内容正文:
2.1.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法法则
课后·知能演练
一、基础巩固
1.计算2+(-8)的结果是( )
A.-10 B.6 C.-6 D.10
2.下列说法正确的是( )
A.两数相加,其和大于任何一个加数
B.异号两数相加,其和小于任何一个加数
C.绝对值相等的异号两数相加,其和一定为零
D.两数相加,取较小加数的符号作为结果的符号
3.用算式表示下面的结果:
(1)温度由-2 ℃上升3 ℃;
(2)收入10元,又支出4元.
4.计算:
(1)(-13)+0;
(2)(-18)+(-7);
(3)6.5+(-6.5);
(4)(-32.8)+(+51.76);
(5)(-3)+(+2).
二、能力提升
5.小颖同学做这样一道题:计算|-4+△|.其中“△”是被墨水污染看不清的一个数,她翻开后面的答案,得知该题的计算结果是0,那么“△”表示的数是________.
三、思维拓展
6.定义“※”运算:
(+2)※(+13)=15,
(-10)※(-12)=22;
(-5)※(+13)=-18,
(+8)※(-10)=-18;
0※(+13)=-13,(-10)※0=10.
(1)请你认真思考上述运算,归纳“※”运算的法则:两数进行“※”运算时,同号得________,异号得________,并把绝对值________;特别地,0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算,都得这个数的________.
(2)计算:(+3)※(-8);
(3)计算:(-14)※[0※(+7)].(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致,写出必要的运算步骤)
【课后·知能演练】
1.C 2.C
3.解:(1)(-2)+3=+(3-2)=1.
(2)(+10)+(-4)=+(10-4)=6.
4.解:(1)(-13)+0=-13.
(2)(-18)+(-7)=-(18+7)=-25.
(3)6.5+(-6.5)=0.
(4)(-32.8)+(+51.76)=+(51.76-32.8)=18.96.
(5)=-=-.
5.4 解析:由题可知,|-4+△|=0,即-4+△=0,故△=4.
6.解:(1)正 负 相加 相反数
(2)(+3)※(-8)=-11.
(3)(-14)※[0※(+7)]
=(-14)※(-7)
=21.
2
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2.1.1 有理数的加法
第2课时 有理数的加法运算律
课后·知能演练
一、基础巩固
1.(-8)+11+(-2)+(-11)=(-8)+(-2)+[11+(-11)]=-10+0=-10,上面的计算所运用的运算律是( )
A.交换律
B.结合律
C.先用结合律,再用交换律
D.先用交换律,再用结合律
2.计算43+(-78)+27+(-52)时,若考虑“凑整法”,则运算律用得最为恰当的是 ( )
A.[43+(-78)]+[27+(-52)]
B.(43+27)+[(-78)+(-52)]
C.[43+(-52)]+[27+(-78)]
D.[27+(-78)]+[43+(-52)]
3.计算(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-2 021)+2 022+(-2 023)+2 024的值等于( )
A.-1 012 B.-1 011
C.1 012 D.1 013
4.若m,n互为相反数,则m+(-203)+n为________.
5.计算:
(1)(+7)+(-6)+(-7);
(2)(-)+(-)++(-);
(3)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1).
二、能力提升
6.出租车司机姚师傅某天上午沿一条东西向公路营运,如果规定向东为正,向西为负,那么他这天上午行车里程(单位:km)记录如下:
+5,-3,+6,-7,+6,-2,-5,+4,+6,-8.
假设出租车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)将第几名乘客送到目的地时,姚师傅刚好回到上午的出发点?
(2)将最后一名乘客送到目的地时,姚师傅距上午的出发点多远?在出发点的东侧还是西侧?
(3)若出租车的收费标准为:起步价8元(不超过3 km),超过3 km的部分每千米2元,则姚师傅在这天上午一共收入多少元?
三、思维拓展
7.阅读下面文字:
对于(-3)+(-1)+2+2,可以计算如下,原式=[-3+(-)]+[-1+(-)]+(2+)+(2+)
=[(-3)+(-1)+2+2]+________
=0+________
=________.
上面这种方法叫拆项法.
(1)请补全以上计算过程;
(2)类比上面的方法计算:(-2 024)+2 023+(-2 022)+2 021.
【课后·知能演练】
1.D 2.B
3.C 解析:(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-2 021)+2 022+(-2 023)+2 024=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+(-2 023+2 024)=1×1 012=1 012.
4.-203
5.解:(1)(+7)+(-6)+(-7)
=(+7)+(-7)+(-6)
=0+(-6)
=-6.
(2)
=
=1+(-1)=0.
(3)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)
=(5.6+4.4)+[(-8.1)+(-0.9)]
=10+(-9)=1.
6.解:(1)+5+(-3)+(+6)+(-7)+(+6)+(-2)+(-5)=0,所以将第7名乘客送到目的地时,姚师傅刚好回到上午的出发点.
(2)+5+(-3)+(+6)+(-7)+(+6)+(-2)+(-5)+(+4)+(+6)+(-8)=2,所以将最后一名乘客送到目的地时,姚师傅距上午的出发点2 km,在出发点的东侧.
(3)8×10+[(5-3)+(|-5|-3)+(6-3)×3+(|-7|-3)+(4-3)+(|-8|-3)]×2=80+23×2=126,所以姚师傅在这天上午一共收入126元.
7.解:(1)
(2)+2 023+2 021
=[-2 024+2 023+(-2 022)+2 021]+=-2+=-2.
3
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2.1.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
课后·知能演练
一、基础巩固
1.计算3-5=( )
A.2 B.-2 C.8 D.-8
2.计算-1-2=________.
3.计算2-|-3|的结果为________.
4.计算:
(1)(-7)-2;
(2)0-(-5);
(3)(-9)-(+4);
(4)(-1.4)-2.6;
(5)-(-);
(6)(-)-(-).
5.列式计算:
(1)一个数与-0.12的和为-0.36,求这个数;
(2)差是-7.8,被减数是0.18,减数是多少?
(3)一个数比8的相反数小3,求这个数.
二、能力提升
6.下面是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话.
请你完成下面的运算,并填写运算过程中的依据.
解:3-5
=3+( )(依据: )
=-( -3)
= .
三、思维拓展
7.某同学在计算-3-N时,误将-N看成了+N,从而算得结果是5,请你帮他算出正确结果.
【课后·知能演练】
1.B 2.-3 3.-1
4.解:(1)(-7)-2=(-7)+(-2)=-9.
(2)0-(-5)=0+5=5.
(3)(-9)-(+4)=(-9)+(-4)=-13.
(4)(-1.4)-2.6=(-1.4)+(-2.6)=-4.
(5)=1.
(6).
5.解:(1)(-0.36)-(-0.12)=-0.24.
(2)0.18-(-7.8)=7.98.
(3)(-8)-3=-11.
6.-5 减去一个数等于加上这个数的相反数 5 -2
7.解:根据题意,得-3与N的和是5,所以N=5=9,所以原式=-3-9=-12.
2
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2.1.2 有理数的减法
第2课时 有理数的加减混合运算
课后·知能演练
一、基础巩固
1.将(-2)-(+1)-(-5)+(-4)统一为加法运算,正确的是( )
A.(-2)+(+1)+(-5)+(-4)
B.(-2)+(-1)+(+5)+(-4)
C.(-2)+(+1)+(+5)+(+4)
D.(-2)+(-1)+(-5)+(+4)
2.如图所示,输入-2并按程序进行计算,输出结果为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.计算:
(1)-20-(-5)+(-13);
(2)(-7)-(-10)+(-8)-(+2);
(3)23+(-14)-35-(-10);
(4)-5+(-7)-(-2)+4+(-1).
二、能力提升
4.计算:4-12-+6,阅读解答过程,并按要求解答.
解:原式=4+(-12)+-+6 (第一步)
=4+6-+(-12) (第二步)
=11-+(-12) (第三步)
=-1- (第四步)
=-2 (第五步)
(1)上面解题过程存在错误,是从第________步开始错误的;
(2)写出正确的解答过程.
三、思维拓展
5.观察前三个图形并找出计算规律,利用同样的计算规律,得到第四个图形的计算结果为( )
A.-3 B.-5 C.5 D.9
【课后·知能演练】
1.B 2.A
3.解:(1)-20-(-5)+(-13)=-20+5-13=-28.
(2)(-7)-(-10)+(-8)-(+2)=-7+10-8-2=-7.
(3)23+(-14)-35-(-10)
=23-14-35+10=23+10-35-14
=-2-14=-16.
(4)-5+(-7)-(-2)+4+(-1)=-5+(-7)+(-1)+2+4=-13+6=-7.
4.(1)二 解析:由题意可得,第二步应该是+(-12);
(2)解:原式=4+(-12)++6
=+(-12)
=11-1+(-12)=10+(-12)=-2.
5.D 解析:根据前三个图形得到规律:左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和,即可得到答案.
(1+4)-(2+3)=5-5=0,
(2+4)-(-2+3)=6-1=5,
(-3+5)-(-1+6)=2-5=-3,
故(-3+5)-(-1-6)=2+7=9.故选D.
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2.2.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
课后·知能演练
一、基础巩固
1.下列各组数互为倒数的是( )
A.2和-2 B.3和-
C.-3和- D.0和0
2.计算(-18)×(-)=________.
3.写出下列各数的倒数:
(1)0.3;(2);(3)-;(4)-3.
4.计算:
(1)(+3)×(-2);
(2)0×(-4);
(3)(-)×(-1);
(4)(-15)×(-);
(5)(-1)×(-);
(6)-|-3|×(-2).
二、能力提升
5.计算:|-3|×6的结果为________.
6.已知有理数1,-8,+11,-2,请你任选两个数相乘,运算结果最大是________.
三、思维拓展
7.探究规律,完成相关题目.
小明定义了一种新的运算——&运算.
他按照该运算法则写出了一些算式:
5&2=7;(-3)&(-5)=8;
(-3)&4=-7;5&(-6)=-11;
0&8=8;0&(-8)=8;
(-6)&0=6;6&0=6.
(1)观察以上式子,类比计算:
①(-)&(-)=________,
②(-)&1=________;
(2)计算:(-2)&[0&(-1)].(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致,写出必要的运算步骤)
【课后·知能演练】
1.C 2.3
3.解:(1)0.3=,所以0.3的倒数是.
(2)4.
(3)-.
(4)-3=-,所以-3的倒数是-.
4.解:(1)(+3)×(-2)=-6.
(2)0×(-4)=0.
(3)×(-1)=.
(4)(-15)×=5.
(5)=-=1.
(6)-|-3|×(-2)=-3×(-2)=6.
5.18
6.16 解析:根据有理数乘法法则,知当两个数同号时,运算结果可能最大,选1和11时,1×11=11,选-8和-2时,-8×(-2)=16.
因为16>11,所以运算结果最大是16.
7.(1)① ②- 解析:①.
②&1=-=-=-.
(2)(-2)&[0&(-1)]=(-2)&1=-(1+2)=-3.
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2.2.1 有理数的乘法
第2课时 有理数的乘法运算律
课后·知能演练
一、基础巩固
1.下列算式中,积为负数的是( )
A.(-2)×(-5)
B.2×(-3.5)×(-6.5)
C.(-1.5)×(-2)×(-3)
D.(-1)×(-)×0
2.用简便方法计算:47×(-)+81×+26×(-0.125),其结果是( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
3.在2,-1,-5,4,-3这五个数中任取三个数相乘,其中最小的积是________.
4.计算:
(1)-2×3×(-4);
(2)(-3)×(-1)×2×(-6)×0×(-2);
(3)(-0.25)×(-25)×(-4);
(4)-8×().
二、能力提升
5.5个有理数相乘的积是负数,那么其中负乘数的个数最多有( )种可能.
A.2 B.3 C.4 D.5
6.定义一种新的运算“*”,规定:对有理数a,b,有a*b=4ab,如2*3=4×2×3=24.
(1)求3*(-4)的值;
(2)求(-2)*(6*3)的值.
三、思维拓展
7.学习有理数乘法后,老师让同学们计算39×(-5).有两位同学的解法如下,
小丽:原式=-×5=-=-199;
小军:原式=39+×(-5)=39×(-5)+×(-5)=-199.
小晨经过思考后也给出了他的解法:
原式=40-×(-5)=40×(-5)-①×(-5)=-200+②=③.
(1)请补全小晨的解题过程:
①________ ②________ ③________
(2)用你认为最合适的方法计算:
-19×8.
【课后·知能演练】
1.C
2.B 解析:47×+81×+26×(-0.125)
=47×+81×+26×
=(-47+81-26)×
=8×
=1.
3.-40
4.解:(1)-2×3×(-4)=2×3×4=24.
(2)(-3)×(-1)×2×(-6)×0×(-2)=0.
(3)(-0.25)×(-25)×(-4)=-0.25×25×4=-0.25×100=-25.
(4)-8×=-8×-8×+8×=-1-2+12=9.
5.B 解析:因为5个有理数相乘的积是负数,所以负乘数的个数是奇数.因为小于或等于5的奇数为1,3,5,所以有3种可能.
6.解:(1)因为a*b=4ab,
所以3*(-4)=4×3×(-4)=-48.
(2)因为a*b=4ab,
所以(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.
7.(1)① ② ③-199
(2)解:-19×8=-×8
=-
=-
=-159.
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2.2.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法法则
课后·知能演练
一、基础巩固
1.下列计算正确的是( )
A.0÷(-2)=0×(-)=-
B.1÷(-)=1×(-8)=-8
C.(-3)÷(-3)=-3×3=-9
D.(-32)÷(-8)=-32÷8=-4
2.算式(-)÷________=-3中的横线上应填( )
A.- B. C.- D.
3.计算:
(1)(-36)÷4;
(2)(-)÷(-);
(3)-0.25÷;
(4)1÷(-9);
(5)(-56)÷(-14).
二、能力提升
4.学习了有理数乘法运算后,黄老师给同学们讲了一道题的解法:
计算:39×(-12).
解:原式=(40-)×(-12)
=40×(-12)-×(-12)
=-480+
=-479.
请你灵活运用黄老师的解题方法计算:
(1)(-72)÷(-9);
(2)49÷(-).
三、思维拓展
5.阅读:比较的大小.
方法一:利用两数的差的正负来判断.
因为>0,
所以.
方法二:利用两数的商与1的大小来判断.
因为>1,
所以.
请从以上两种方法中任选一种你认为简单的方法比较下列有理数的大小:
(1)-和-;
(2).
【课后·知能演练】
1.B 2.D
3.解:(1)(-36)÷4=-9.
(2)=2.
(3)-0.25÷=-=-.
(4)1÷(-9)=-.
(5)(-56)÷(-14)=56÷14=4.
4.解:(1)÷(-9)=72÷9==72×=8+=8.
(2)49×(-8)=50×(-8)-×(-8)=-400+=-399.
5.解:(1)因为-=->0,
所以->-.
(2)因为<1,
所以.
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2.2.2 有理数的除法
第2课时 有理数的加、减、乘、除混合运算
课后·知能演练
一、基础巩固
1.计算9÷(-3)×的结果为( )
A.-1 B.1 C.9 D.-9
2.计算:-1÷×(-9)=________.
3.已知a是有理数,[a]表示不超过a的最大整数,如[3.2]=3,[-1.5]=-2,[0.8]=0,[2]=2等,那么[3.9]÷[3]×[-5.6]=________.
4.计算:
(1)(-1.5)×÷(-)×;
(2)(-81)÷÷(-8);
(3)(-12)×(-5)+(-4)÷.
二、能力提升
5.下面是小胡同学做过的一道题目,请先阅读解题过程,然后回答所提出的问题.
计算:(-48)÷36×(-).
解:原式=(-48)÷(-4)①
=12. ②
(1)上述解题过程中,从第________步开始出错(填序号),错因是 ;
(2)写出本题的正确解答过程.
三、思维拓展
6.请认真阅读材料:
计算(-)÷().
解法1:(-)÷()
=(-)÷[()-()]
=(-)÷()=(-)÷
=-×3=-.
解法2:原式的倒数为
()÷(-)
=()×(-30)
=-20+3-5+12
=(-20-5)+(3+12)=-10,
故原式=-.
根据你对所提供材料的理解,选择合适的方法计算:
(-)÷().
【课后·知能演练】
1.A 解析:9÷(-3)×=(-3)×=-1.
2.81 解析:-1÷×(-9)=-1×9×(-9)=81.
3.-6 解析:由题意得,[3.9]=3,[3]=3,[-5.6]=-6,[3.9]÷[3]×[-5.6]=3÷3×(-6)=-6.
4.解:(1)(-1.5)×
=
=.
(2)(-81)÷÷(-8)
=81×
=2.
(3)(-12)×(-5)+(-4)÷=60+(-4)×2
=60-8
=52.
5.解:(1)① 运算的顺序有误,没有按从左到右的顺序计算
(2)原式=.
6.解:原式的倒数为×(-42)=-7+9-28+12=-14,故原式=-.
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2.3.1 乘方
第1课时 乘方
课后·知能演练
一、基础巩固
1.-35表示的意义是( )
A.3和5相乘的相反数
B.5个3相乘的相反数
C.3个-5相乘
D.3个5相乘的相反数
2.化简(-1)2 024的结果为( )
A.2 024 B.-2 024
C.1 D.-1
3.-2×2×2×2改写成幂的形式为________.
4.计算:
(1)(-1)405=________;
(2)(-0.2)2=________;
(3)(-)2=________;
(4)(-1)4=________.
二、能力提升
5.下列各组数中,运算结果相等的是( )
A.(-5)3与-53 B.23与32
C.-22与(-2)2 D.()2与
6.在数(-3)2,(-2)3,-49,-24中,正数有________个.
三、思维拓展
7.拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合、拉伸,反复多次,就能拉成许多细面条.如图所示:
(1)第3次捏合后,可以拉出________根细面条;
(2)若拉出128根细面条,则捏合的次数是多少?
【课后·知能演练】
1.B 2.C
3.-24
4.(1)-1 (2)0.04 (3) (4)
5.A 解析:A项中,(-5)3=-125,-53=-125,故相等,符合题意;
B项中,23=8,32=9,故不相等,不符合题意;
C项中,-22=-4,(-2)2=4,故不相等,不符合题意;
D项中,,故不相等,不符合题意.
故选A.
6.1
7.解:(1)8 根据题意,得4×2=8,故第3次捏合后可以拉出8根细面条.
(2)由于128=27,因此若拉出128根细面条,则捏合的次数是7,故捏合了7次.
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2.3.1 乘方
第2课时 有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算
课后·知能演练
一、基础巩固
1.计算-32+2的结果是( )
A.7 B.11 C.-7 D.-4
2.找规律:1,4,9,16,( ),( ),49,64,81.
3.计算:
(1)(-2)2×(-)÷(-)2;
(2)(-1)×(-4)+22÷(7-5);
(3)-24÷(-4)3-(-)3×|-4|;
(4)-6÷(-)2-52+2×(-4)2.
二、能力提升
4.定义一种运算符号“★”:a★b=a2-ab,如:(-2)★3=(-2)2-(-2)×3=10,那么[(-3)★(-2)]★的结果是________.
5.观察下列等式的规律,解答相关问题.
第1行:42-22-12=0
第2行:62-42-12=8
第3行:82-62-12=16
第4行:102-82-12=24
按照上述规律,则第8行等式为________________________.
三、思维拓展
6.将一些数排列成下表中的4列:
排列
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
4
5
10
第2行
4
8
10
12
第3行
9
12
15
14
…
…
…
…
…
(1)第4行第1列的数是多少?直接写出答案;
(2)第17行的4个数之和是多少?请写出适当的过程.
【课后·知能演练】
1.C
2.25 36
3.解:(1)(-2)2×
=4×=4×=-1.
(2)(-1)×(-4)+22÷(7-5)=4+4÷2=4+2=6.
(3)-24÷(-4)3-×|-4|
=-16÷(-64)-×4=.
(4)-6÷-52+2×(-4)2
=-6÷-25+2×16
=-54-25+32
=-47.
4.8 解析:[(-3)★(-2)]★
=[(-3)2-(-3)×(-2)]★
=3★=32-3×=8.
5.182-162-12=56
6.解:(1)16.
(2)因为第17行第1列的数为172,第17行第2列的数为4×17,第17行第3列的数为5×17,第17行第4列的数为10+2×(17-1),
所以第17行的4个数之和是172+4×17+5×17+10+2×(17-1)=484.
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2.3.2 科学记数法
课后·知能演练
一、基础巩固
1.国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告(2022年)》显示,2022年我国数字经济规模达502 000亿元.用科学记数法表示502 000,正确的是( )
A.0.502×106 B.5.02×106
C.5.02×105 D.50.2×104
2.减少过度包装既节约资源又保护环境,据测算如果全国每年减少10%的过度包装纸用量,那么可减排二氧化碳3.12×106 t,把3.12×106写成原数为( )
A.312 B.31 200
C.3 120 000 D.312 000 000
3.若一个整数用科学记数法表示为1.25×1010,则原数中“0”的个数为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
4.地球的海洋面积约为361 000 000 km2,数据361 000 000用科学记数法表示为________.
5.用科学记数法写出的数-7.04×105的原数是________.
6.(1)用科学记数法表示下列各数:
①0.027×104;②-70 890.
(2)把下列用科学记数法表示的数还原成原数:①3.5×106;②-9.3×104.
二、能力提升
7.填一填:
(1)6.74×105的原数是________位整数;
(2)-3.251×107的原数是________位整数;
(3)9.610 4×1012的原数是________位整数.
8.若a=1.9×105,b=9.1×104,则a________b(填“<”或“>”).
三、思维拓展
9.“一粥一饭当思来之不易”.为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性,老师组织同学们进行了实际测算,称得1 000粒大米约重20 g.
(1)一粒大米约重多少克?
(2)按全国14亿人口来算,若每人每餐节约一粒大米,则每餐大约能节约大米多少千克?
(3)若把(2)中节约的大米换算成钱,按5元/kg计算,则大约可换算成多少万元?
【课后·知能演练】
1.C 2.C 3.B 4.3.61×108 5.-704 000
6.解:(1)①2.7×102;②-7.089×104.
(2)①3 500 000;②-93 000.
7.(1)6 (2)8 (3)13
8.> 解析:a=1.9×105=190 000,b=9.1×104=91 000,因为190 000>91 000,所以a>b.
9.解:(1)20÷1 000=0.02(g),
答:一粒大米约重0.02 g.
(2)0.02×14×108=2.8×107(g),
2.8×107 g=2.8×104 kg.
答:每餐大约能节约大米2.8×104 kg.
(3)2.8×104×5=1.4×105(元),
1.4×105元=14万元.
答:大约可换算成14万元.
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2.3.3 近似数
课后·知能演练
一、基础巩固
1.下列关于6.7×106的精确度说法正确的是( )
A.精确到十分位 B.精确到个位
C.精确到十万位 D.精确到百万位
2.用四舍五入法按要求对0.069 587分别取近似数,下列各项中正确的是( )
A.0.06(精确到百分位)
B.0.1(精确到十分位)
C.0.060(精确到千分位)
D.0.069 5(精确到0.000 1)
3.下列各数精确到什么位?请分别指出来.
(1)0.016;
(2)1 680;
(3)1.20;
(4)2.49万.
二、能力提升
4.586 300用科学记数法表示为________,2.70×105精确到________位,42 600精确到千位是________.
三、思维拓展
5.用四舍五入法精确到百分位得到近似数1.70,则原数可能是( )
A.1.694 B.1.694 9
C.1.695 D.1.705
【课后·知能演练】
1.C 2.B
3.解:(1)0.016精确到千分位.
(2)1 680精确到个位.
(3)1.20精确到百分位.
(4)2.49万精确到百位.
4.5.863×105 千 4.3×104 5.C
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