精品解析：苏科版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考检测卷试卷

八年级2024-2025上学期第一次月考检测卷试卷 （范围：第一章 第二章） （满分 140分，时间 120 分钟） 考试须知： 答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位. 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C D. 2. 如图，在四边形中，，，，则（ ）°. A. B. C. D. 3. 元旦联欢会上，3名同学分别站在△三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 4. 一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红打算只带其中两块去玻璃店并买回一块和以前一样的玻璃，她需要（　　） A. 带其中的任意两块 B. 带1，4或3，4就可以了 C. 带1，4或2，4就可以了 D. 带1，4或2，4或3，4均可 5. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ）． A. B. C. 13 D. 43 6. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知中，，，则中线的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 一个汽车牌在水中的倒影为 ，则该车牌照号码______． 10. 如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是___． 11. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 12. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__. 13. 如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为________． 14. 如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动_____分钟后，与全等． 15. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________ 16. 如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，___________°． 三、解答题（本大题共8小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤） 17. 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内涂黑2个小正方形，使它们成为轴对称图形． 18. 已知：如图，中，，于，于，相交于，连接．求证：平分． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称； （2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小； （3）△ABC的面积为　 　 ． 20. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）求证：≌； （2）连接，当，，时，求的长． 21. 如图，在中，，BD是平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且． （1）求证：； （2）若，，求AB的长． 22. 如图所示，在等边中，，点P从点C出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点A以的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为． （1）你能用含t的式子表示和的长度吗？请你表示出来． （2）出发几秒时，第一次为等边三角形？ （3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒时点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 23. 【观察发现】 如图1，和都是等腰直角三角形，连接和，、相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成角的度数．请说明理由． 【深入探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，且，连接、，Q为中点，连接．试探究线段与的关系，并加以证明． 24. 在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． （1）【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； （2）【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； （3）【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级2024-2025上学期第一次月考检测卷试卷 （范围：第一章 第二章） （满分 140分，时间 120 分钟） 考试须知： 答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位. 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 如图，在四边形中，，，，则（ ）°. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 3. 元旦联欢会上，3名同学分别站在△三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 4. 一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红打算只带其中的两块去玻璃店并买回一块和以前一样的玻璃，她需要（　　） A. 带其中的任意两块 B. 带1，4或3，4就可以了 C. 带1，4或2，4就可以了 D. 带1，4或2，4或3，4均可 【答案】D 【解析】 【分析】想要买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边或两个角及一条边即可． 【详解】解：由图可知，带上1和4相当于有两个角和一条边，所以可得两块三角形玻璃全等；同理，带上3和4也相当于有两角夹一边，同样也可以得三角形全等；2和4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，2又确定了底边的方向，继而可得全等； 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，联系实际，灵活运用所学知识是解题的关键． 5. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ）． A. B. C. 13 D. 43 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等以及求得是解题的关键． 根据垂直平分线得到、，结合的周长为得到，再根据的周长为即可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ∴、， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故选B． 6. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】要使△ABP与△ABC全等， 必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离， 即3个单位长度， 所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个， 故选C． 7. 已知中，，，则中线的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等知识点．延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到，使，则，则连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ∴ 故选：D． 8. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、轴对称最短问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关的性质与判定、正确作出辅助线是解题的关键． 先证推出，说明点F一定在一条直线上运动，作点D关于的对称点G，连接，根据轴对称可知 ,则，当最小时，最小，根据当G、F、B在同一直线上时最小，得出的最小值为线段的长，再根据勾股定理求解即可即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ，， ∵是等边三角形， ，， ， 在和中，， ∴ ∴， ∴的值为定值，点F一定在一条直线上运动， 作点D关于的对称点G，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵当G、F、B在同一直线上时，最小， ∴的最小值为线段的长， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ，， ， ， , ∴的最小值为，故C正确. 故选：C． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 一个汽车牌在水中的倒影为 ，则该车牌照号码______． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 10. 如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，由于三角形具有稳定性，所以只要添加的木条将四边形分成最少数目的三角形时，所需木条的数量即为最少．利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，我们只需1根木条，即对角线，就可达到不变形的目的． 综上可得，要使四边形木架不变形，至少要钉1根木条． 故答案为：1． 11. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法“边边边 ，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”，结合题意，选择合适的方法进行判定即可求解． 【详解】解：已知， ∵， ∴，且， ∴添加，可运用“角边角”证明； 添加，可运用“边角边”证明； 添加，可运用“角角边”证明； 故答案为：(答案不唯一）． 12. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折， ∴AD∥BC，∠BFE=∠2， ∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°， ∴∠BFE==65°， ∵∠AEF+∠BFE=180°， ∴∠AEF=115°． 故答案为：115°． 13. 如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， 的周长为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 14 如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动_____分钟后，与全等． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：于，于， ， 设运动分钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ，，， ； ②若，则， 解得：，， 此时与不全等； 综上所述：运动4分钟后与全等； 故答案为：4． 15. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 16. 如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，___________°． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ①当时， ∴ ∴． ②当时， ； ③当时， ； 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤） 17. 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内涂黑2个小正方形，使它们成为轴对称图形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，根据轴对称图形的含义，按照要求完成即可． 详解】 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的含义是本题的关键． 18. 已知：如图，在中，，于，于，相交于，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线判定的应用．求出，根据推出，求出，根据证出，推出即可． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ． ， 在和中， ， ∴， ， 平分． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称； （2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小； （3）△ABC的面积为　 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接AC1，与直线l的交点即为所求； （3）利用割补法求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）连接AC1，则AC1与l的交点P即为所求的点． （3）△ABC的面积=3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要作图−轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质，割补法求三角形的面积． 20. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）求证：≌； （2）连接，当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质； （1）由题中条件可证≌； （2）由全等三角形的性质可得，，由中垂线的性质可得，可得结论． 【小问1详解】 解：， ∴ 点为的中点， ， ≌； 【小问2详解】 解：∵≌， ，， ， ， ∴ 的长为． 21. 如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且． （1）求证：； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证； （2）证明，可得，根据计算求解即可． 【小问1详解】 证明：（1）∵， ∴， 又∵BD是的平分线，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵BD是的平分线， ∴， 和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴AB的长为10． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等． 22. 如图所示，在等边中，，点P从点C出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点A以的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为． （1）你能用含t的式子表示和的长度吗？请你表示出来． （2）出发几秒时，第一次为等边三角形？ （3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒时点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】（1），； （2）； （3）经过后，点P与点Q在边上第一次相遇； 【解析】 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识． （1）本题考查列代数式，根据路程等于速度乘以时间即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定列式求解即可得到答案； （3）本题考查一元一次方程解决顶点问题，根据相遇问题直接列式求解即可得到答案； 该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵点P的速度为，移动时间为， ∴， ∴， ∵点Q的速度为，移动时间为， ∴； 【小问2详解】 解：若为等边三角形，则有， 即，解得， ∴出发时，第一次为等边三角形； 【小问3详解】 解：设时，点Q与点P第一次相遇，根据题意得， ，解得， 经过后，点P与点Q第一次相遇， 当时，点P移动的路程为， 而，即此时点P在边上， ∴点P与点Q在边上第一次相遇． 23. 【观察发现】 如图1，和都是等腰直角三角形，连接和，、相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成角的度数．请说明理由． 【深入探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，且，连接、，Q为中点，连接．试探究线段与的关系，并加以证明． 【答案】观察发现：，，理由见解析；深入探究，，，理由见解析． 【解析】 【分析】观察发现：证明，即可求解； 深入探究：如图2中，延长到，使得，连接，，延长交于点，证明四边形是平行四边形，推出，，在证明推出，即可求解． 【详解】观察发现：结论：，，理由如下： 如图1，设与交于点， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴； 深入探究：结论：，，理由： 如图2，延长到，使得，连接，，延长交于点， ∵，都为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． （1）【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； （2）【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； （3）【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【小问1详解】 证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作图正确（如图所示） 猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$