得到：x=13.5，y=10.5，所以两人的速度比为9︰7． 7．2 【详解】半小时内，两人一共行走 （40＋ 150）× 30 ="5700" 米，相当于 6 个全程，两人每合走 2 个全程就会有一次相遇，所以两人共有 3 次相遇，而两人的速度比为 40 :150=" 4" :15，所以相同时间内两人的行程比为 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的，距离 B 地11/19个全程；第二次相遇甲走了16/19个全程，距离 B 地3/19个全程；第三次相遇甲走了24/19个全程，距离 B 地5/19个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近． 8．54千米 【分析】此行程问题比较复杂，既有变速问题，又有多次相遇问题。我们可以分开考虑。 由图可知，甲到达某地又立即2倍速度返回，可以假设甲走了3份时间，因为往返两地总路程不变，速度和时间成反比，返回是去时速度的2倍说明去时用了2份时间，返回用了1份时间；乙的速度没有发生变化，我们可以假设一份时间内乙走的路程是a，可以得出整个行程过程中乙走的路程是3a；再回头考虑丙。根据题意，找出甲乙丙三人的行程与总路程的关系，列方程即可解答。 【详解】解：设甲一共走了3份时间，那么从A地到某地用了2份时间，从某地回到A地一共用1份时间； 根据第一次相遇丙行了30千米，可以计算出丙1份时间的路程：30÷2＝15千米，丙与乙相遇时丙一共行了30＋15＝45千米； 乙一份时间路程是a，那么3份时间内，乙走的路程是3a，故AB两地的距离是（3a＋45）千米； 甲3份时间内走了从A地到某地路程的2倍，所以甲第一次走的路程是：15＋3a； 甲乙两车相遇时，丙又走了40－30＝10千米，说明时间用了：10÷15＝份； 那么第二次相遇时，乙一共走的路程是：2a＋a，甲从某地返回走的路程是×（3a＋15），两项加起来正好是A地到某地的距离，据此等量关系可列方程： 3a＋15＝2a＋a＋×（3a＋15） 化简得 解得， 3a＋45＝3×3＋45＝54（千米） 答：AB两地的距离是54米。 【点睛】考查了复杂行程问题及列方程解决实际问题的能力。解答行程问题时，最好画出线段图，帮助理解。 9．540千米 【分析】根据题意，客车和货车的速度比为60∶48＝5∶4，那么，相同时间的路程比也为5∶4；设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份），则第一次相遇，客车和货车共行驶了1个全程，客车行驶了5份，货车行驶了4份；从出发到第二次相遇，客车和货车共行驶了3个全程，客车行驶路程是第一次相遇行驶路程的3倍，即5×3＝15（份），两次相遇相距15－9－4＝2（份），2份对应120千米，由此求出1份的路程是多少，进而求出甲、乙两地的距离。 【详解】解法1： 客、货两车速度比：60∶48＝5∶4 设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份）， 两相遇地的距离所对应份数为： 5×3－9－4 ＝15－9－4 ＝2（份） 甲、乙两地的距离为： 120÷2×9＝540（千米） 答：甲、乙两地的距离为540千米。 解法2： 如图，设第一次相遇，货车行驶的路程为a，客车比货车多行驶的路程为b，即客车行驶的路程为（a＋b），那么第一次相遇到第二次相遇，客车行驶的路程是第一次相遇路程的2倍，即为2（a＋b）＝2a＋2b，由图可知，两次相遇的距离为2b，即两次相遇地点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。 第一次相遇时间： 120÷2÷（60－48） ＝60÷12 ＝5（小时） 甲、乙两地距离： （60＋48）×5 ＝108×5 ＝540（千米） 答：甲、乙两地的距离为540千米。 【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是画线段图分析出数量关系，可根据比例求解或画图分析出两次相遇地的距离是第一次相遇路程差的2倍，进而根据公式求解：路程差÷速度差＝相遇时间，速度和×相遇时间＝路程。 10．240千米 【详解】第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了90千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即（千米），而这270千米比一个、两地间的距离多30千米，可得：(千米)． 11．4次 【分析】 由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100－80＝20（分钟）内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在（80＋100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（180÷20），则的长为的9倍，所以，甲从到，共需走80×（1＋9）＝800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程。从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟（100×2），所以，在甲从到的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟。 【详解】有题意可知：走相同距离的路程，甲和乙所需时间比： （80＋100）∶（100－80）＝180∶20＝9∶1 所以，甲和乙的速度比是 （100－80）∶（80＋100）＝20∶180＝1∶9 即，甲走一个全程，乙走9个全程，甲行完一个全程，乙行9个全程。第一次是相遇，第二次是追上，..., 所以共相遇5次，追上4次。 答：乙追上甲4次。 【点睛】本题是一道比较复杂的行程问题，计算出乙和甲第一次相遇时间，由乙的速度是甲的9倍，来求出甲从A到B的800分钟内追击的时间与次数。 12．第3次    米 【详解】画出“折线示意图”，判断哪一次相遇距B地最近． 甲乙行程的折线示意图如下，图中实线表示乙，虚线表示甲． 由图可知，第3次相遇时距离B地最近． 此时两人共走了：（米） 用时：（分钟） 相遇地点距离B地：（米）． 13．35米 【分析】两人从出发到第一次相遇共走了1个全程，从出发到第二次相遇共走了3个全程，所以第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍；根据题意，两人第二次相遇时，李想比朱朱多行了210米，所以，第一次相遇时，李想比朱朱多行了210÷3＝70（米），第一次相遇的路程差是相遇点到中点距离的2倍，据此计算得解。 【详解】210÷3÷2＝35（米） 答：李想、朱朱第一次相遇的地点距离中点35米。 【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握：二次相遇路程差÷3＝一次相遇路程差，一次相遇距中点距离×2＝一次相遇路程差，通过画线段图有助于理解题意，本题也可列方程求解。 14．20 【详解】首先，甲跑一个全程需（秒），乙跑一个全程需（秒）．画折线图如下，实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点。 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了（次） 15．2千米 【分析】甲乙第一次相遇地点离A地4千米，即甲行了4千米，第二次相遇时，两人一共行了3个全程，则每行一个全程，甲就行了4千米，此时甲一共行了4×3＝12（千米），距B地3千米处第二次相遇，用甲一共行的全程减去3千米就是A、B两地的距离12－3＝9（千米），用两地的距离4千米再减去3千米，就是两次相遇地点之间的距离，可据此解答。 【详解】A、B两地的距离： 4×3－3 ＝12－3 ＝9（千米） 两次相遇地点之间的距离： 9－4－3 ＝5－3 ＝2（千米） 答：两次相遇地点之间的距离是2千米。 【点睛】弄清楚第二次相遇时甲乙行了几个全程，根据第一次相遇时甲所行的路程求出全程是解此题的关键。 16．20 【详解】老师出发时，李华已经走了（千米）．接下来相遇所需要的时间为（小时）．相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算：（千米）．所以张明要用小时赶到距离学校10千米处，张明的速度为（千米/时） 17．105米 【分析】根据题意画图如下 从图中可知，小张、小明两人第一次相遇时，共行的路程即是甲、乙两地之间的距离，这时，小张行了40米．当他们第二次相遇时，小张行了甲、乙间距离还多15米，小明行了两个甲、乙间距离少15米，合起来两个人共行了甲、乙间距离的3倍．因此小张从出发到第二次相遇所行的路程应是他从出发到第一次相遇所行的路程的3倍，即可求出他从出发到第二次相遇所行的路程．又知这段路程比甲、乙间距离多15米，甲、乙间距离就可求出了． 【详解】解：小张从出发到第二次相遇所行的路程：40×3=120（米） 甲、乙间距离：120－15=105（米） 答：甲、乙两地相距105米． 18．120米 【分析】第一次相遇的路程差是相遇地点距中点距离的2倍，所以第一次相遇地距中点距离为80÷2＝40（米），即第一次相遇大宝走了全程的一半多40米，从出发到第二次迎面相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍，即大宝走了全程的1.5倍多40×3＝120（米），由此得解。 【详解】解法1： 第一次相遇距中点距离：80÷2＝40（米） 第二次相遇距中点距离：40×3＝120（米） 答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。 解法2： 设第一次相遇，小宝走了x米，大宝走了x＋80米， 那么全程为x＋x＋80＝2x＋80米，半程为x＋40米， 从出发到第二次相遇，小宝走了3x米， 则第二次迎面相遇距离中点： x＋40－[3x－（2x＋80）] ＝x＋40－[3x－2x－80] ＝ x＋40－[x－80] ＝ x＋40－x＋80 ＝120（米） 答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。 【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是画图分析出第一次相遇点距离中点的距离是两人路程差的一半，或者列代数式进行计算分析。 19．1千米． 【详解】画示意图如下. 第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走:3.5×3＝10.5（千米） 从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离:10.5-2＝8.5（千米） 每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了:3.5×7＝24.5（千米） 24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米） 就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米） 答：第四次相遇地点离乙村1千米. 20．2500米 【分析】根据关系式路程=速度×时间，要求出狗走的路程，必须知道速度和所用的时间．狗的速度是每分钟500米，关键求出狗走的时间．由题意知，狗是与人同时行走，直到甲、乙两人相遇，那么狗走的时间与甲、乙两人的相遇时间相等． 【详解】甲、乙两人相遇时，所用的时间：1000÷（120+80）=1000÷200=5（分钟） 也就是说狗在甲、乙两人之间来回跑所用的时间是5分钟，则狗跑的路程是：500×5=2500（米） 答：狗一共跑了2500米． 【点睛】此题乍看起来很复杂，狗在两人之间跑来跑去似乎存在着多个相遇的问题．但仔细审题会发现在表面上变化的条件中存在着不变的数量和关系，找出它，问题就解决了． 21．160米 【详解】略 22．13米/分钟 【分析】当小新和风间相遇时，正南落后小新6×（20－16）＝24（米）。依题意知正南和风间走这24米需要7－6＝1（分钟），正南和风间的速度和为24÷1＝24（米／分），风间的速度为：24－16＝8（米/分），风间和小新相遇后又过了8－6＝2分钟，才与妮妮相遇，所以在8分钟中妮妮的行程为20×6－8×2＝104（米），根据速度＝路程÷时间，即可解答。 【详解】风间的速度： （20－16）×6÷（7－6）－16 ＝4×6÷1－16 ＝24÷1－16 ＝24－16 ＝8（米/分） 妮妮的速度： （20×6－8×2）÷8 ＝（120－16）÷8 ＝104÷8 ＝13（米/分） 答：妮妮的速度是13米/分。 【点睛】这是一个多重相遇和追及的问题，考查学生分析与理解能力。 23．540km 【分析】根据题意，车速在AB段降为一半，如果不降速的话，那么汽车在AB段所花费的时间可以行驶2个AB的路程，因此，我们假设不降速行驶，延长BA到M（如图），使AM＝AB＝90km；两车在C点第一次相遇，此时两车共同行驶了一个ME，甲车行驶的路程为MC，乙车行驶的路程为CE，又因为C是AE的中点，所以AC＝CE，由此可知第一次相遇时甲车比乙车多行驶的路程为AM＝90km；从第一次相遇到第二次相遇，两车共同行驶了2个ME，甲车比乙车多行驶的路程为BC＝2AM＝2×90＝180km，AC＝AB＋BC＝90＋180＝270km，因此AE＝2AC＝270×2＝540km。 【详解】假设在AB段不降速行驶，则同一时间行驶的路程是AB的2倍，延长BA至M，使AM＝AB＝90km， 因为C是AE的中点，所以AC＝AE， 第一次相遇于C点，甲车比乙车多行驶AM＝90（km）， 第一次相遇到第二次相遇，甲车比乙车多行驶BC＝90×2＝180（km）， 所以AC＝AB＋BC＝90＋180＝270km， AE＝2AC＝270×2＝540km。 答：AE全长为540km。 【点睛】本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键是将问题转化不降速处理，得出两车第一次相遇的路程差，第二次和第一次相遇点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。 24．165千米 【分析】张华的速度是李冰的，以李冰的速度为单位“1”，张华和李冰的速度比则第一次相遇时，张华行驶的路程是李冰的路程的，张华行驶了全程的，也就是这时相遇点距离A点。 李冰的速度比张华的快，当李冰从B地到达A地时，也就是行驶了全程，这时张华才行驶了全程的，还有才能到B地，这时李冰的速度比原来增加了，李冰的速度就是1＋，张华的速度不变还是，则张华的速度就是李冰的，即张华的路程就是李冰的。 当张华到达B地时，也就是张华行驶了，张华的路程就是李冰的，用除法得出李冰又行驶了。 这时，张华的速度比原来增加了，则现在的速度是1。这时张华的速度是李冰的，即张华的路程是李冰的。 第二次相遇时，两个人的之间的路程应该是减去李冰行驶前程的，则是全程的。李冰这时候行驶了的，即，这时李冰距离A地是。 综上所述，第一次相遇点距离A点是，第二次相遇点距离A点，之间相差全程的，正好是35千米，已知一个数的几分之几是多少用除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 35÷（） （千米） 答：A，B两地相距165千米。 【点睛】时间是相同的，则速度比＝路程比，换一种说法是张华的速度是李冰的几分之几，张华的路程就是李冰的几分之几。复杂的行程问题，要理清题目中每个人的速度的变化，路程的变化，分析出对应的分率即可。 25．甲车：102千米/小时    乙车：78千米/小时 【详解】经过5小时相遇时,甲乙一共行驶了：300×3=900（千米） 甲车行驶了（900+120）÷2=510（千米） 乙车行驶了900-510=390（千米） 甲车速度：510÷5=102（千米/小时） 乙车速度：390÷5=78（千米/小时） 26．220千米 【详解】第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个80千米，即（千米），而这240千米比一个、两地间的距离多20千米，可得：(千米)． 27．15次 【分析】10分钟两人共跑了：（3＋2）×60×10＝3000（米），（3000÷100＝30）个全程。我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1、3、5、7…29共15次。 【详解】（3＋2）×60×10 ＝5×60×10 ＝3000（米） 3000÷100＝30（个） 30÷2＝15（次） 答：共相遇15次。 【点睛】要明确：在奇数个全程时相遇（不包括追上），是解答此题的关键。 28．2000米 【分析】由于甲、乙二人在做相向运动的同时，狗在不停的运动，因此，甲、乙二人的相遇时间就是狗运动的时间，由此，可求出狗所走的路程． 【详解】解：甲、乙二人的相遇时间是：2000÷（40＋60）=20（分） 所以，狗所走的路程是：100×20=2000（米） 29．250千米 【分析】由题目可知快车每小时比慢车要多行（）千米，而两辆车第二次相遇时快车一共比慢车多行210千米，由此我们可以求出在第二次相遇时它们一共行了多少小时；由题目已知两车相对开出并往返行驶，因此根据它们行驶方式我们可知，它们第二次相遇时两车一共行驶了3个两地间的路程；可以利用第二次相遇时它们行驶的时间求出1个两地间的路程两车一共花费的时间，最后根据两车的速度求出甲、乙两地间的路程。 【详解】两车的速度差： ＝35（千米）； 到第二次相遇行驶的时间：210÷35＝6（小时）； 1个两地间路程所用的时间：6÷3＝2（小时）； 两地间的路程：2×（） ＝2×125 ＝250（千米）； 答：甲、乙两地间的路程是250千米。 【点睛】这是一道典型的行程问题，里面包含路程、时间、速度三个量。而这类问题解题的关键及规律有： 同时同地相背而行：路程＝速度和×时间； 同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间； 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差； 同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间。 30．24千米 【详解】略 31．8点30分 【分析】涉及火车的行程问题中，火车的长度不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。 【详解】火车速度：30×1000÷60＝500（米/分） 火车速度与军人速度的差为：110÷（15÷60）＝440（米/分） 军人的速度：500－440＝＝60（米/分） 农民的速度：110÷（12÷60）－500＝50（米/分） 8点时火车头与农民的距离为：（500＋50）×6＝3300（米） 军人与农民相遇：3300÷（60＋50）＝30（分） 此时的时间为8点30分。 答：军人与农民8点30分相遇。 【点睛】1、此题中有着三个基本问题。火车追及军人，火车农民相遇，军人和农民相遇，找到三者之间的关系就是解决题目的关键。 2、解决行程问题的关键是三步： a：正确画出示意图； b：把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题； c：找到这些相遇或追及问题之间的数量关系，包括路程关系，时间关系与速度关系。 32．20次 【分析】12分钟=720秒，两人的速度和是3+2=5米，720×5=3600米，也就是两个人一共走了3600米，相当于3600÷90=40个全程．两人相向而行第一次相遇时行了一个全程，之后每两个全程相遇一次，所以，第1个全程相遇1次，后面39个全程相遇19次，总共20次． 【详解】12分钟=720秒 （3+2）×720 =5×720 =3600（米） 3600÷90=40 （40-1）÷2=19……1 19+1=20（次） 答：跑了12分钟共相遇20次． 33．1000米 【分析】第一次相遇时，李明和王华一共行了1个全程，其中李明行了520米； 第二次相遇时，李明和王华一共行了3个全程，李明行了520×3=1560米；李明实际行了两个全程少440米．可得AB两地的距离为 (1560+440)÷2=1000米． 【详解】(520×3+440)÷2 =(1560+440)÷2 =2000÷2 =1000（米） 答：A、B两地之间距离是1000米． 34．100米 【分析】甲乙每相遇一次共跑一圈，所以第十次相遇总共跑了：300×10=3000米。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，时间相同，根据路程比等于速度比即可求出甲、乙分别跑了多少米。最后用甲跑的路程除以300即可求解。 【详解】甲、乙第十次相遇共跑：300×10=3000（米） 甲总共跑：（米） 由于1400÷300=4（圈）……200（米） 则甲还跑：300-200=100（米） 答：甲还跑100米才能回到出发点。 35．174千米 【详解】甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到、两地后，又共同行完一个间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行个间的路程．甲、乙速度和：(千米)，个间路程：(千米)，、相距：(千米)． 36．20千米 【详解】阿呆和阿瓜两人相遇时间为：(小时)，狗共跑路程为：(千米)． 37．39千米/小时 【详解】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度．所以： 卡车速度为：（千米/时） 全程：（千米） 丙车速度为：（千米/时） 38．38.16千米 【分析】第一次相遇在距B地12.8千米处，此时两车共行了1个全程，自行车行了12.8千米，即每共行1个全程自行车就行12.8千米，第二次相遇时，两车共行3个全程，则自行车共行12.8×3＝38.4千米，此时自行车距离A地0.24千米，已知自行车行驶了1个全程多0.24千米，所以让自行车行驶的总路程减去0.24千米，即是AB之间的距离。 【详解】3×12.8－0.24 ＝38.4－0.24 ＝38.16（千米） 答：AB两地间的路程是38.16千米 【点睛】此题属于两次相遇问题，解题关键是找出第一次相遇和第二次相遇两人共同行驶的路程和各自行驶的路程分别是多少。 39．3000 【详解】第一次是一个相遇过程，相遇时间为：小时，相遇地点距离点：千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：小时，乙车在此过程中走的路程为：千米，即5圈又3千米，那么这时距离点千米． 此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离点千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了点，并且行驶的方向与最开始相同． 所以，每4次相遇为一个周期，而，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与点的距离是3000米． 40．330km 【详解】快车慢车总共花的时间是一样的.快车每小时比慢车多走35千米,多行驶了210千米,说明一共行驶了210÷35=6小时.第二次相遇两辆车一共行驶了3个车站的距离． （100+65）×（210÷35÷3）=330（km） 41．12小时 【分析】甲车到达西城后返回与乙车相遇时，两车一共走了2个全程． 【详解】750×2÷（68+57） =1500÷125 =12（小时） 答：两车从出发到相遇一共经过12小时． 42．62.5厘米 【分析】第一次相遇，两人共同走了一个全长；从第二次相遇到第三次相遇，两人又走了两个全长，从开始到第三次相遇，两人共走了5个全长，5个全长除以速度和求出相遇时间是20×5÷（0.5＋0.3）=125秒，再乘大警卫的速度就是所求． 【详解】解：20×5÷（0.5＋0.3）×0.5 =100÷0.8×0.5 =125×0.5 =62.5（厘米） 答：当他们第三次相遇时，大警卫走了62.5厘米． 43．B：110米/分；C：35米/分 【分析】A在第一次遇上B后1.5分钟第一次遇上C，再经过2.5分钟第二次遇上B。则A与B跑一圈的时间是1.5＋2.5＝4（分钟），于是可以求出A、B的速度和是1100÷（1.5＋2.5）＝275（米/分）。再根据A的速度与B的速度的比是3∶2，求出A的速度与B的速度。A和C跑一圈的时间是1.5＋2.5＋1.5＝5.5（分钟），这样可以求出A和C的速度和，进而求出C的速度。 【详解】A、B的速度和：1100÷（1.5＋2.5）＝275（米/分） A的速度：275×＝165（米/分）   B的速度：275×＝110（米/分） C的速度：1100÷（1.5＋2.5＋1.5）－165＝35（米/分） 【点睛】本题考查了按比例分配应用题及简单的行程问题。 44．33 【详解】甲车每小时比乙车快(千米)．则5小时后，甲比乙多走的路程为(千米)．也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为(千米/小时)，卡车在与甲相遇后，再走(小时)才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程．由此，丙的速度也可求得，应为：(千米/小时)． 45．1224千米 【分析】 如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：36÷3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离． 【详解】①从出发到第二次相遇时两车行驶的时间：216÷（54-48）=36（小时） ②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷3=12（小时） ③甲乙两站的距离：（54+48）×12=1224（千米） 答：求甲乙两站相距1224千米． 46．3小时15分 【分析】画一张示意图： 图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于(4.8+10.8)=1.3(千米) 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）. 这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间. 小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地时间及 从乙地到甲地需要的时间均可求． 【详解】(4.8+10.8)=1.3(千米) 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟） 130÷2=65（分钟） 130＋65=195（分钟）＝3小时15分 答：小李从乙地到甲地需要3小时15分. 47．24 【详解】画出反映交通灯红绿情况的 s t-图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是 0.5 千米／分钟，此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要 24分钟． 48．15 【详解】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法． 他先画了如下一幅图： 这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况． 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船． 49．2100米 【详解】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要分钟到达山脚，也就是距离山脚还有（米），所以山顶到山脚的距离为（米）． 50．6d/7 【详解】设总距离为d，总共用时d/(15+20)，两车相遇，所以鸟飞了30*d/(15+20)=6d/7． 学科网（北京）股份有限公司 $$