小升初典型奥数：行程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

行程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 二、追及问题 1．追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 三、流水行船问题 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题． 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度＝船速+水速，（1） 逆水速度＝船速﹣水速．（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程． 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速＝顺水速度﹣船速， 船速＝顺水速度﹣水速． 由公式（2）可以得到： 水速＝船速﹣逆水速度， 船速＝逆水速度+水速． 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量． 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2． 四、环形跑道问题 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 五、列车过桥问题 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和． （2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和． （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度． 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙两车从相距900km的两地相向而行，乙车速度为每小时100km。甲车速度与乙车速度的比是4∶5，求几小时后两车相遇？ 【答案】5小时 【分析】先根据甲乙两车的速度比求出甲车的速度，再利用“相遇时间＝总路程÷（甲车速度＋乙车速度）”求出两车的相遇时间，据此解答。 【详解】甲车速度：100÷5×4 ＝20×4 ＝80（km） 相遇时间：900÷（80＋100） ＝900÷180 ＝5（小时） 答：5小时后两车相遇。 【点睛】根据比的应用求出甲车的速度，并掌握相遇问题的计算公式是解答题目的关键。 例题2：甲、乙两人从相距200米的两个地方同时相向而行，不停留的往返于两地之间，如果甲每分钟行65米，乙每分钟行70米，当两人第一次回到各自的出发地点时，甲行了多少米？ 【答案】5200米 【分析】根据甲每分钟行65米，乙每分钟行70米，可以判断出两人速度间的关系，同时因为两人运动所用的时间相同，因此两人所行路程的关系与速度的关系完全相同．由此即可推出甲所行的路程．值得注意的是，当甲走了13个全程，乙走了14个全程时，甲并没有回到出发的地点，要想回到出发地，全程的个数必须是偶数． 【详解】解：因为65÷70=，可以看出当甲行了13份的路程时，乙就行了14份的路程，因此当甲走了13个全程时，乙就走了14个全程．当甲走了13×2=26（个）全程时，乙同时走了14×2=28（个）全程．两人才各自回到出发的地点，所以，甲走了200×26=5200（米）． 例题3：甲、乙两辆汽车从东、西两城相对开出，已知甲车行完全程用10小时，乙车行完全程用15小时，当两车相遇时甲车比乙车多行12千米，问：东西两城相距多少千米？ 【答案】60千米 【详解】根据题意可知相遇时间为：（时），那么甲车相遇时行了全程的，乙车行了全程的．甲车多行的12千米正好对应全程的，这样就能求出全程． 方法一：1÷（+）=6  （时） 12÷（）=60（千米） 方法二：甲车1小时比乙车1小时多行全程的-= 相遇时间为1÷（+）=6  （时） 所以全程为12÷6÷=60（千米） 答：东西两城相距60千米． 例题4：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。问： （1）8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？ （2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？ 【答案】（1）5辆；6辆     （2）3辆 【分析】分析各辆车的出发和到达时间，判断两辆车是否相遇，找出各辆车遇到的车辆的出发时间。 运用“折线示意图”能更好地说明整个行程过程。从“8：30”引出的线段与其他线段一共有5个端点，所以8：30从A站发出的车一共遇到5辆从B站发出的车，同样的9：00从A站发出的车一共遇到6辆从B站发出的车，11：00从A站发出的车一共遇到3辆从B站发出的车。 【详解】（1）从A站发车的司机看到的车辆包括两类： 一类是他自己发车以前，已经从B站出发但还没到达A站的所有车辆，也就是发车前80分钟内B站所发的所有车辆。 另一类是他发车以后到他抵达B站这段时间内从B站发出的所有车辆，即发车后105分钟内从B站开出的所有车辆。 这就是说在A站车辆出发前80分钟到出发后105分钟之间这185分钟时间区间内，B站发出的所有车辆，该司机都能看到。实际上这185分钟中，只有发车前60分、发车前30分、发车当时、发车后30分、发车后60分、发车后90分，有车辆从B站开出，所以8：30从A站发车的司机能看到8：00到10：00从B站发出的5辆车，而9：00从A站发车的司机能看到8：00到10：30从B站发出的6辆车。 （2）11点以后不再有车辆从B站发出，11点发车的司机不可能看到他发车后105分钟内从B站开出的车，所以他只能看到3辆车。 【点睛】考查了间隔发车问题。对于一般间隔发车问题，可以直接利用公式或者方程解答。比较复杂的可以用柳卡图。 例题5：甲乙两站相距255千米，一列客车从甲站开出，一列货车从乙站开出，2.5小时后相遇。客车每小时行48千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】54km 【分析】设货车每小时行x千米，甲乙两站相距255千米，一列客车从甲站开出，一列货车从乙站开出，2.5小时后相遇，可知总路程是255米， 时间是2.5小时。根据公式：路程＝速度和×相遇时间列方程即可。 【详解】解：设货车每小时行x千米。 （48＋x）×2.5＝255 48×2.5＋2.5x＝255 120＋2.5x＝255 2.5x＝135 x＝54 答：货车每小时行54千米。 【点睛】本题考查的是简单的行程问题，根据路程＝速度和×相遇时间列式即可。 第三部分 高频真题 1．某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站．他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行．如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？ 2．甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距千米，那么各个班的步行距离是多少？ 3．学校和部队驻地相距千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行千米，小宙每小时行千米．当小宇走了千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？ 4．、两人同时自甲地出发去乙地，、步行的速度分别为米/分、米/分，两人骑车的速度都是米/分，先骑车到途中某地下车把车放下，立即步行前进；走到车处，立即骑车前进，当超过一段路程后，把车放下，立即步行前进，两人如此继续交替用车，最后两人同时到达乙地，那么从甲地到乙地的平均速度是每分钟多少米？ 5．一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时相对开出，10小时后在途中相遇。已知货车平均每小时行46千米，客车每小时比货车快8千米。甲、乙两地相距多少千米？ 6．甲乙两港相距256千米。一艘客船和一货船分别从甲、乙两港同时出发，相向而行，经过4小时相遇。客船的速度是36千米/时，货船的速度是多少千米/时？（列方程解答） 7．一辆客车和一辆货车从相距260千米的A、B两地同时出发，相向而行，客车每时行驶48千米，货车每时行驶56千米。两车出发后几时相遇？（根据题目中的信息写出等量关系，再依据等量关系列方程解答。） 8．甲、乙两车同时从两地相对开出，两地相距285千米，5小时后相遇。甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解答） 9．老王开汽车从A到B为平地（见下图），车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？ 10．在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑比赛．1号队员的平均跑步速度是每秒6米，2号队员平均每分钟跑0．8圈．当1号队员与2号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，l号队员距离终点还有多远？ 11．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，6小时后相遇在C点，如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还是从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点D距点C12千米，如果乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇地点E距点C16千米。甲车原来每小时行多少千米？ 12．甲、乙两列火车同时分别从A、B两地相对开出，甲车的速度是58千米／小时，乙车的速度是46千米／小时，甲、乙两车相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，立即按原路返回，两车从开始到第二次相遇共用9小时，求A、B两地相距多少千米？ 13．A、B两地相距480km，甲走完全程需要6小时，乙走完全程需要12小时，现在甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，相遇之后甲立即返回，乙继续向A地前进，当甲返回到A地时，乙距离A地多少千米？ 14．一列火车通过200米的大桥需要80秒，同样的速度通过144米长隧道需要72秒。求火车的速度和车长。 15．一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？ 16．轮船往返于相距240千米的两港之间，逆水速度为每小时18千米，顺水速度为每小时26千米，有一汽艇在静水中的速度为每小时20千米，往返于两港之间需要多少时间？ 17．有一条长2千米的小路，小明和小红同时从这条小路的两头相向而行，小明的速度是每分钟70米，小红的速度是每分钟55米，经过多少分钟两人相遇？ 18．一艘小船往返于一段长120千米的航道之间，上行时行了15小时，下行时行了12小时，求船在静水中航行的速度与水速各是多少？ 19．甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇．那么绕湖一周的行程是多少？ 20．田田坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他的窗口．后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒．已知货车车长180米，求货车的速度． 21．六年级1班和2班的同学去两河公园春游，但只有一辆校车，1班的学生坐车从学校出发的同时，2班学生开始步行，车到途中某处，让1班学生下车步行，车立即返回接2班学生上车，并直接开往公园，两个班的学生的步行速度均为每小时5千米，汽车载学生的速度为每小时50千米，空车行驶每小时60千米，问：要使两班学生同时到达公园，1班步行了全程的几分之几？ 22．甲地到乙地的距离是，一辆货车从甲地开往乙地，速度是50千米/时，同时另一辆小轿车车从乙地开往甲地，经过4个小时（未相遇），两车相距40千米，那么小轿车每小时行多少千米？ 23．如图，在一条马路边有A、B、C、D四个车站，甲、乙两辆相同的汽车分别从A、D两地出发相向而行，在BC的中点相遇。已知它们在AB、BC、CD上的速度分别为30千米/时、40千米/时、50千米/时。如果甲晚出发1小时，则它们将在B点相遇；如果乙在每一段上的速度都减半，而甲的速度不变，它们的相遇地点离B点65千米，请求出A，D之间的距离。 24．甲、乙两车同时同地出发去同一地点，甲车速度为42千米／小时，乙车速度为35千米／小时．途中甲车停车5小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，求两地间的距离？ 25．一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑 8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步．猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 26．东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米．乙车每小时行多少千米？ 27．学校组织学生步行去野外实习，每分钟走80米，出发9分钟后，班长发现有重要东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再出发时发现又耽搁了18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米／分，当他追上学生队伍时距目的地还有120米．求走完全程学生队伍步行需多长时间？ 28．甲、乙两人同时从A、B两地骑车相向而行，甲每小时行驶15km，甲碰到乙后再骑2小时到B地，乙再骑45km到达A地．求乙的速度． 29．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他过桥的平均速度. 30．绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行．小王以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟．两人出发后经过多长时间第一次相遇？ 31．两地相距880千米，甲乙两列火车同时从两地相对开出，4小时相遇，已知甲乙两列火车的速度比是6∶5，甲乙两列火车每小时各行多少千米？ 32．小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑自行车去追，每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？ 33．甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样一段距离需要15小时，返回原地需要多少小时？ 34．小军和小琴两人同时从相距2千米的两地相向而行。小军每分钟行120米，小琴每分钟行80米。如果一只狗与小军同时出发，同向而行。当它遇到小琴后，立即回头向小军跑去。这样来回不断，直到小军和小琴相遇为止，这时狗一共跑了4千米。这只狗每分钟行多少米？ 35．轮船从甲港开往乙港，顺流而下每小时20千米，返回时逆流而上用了60小时，已知水速是每小时4千米，甲乙两港相距多少千米？ 36．甲乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶，与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶，当丙行了30千米时与甲相遇，相遇后甲立即掉头，并且将速度提高到原来的2倍，当甲乙两车相遇时，丙行驶了40千米。当乙丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么AB两地的距离是多少千米？ 37．两地间的路程是500千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇，甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？（先写出等量关系，再列方程解答） 38．甲、乙两名同学在周长300米的圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，他们第十次相遇时，甲还跑多少米才能回到出发点？ 39．客车从甲地到乙地要10小时，货车从乙地到甲地要15小时，两车同时从两地相对开出，相遇时客车比货车多行了90千米，甲、乙两地之间的距离是多少千米？相遇时客车和货车各行了多少千米？ 40．客车和货车同时从甲乙两地相对开出，在距离中点30千米处相遇，已知客车与货车的速度比是5∶3，甲乙两地相距多少千米？ 41．甲、乙两车同时从相距300km的两站相向开出，到达对方站后立即返回．经过5小时甲、乙两车在途中相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了120km．求两车的速度． 42．A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是每秒多少米？ 43．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6∶5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？ 44．甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间. 参考答案： 1．见详解。 【分析】如果送到车站，汽车返回再接人，那么到车站的人显然就闲着了，这不利于提高效率，所以，方法应该是：汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近，总体来说就是人腿不停，车轮不停，最高效率.思路： （1）150人，50个坐车；剩下100个人开始步行A50个人坐车到第一个下车点下车向车站步行； （2）100人，50个坐车：剩下50个人开始步行，B50人追上A50人然后下车一起步行 （3）50人坐车，到达车站。 如图： 由于汽车走的时候人在走，总时长为T，在期间人走用时也为车走用为时T，这样人走的距离为4T，由于汽车往返了两次，由于往返的路程都是一样长的，所有汽车在总过程前进用时为T，每车人到达终点的5距离都为车走距离加上人走的距离为21千米，所以方程为4T＋36×T＝21，解此方程即可。 【详解】汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近。总体来说就是人腿不停，车轮不停，最高效率。设总用时为T，如图： 由图可知，这样人走的距离为4T，汽车在总过程前进用时为T，可得： 4T＋36×T＝21 T＝21 T＝ 小时＝1小时52分30秒〈1小时55分钟 答：汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近。总体来说就是人腿不停，车轮不停，效率最高，用时1小时52分30秒。 【点睛】本题考查行程问题中的接送问题，关键思路是“人腿不停，车轮不停，效率最高”。 2．甲班20千米，乙班20千米 【详解】由于汽车速度是甲乙两班步行速度的倍，设乙班步行份，汽车载甲班到点开始返回到点相遇，这样得出，汽车从点返回最终与乙班同时到达点，汽车又行走了份，所以总路程分成份，所以每份千米，所以各个班的步行距离为千米． 3．1千米 【详解】追及时间为：(小时)，此时距部队驻地还有：(千米)． 4．米 【详解】在整个行程中，车是从甲地到乙地，恰好过了一个全程，所以、两人步行的路程合起来也恰好是一个全程．而步行的路程加上骑车的路程也是一个全程，所以步行的路程等于骑车的路程，骑车的路程等于步行的路程． 设步行米，骑车米，那么步行米，骑车米．由于两人同时到达，故所用时间相同，得：，可得． 不妨设步行了200米，那么骑车的路程为300米，所以从甲地到乙地的平均速度是 (米/分)． 5．1000千米 【分析】题意可知，“10小时在途中相遇”说明两辆车都行了10小时，数量之间存在以下相等关系：（货车速度＋客车速度）×相遇时间＝总路程．或客车速度×客车行驶时间＋货车速度×货车行驶时间＝总路程． 【详解】10×（46＋8＋46） ＝10×100 ＝1000（千米） 答：甲乙两地相距1000千米． 【点睛】本题要注意的是客车和火车在途中相遇，说明两辆车行驶的时间是相同的，都是10小时。 6．28千米/时 【分析】由题意可知，设货船每小时行x千米/时，根据速度×时间＝路程，根据客船的路程＋货船的路程＝256，据此列方程，解方程即可。 【详解】解：设货船的速度是x千米/时。 36×4＋4x＝256 144＋4x＝256 4x＝256－144 4x＝112 x＝112÷4 x＝28 答：货船的速度是28千米/时。 【点睛】本题考查相遇问题，分别求出货船和客船的路程是解题的关键。 7．等量关系见详解；2.5时 【分析】此题属于相遇问题，（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两地之间的距离，设两车出发后x时相遇，列出方程解答即可。 【详解】解：设两车出发后x时相遇。 （客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两地之间的距离 （48＋56）×x＝260 104x＝260 104x÷104＝260÷104 x＝2.5 答：两车出发后2.5时相遇。 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出等量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 8．27千米 【分析】设乙车每小时行x千米，根据两车的速度和×相遇时间＝总路程，列出方程。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 （x＋30）×5＝285 5x＋30×5＝285 5x＝285－150 5x＝135 x＝135÷5 x＝27 答：乙车每小时行27千米。 【点睛】用方程解决问题，关键是找出等量关系式，再根据等式的性质解方程。 9．2.4小时 【详解】设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5＋2x÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）． 10．1400米 【详解】先统一两个队员跑步的速度单位：l号队员：6×60=360（米／分钟）；2号队员：400×0．8=320（米／分钟） 追及时间：400÷（360-320）=10（分钟） 此时1号队员跑了：360×10=3600（米） 距离终点：5000-3600=1400（米） 答：l号队员距终点还有1400米． 11．30千米 【分析】由于“如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米”与“如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米”，说明两次改速后两车的速度和相同，因此改变速度后，从出发到相遇所需要的时间仍相同。两次改变速度后相遇地点相距16＋12＝28千米，所以从出发到两车相遇的时间为：（16＋12）÷5＝5.6（小时）。根据甲车速度不变，6小时行到点C，5.6小时只能行到点D，相差12千米，所以甲车原速为：12÷（6－5.6）＝30（千米/时）。 【详解】从出发到两车相遇的时间为：（16＋12）÷5＝28÷5＝5.6（小时） 通过上面的分析得：对于甲车，再比较第一次和第二次相遇，速度没变，行走6小时在C点相遇，行走5.6小时，则少走了12千米，即甲0.4小时走12千米。 所以甲原来每小时行： 12÷（6－5.6） ＝12÷0.4 ＝30（千米） 答：甲车原来每小时行30千米。 【点睛】此题的解答，关键是比较第二次和第三次的相遇情况，距离都是全程，而速度和都是：甲＋乙＋5，说明自出发至相遇的时间都是一样的。 12．312千米 【分析】甲、乙两车从开始出发到第一次相遇共同行完一个A、B间的路程，当甲到达B地，乙到达A地时，共同行完两个A、B间的路程．甲、乙分别从B地、A地返回到第二次相遇时，又共同行完一个A、B间的路程，则从开始到两车第二次相遇，9个小时，两车共同行驶了A、B间路程的3倍． 【详解】甲、乙两车的速度和：58+46=104（千米／小时） 3个A、B间的路程：104×9=936（千米） A、B间的距离：936÷3=312（千米） 答：A、B两地相距312千米． 13．160 【分析】先分别算出甲乙的速度，再算出甲乙相遇时用了几个小时，再算出甲返回到A地时，距离乙从B地出发过去了几个小时，用12减去这几个小时再乘上乙的速度即可算出乙距离A地多少千米。 【详解】甲的速度：480÷6＝80（千米/时） 乙的速度：480÷12＝40（千米/时） 甲、乙相遇时间：480÷（80＋40） ＝480÷120 ＝4（小时） 乙距离出发的时间过去了：2×4＝8（小时） 所以乙距离到达A地的时间还剩：12－8＝4（小时） 所以乙距离A地的路程还剩：40×4＝160（千米） 答：乙距离A地还有160千米。 【点睛】本题考查了学生对问题的分析理解能力，对时间、路程、速度三者关系的熟练掌握程度。 14．速度7米/秒，车长360米 【分析】根据路程差÷时间差＝速度，路程差为200－144＝56（米），时间差为80－72＝8（秒）据此求出速度；车长＝路程－桥长。 【详解】速度：（200－144）÷（80－72） ＝56÷8 ＝7（米/秒） 车长：80×7－200 ＝560－200 ＝360（米） 答：火车的速度是7米/秒，车长360米。 【点睛】因为车长是未知的，每次所行路程也是未知的，解题关键是可以求出两次的路程差和所用时间差，运用公式速度＝路程差÷时间差。 15．300米 【详解】1200÷（75—15）= 20（米） 20×15 = 300（米） 答：火车长300米． 16．25小时 【分析】根据题意，轮船的逆水速度是每小时18千米，顺水速度是每小时26千米，由于逆水速度＝船速－水速，顺水速度＝船速＋水速，由和差公式可得：水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2；继而可以求出这艘汽艇的顺水速度与逆水速度，然后再进一步解答即可。 【详解】水速：（26－18）÷2＝4（千米/时） 顺水速度：20＋4＝24（千米/时） 逆水速度：20－4＝16（千米/时） 往返两港的时间：240÷24＋240÷16＝25（小时） 答：这艘汽艇往返于两港之间共需25小时。 【点睛】要求这艘汽艇往返于两港之间所需的时间，需要求出这艘汽艇的顺水速度与逆水速度，而解决问题的关键又在于要求这段航程的水速，然后根据轮船的逆水速度与顺水速度，由和差公式可以求出水速，然后再进一步解答即可。 17．16分钟 【分析】根据题意，把千米化成米，先求出两人的速度和，再根据路程除以速度等于时间，即可求出两人相遇的时间，据此解答即可。 【详解】2千米＝2×1000＝2000米 2000÷（70＋55） ＝2000÷125 ＝16（分） 答：经过16分钟两人相遇。 【点睛】本题解答的关键是先求出两人的速度和，再根据路程、速度、时间的关系解答，注意：千米化成米乘进率1000。 18．静水中航行的速度是每小时9千米，水速是每小时1千米 【分析】求船在静水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的时间就是逆行速度，路程除以下行时间就是顺水速度．顺水速度与逆水速度的和除以2就是船速，顺水速度与逆水速度的差除以2就是水速． 【详解】逆水速度：120÷15=8（千米/小时） 顺水速度：120÷12=10（千米/小时） 船速：（10+8）÷2=9（千米/小时） 水速：（10--8）÷2=1（千米/小时） 答：船在静水中航行的速度是每小时9千米，水速是每小时1千米． 19．4.2 【详解】30分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）． 20．12米/秒 【分析】田田坐在列车上，货车用6秒通过他的窗口，这是一个相遇问题，是田田与货车相遇，因此与列车车长无关．假设田田不动，则货车行驶了一个货车车长，用时6秒．由速度和=全程÷相遇时间，可求田田与货车的速度和，田田的速度即列车的速度．那么只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度，此问题可解． 【详解】列车与货车的速度和：180÷6=30（米／秒） 列车的速度：234÷13=18（米／秒） 货车的速度：30－18=12（米／秒） 答：货车每秒钟行驶12米． 【点睛】此问题不同于单纯的列车相遇，因为所给的条件是从在车上的人的角度给出的，而人在此问题中是被看做一点，没有长度．列车过隧道也是按照从田田进隧道，到出隧道来计算时间的，因此与列车的车长无关． 21． 【分析】由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达公园，两个班的同学步行的路程一定要一样长，所以设全程为1，第一班步行走的路程为，（二班步行的路程也应为x）则所用时间为，这段时间内车一直没有停，用时速50千米送到距离公园千米处返回走的路程为1－，用时速60千米所跑返回的路程为1－2，由此据路程÷速度＝时间可得方程： ，解此方程即可。 【详解】解：设全程为1，一班步行的路程为，（二班步行的路程也应为），则可得方程： 60＝6（1－）＋5（1－2） 60＝6－6＋5－10 76＝11 ＝ 答：1班步行了全程的。 【点睛】本题考查发车间隔问题，完成本题的关键是明确两个班的同学步行的路程一样长。 22．75千米 【分析】根据题意可知，货车行驶的距离加上小轿车行驶的距离再加上两车相距距离，就是甲地到乙地的距离，设小轿车每小时行x千米，货车4小时行驶的距离是50×4千米，小轿车4小时行驶4x千米，列方程：50×4＋4x＋40＝540，解方程，即可解答。 【详解】解：设小轿车每小时行x千米。 50×4＋4x＋40＝540 200＋4x＋40＝540 4x＝540－240 4x＝300 x＝300÷4 x＝75 答：小轿车每小时行75千米。 【点睛】本题考查速度、时间、距离三者关系，根据三者关系列方程，解方程。 23．200千米 【分析】已知它们在AB、BC、CD上的速度分别为30千米/时、40千米/时、50千米/时，由于在BC的中点相遇，所以甲走AB路程与乙走CD路程所用时间相同，因此AB：CD＝30：50＝3：5，因为如果甲晚出发1小时，则它们将在B点相遇，所以乙走BC段用时为1小时，所以BC＝40÷1＝40千米，如果乙在每一段上的速度都减半，而甲的速度不变，则甲到B点，乙走CD的一半，甲到C点时，又走1小时，乙又走了25千米，甲乙还差65﹣40＝25千米相遇，所CD＝（25＋25）×2＝100千米，则AB＝100×＝60千米，所以AD＝60＋40＋100＝200千米。 【详解】AB：CD＝30：50＝3：5 BC＝40÷1＝40（千米） CD＝[（65﹣40）＋50÷2]×2 ＝[25＋25]×2 ＝100（千米） 100×＋40＋100 ＝60＋40＋100 ＝200（千米） 答：AD相距200千米。 【点睛】完成本题要认真分析所给条件中的距离、速度与时间之间的关系，然后解答。 24．840千米 【分析】此题也可被看做是追及问题，甲车在中途停留5小时，比乙车迟1小时到达．说明走这段路程甲车比乙车少用5-l=4（小时）．因为甲车的车速比乙车快42-35=7（千米／小时），那么将此题转化为追及问题的形式为，乙车先开出4小时，然后甲车开出，甲、乙两车同时到达目的地．路程差：35×4=140（千米），速度差为7千米／小时，因此追及时间可求，即140÷7=20（小时），也是甲车行驶完全程所需的时间．则两地间的距离可求． 【详解】追及路程：35×（5-1）=140（千米） 追及时间：140÷（42-35）=20（小时） 两地之间的距离：42×20=840千米） 答：两地间的距离是840千米． 【点睛】此题目求解的关键是将题目中的条件转化成追及问题来考虑．由时间差进而确定路程差之后，问题就容易解决了． 25．192步 【详解】狗跑12步的路程等于兔跑32步的路程，狗跑12步的时间等于兔跑27步的时间．所以兔每跑27步，狗追上5步（兔步），狗要追上80步（兔步）需跑[27×（80÷5）＋80]÷8×3＝192（步） 26．30千米 【分析】 从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间． 【详解】（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时） （2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米） （3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5-15=90（千米） （4）乙车每小时行多少千米？ 90÷3=30（千米） 答：乙车每小时行30千米． 27．53.5分钟 【分析】此题中的追及问题发生在班长返回后，从学校出发追学生队伍，此时学生队伍已走出一段距离．这段距离即路程差．由路程=速度×时间，学生行走速度已知，学生先走的时间：9+9+18=36（分钟），因为以原速返回，则返回学校这段路程所用时间也是9分钟．可求路程差=80×36=2880（米）．由追及时间=路程差÷速度差，可知班长用2880÷（260-80）=16（分钟）追上学生队伍．那么全程可求，学生队伍走这段路所用的时间易知． 【详解】班长从学校出发时与学生队伍的距离：80×（9+9+18）=2880（米） 追上学生队伍所用的时间：2880÷（260-80）=16（分钟） 从学校到实习目的地全程：260×16+120=4280（米） 学生队伍行走所需时间：4280÷80=53.5（分钟） 答：学生走完全程需53.5分钟． 28．10千米/小时 【详解】甲后来骑了15×2=30（千米） 全程：30+45＝75（千米） 甲乙速度比45：30＝3：2 乙速度15×=10（千米/小时） 29．18米/秒 【详解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒） 30．2小时40分 【分析】根据题意，可以发现，每1小时5分，小王走4千米，休息5分钟，每1小时小张走6×=5（千米），休息10分钟，而湖一周的长度是24千米，很容易估算出两人相遇的时间应该在2个多小时．这样在两轮休息后不用休息两人就可以相遇．因此只要求出两轮休息后到相遇所用的时间，就可以使问题得以解决． 【详解】解：到第二轮休息时，也就是2小时10分，小王共走了4×2=8（千米），而小张走了5×2+6×=11（千米）．这时两人还相距24－（8＋11）=5（千米）．由于从此时到相遇已经不需要休息，因此，共同走完这5千米两人共需的时间是：5÷（4＋6）=0.5（时）=30（分）．所以，他们第一次相遇共需2小时10分＋30分=2小时40分． 31．甲：120千米；乙100千米。 【分析】根据路程÷相遇时间＝速度和，由两列火车的速度比，按比例分配分别算出两列火车的速度即可。 【详解】880÷4＝220（千米）， 甲车速度：220× ＝120（千米）；乙车速度：220× ＝100（千米） 答：甲列火车每小时行120千米，乙列火车每小时行100千米。 【点睛】解答此题的关键是求出甲乙两列火车的速度和。然后按比例分配解答即可。 32．3分钟 【详解】75×12÷(375－75)=3(分钟) 33．9小时 【详解】解：由题意得，甲船速＋水速＝360÷10＝36 甲船速－水速＝360÷18＝20 可见，（36－20）相当于水速的2倍，所以水速为每小时:（36－20）÷2＝8（千米） 又因为， 乙船速－水速＝360÷15， 所以乙船速为：360÷15＋8＝32（千米） 乙船顺水速为：32＋8＝40（千米） 所以乙船顺水航行360千米需要：360÷40＝9（小时） 答：乙船返回原地需要9小时。 34．400米 【分析】由于无论狗在两人之间跑了多少个来回，狗所走的时间与小军、小琴两人相遇所用的时间是一样的，问题转化为求小军、小琴两人相遇所用的时间，也就是狗行走的时间；再根据路程÷时间＝速度，这只狗每分钟行多少米，即可解答题目。 【详解】2千米＝2000米 2000÷（120＋80） ＝2000÷200 ＝10（分钟） 4千米＝4000米 4000÷10＝400（米） 答：这只狗每分钟行400米。 【点睛】本题属于相遇问题，要求小狗跑的速度，已知小狗跑的路程，关键是得到小狗跑的时间，然后用关系式：路程÷时间＝速度进行解答。 35．720千米 【分析】根据顺水速度和水流速度可以求出逆水速度。再根据速度×时间＝路程，代入求解即可。 【详解】逆水速度：20－4－4＝12（千米/时） 两地距离：12×60＝720（千米） 答：甲乙两港相距720千米。 【点睛】熟练掌握并灵活运用公式：逆水速度＝静水速度－水流速度，路程＝速度×时间。注意数量的对应。 36．54千米 【分析】此行程问题比较复杂，既有变速问题，又有多次相遇问题。我们可以分开考虑。 由图可知，甲到达某地又立即2倍速度返回，可以假设甲走了3份时间，因为往返两地总路程不变，速度和时间成反比，返回是去时速度的2倍说明去时用了2份时间，返回用了1份时间；乙的速度没有发生变化，我们可以假设一份时间内乙走的路程是a，可以得出整个行程过程中乙走的路程是3a；再回头考虑丙。根据题意，找出甲乙丙三人的行程与总路程的关系，列方程即可解答。 【详解】解：设甲一共走了3份时间，那么从A地到某地用了2份时间，从某地回到A地一共用1份时间； 根据第一次相遇丙行了30千米，可以计算出丙1份时间的路程：30÷2＝15千米，丙与乙相遇时丙一共行了30＋15＝45千米； 乙一份时间路程是a，那么3份时间内，乙走的路程是3a，故AB两地的距离是（3a＋45）千米； 甲3份时间内走了从A地到某地路程的2倍，所以甲第一次走的路程是：15＋3a； 甲乙两车相遇时，丙又走了40－30＝10千米，说明时间用了：10÷15＝份； 那么第二次相遇时，乙一共走的路程是：2a＋a，甲从某地返回走的路程是×（3a＋15），两项加起来正好是A地到某地的距离，据此等量关系可列方程： 3a＋15＝2a＋a＋×（3a＋15） 化简得 解得， 3a＋45＝3×3＋45＝54（千米） 答：AB两地的距离是54米。 【点睛】考查了复杂行程问题及列方程解决实际问题的能力。解答行程问题时，最好画出线段图，帮助理解。 37．（甲车行驶的速度＋乙车行驶的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的路程；60千米 【分析】找出等量关系，即（甲车行驶的速度＋乙车行驶的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的路程，据此设乙车每小时行x千米，列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 答：乙车每小时行60千米。 【点睛】明确题中的等量关系是解题的关键。 38．100米 【分析】甲乙每相遇一次共跑一圈，所以第十次相遇总共跑了：300×10=3000米。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，时间相同，根据路程比等于速度比即可求出甲、乙分别跑了多少米。最后用甲跑的路程除以300即可求解。 【详解】甲、乙第十次相遇共跑：300×10=3000（米） 甲总共跑：（米） 由于1400÷300=4（圈）……200（米） 则甲还跑：300-200=100（米） 答：甲还跑100米才能回到出发点。 39．450千米；270千米；180千米 【分析】由题意可知，货车每小时行全程的，客车每小时行全程的，相遇时间为1÷（＋），相遇时间×（－）求出客车比货车多行全程的分率，它对应的数量是90，据此用除法求出甲、乙两地之间的距离，进而求出相遇时客车和货车各行了多少千米。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝6（小时） 6×（－） ＝6× ＝ 90÷＝450（千米） （450＋90）÷2 ＝540÷2 ＝270（千米） 450－270＝180（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是450千米，相遇时客车和货车各行了270千米、180千米。 【点睛】根据工作量÷效率和＝工作时间求出两车的相遇时间是完成本题的关键。 40．240千米 【分析】根据距离＝速度×时间；时间相同；速度比等于距离比；因为客车与货车的速度比是5∶3，相遇时客车、货车行驶的路程的比就是5∶3，那么货车就行了全程的，此时在距中点30千米处相遇，即30千米就占全程的（）所以用30除以（）就是全程的路程。 【详解】30÷（） ＝30÷ ＝240（千米） 答：甲乙两地相距240千米。 【点睛】根据按比例分配问题以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的知识进行解答。 41．甲车：102千米/小时    乙车：78千米/小时 【详解】经过5小时相遇时,甲乙一共行驶了：300×3=900（千米） 甲车行驶了（900+120）÷2=510（千米） 乙车行驶了900-510=390（千米） 甲车速度：510÷5=102（千米/小时） 乙车速度：390÷5=78（千米/小时） 42．10米 【详解】本题采用折线图来分析较为简便． 如图，箭头表示水流方向，表示甲船的路线，表示乙船的路线，两个交点、就是两次相遇的地点． 由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是和的长度相同，和的长度相同． 那么根据对称性可以知道，点距的距离与点距的距离相等，也就是说两次相遇地点与、两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了千米和千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为． 而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为米/秒，那么两船在静水中的速度为米/秒． 43．264千米 【分析】 （红色表示乙车行驶的路程，黑色表示甲车行驶的路程）。 如图所示，两车二次相遇共走了3个全程，时间相同时，甲乙的路程比与速度比一样，也是6∶5。将全程分为11份，二次相遇共走了3个全程，则乙走的份数是（5×3）份，减去全程的11份，就是乙折返回来走的份数，对应的距离是96千米，用除法计算出一份的距离，再乘11，就是全程的长度。 【详解】1个全程的总份数：6＋5＝11（份） 二次相遇时两车共走了3个全程，乙走的份数是：5×3＝15（份） 乙折返时走的份数：15－11＝4（份） 每份长：96÷4＝24（千米） 全程：24×11＝264（千米） 答：福州到厦门全程264千米。 【点睛】明确二次相遇，两车共行走了3个全程是解题的关键。 44．小时 【详解】如图所示： 虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的6倍，如果将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离为6份，大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5份距离，……如此大巴车一共行驶了6＋5＋6＋5＋6＝28份距离，而A到F的总距离为8份，所以大巴车共行驶了28千米，所花的总时间为小时。 学科网（北京）股份有限公司 $$