精品解析：湖南省长沙市望城区湖南师大附中星城实验学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

湖南师大附中星城实验学校2023-2024学年第一学期八年级第一次作业检查数学试题 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列常见的手机软件小图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 由下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm B. 4cm，10cm，5cm C. 3cm，7cm，3cm D. 12cm，4cm，9cm 3. 如图，已知为的外角，，，那么的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 4. 湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（　　） A. 720° B. 900° C. 1080° D. 1440° 5. 如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 7. 如图，下列条件中，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（ ） A. 26 B. 32 C. 38 D. 44 9. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，AD是的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延长线于K，连接PD、AK，则下列结论：①；②；③；④；⑤图中有5对全等三角形；⑥．其中正确的结论有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD：_____． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则______． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 14. 如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则_____． 15. 如图，是的中点，是的中点，，则_____． 16. 在中，，，则的面积为_________． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集 19. 如图，已知，平分． （1）求证：． （2）若，求长． 20. 如图，在中，，，求和的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求出的面积． （2）关于y轴的对称图形是，写出点，，的坐标． 22. 如图，四边形是正方形，，EF与BC交于点G． （1）求证：； （2）若，求的大小． 23. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，渭南市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 300 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 24. 数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． 25. 等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； （1）如图1，若，，求C点坐标； （2）如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． （3）如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中星城实验学校2023-2024学年第一学期八年级第一次作业检查数学试题 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列常见的手机软件小图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不轴对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 由下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm B. 4cm，10cm，5cm C. 3cm，7cm，3cm D. 12cm，4cm，9cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可作出判断． 【详解】A、 不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、 不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、 不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、 能组成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查知识点为：三角形中三边的关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．掌握三角形中三边的关系，是解决本题的关键． 3. 如图，已知为的外角，，，那么的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°， ∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°， 故选：B． 【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答． 4. 湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（　　） A. 720° B. 900° C. 1080° D. 1440° 【答案】C 【解析】 【详解】解：（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°． 故这个八边形的内角和是1080°．故选：C． 【点睛】本题考查正多边的内角和公式，熟练掌握公式运算是解题的关键． 5. 如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵不一定成立， ∴故C错误，符合题意，A、B、D正确，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 7. 如图，下列条件中，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据选项中所给的条件结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A. 可利用判定，故此选项不合题意； B. 可利用判定，故此选项不合题意； C. 不能判定，故此选项符合题意； D. 可利用判定，故此选项不合题意. 故选：C. 8. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（ ） A. 26 B. 32 C. 38 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可得：垂直平分线段，可得、；再根据题意可得，最后求出的周长即可． 【详解】解：由题意可得：垂直平分线段， ∴，, ∵的周长为26， ∴, ∴的周长． 故答案为：38． 9. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 10. 如图，AD是的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延长线于K，连接PD、AK，则下列结论：①；②；③；④；⑤图中有5对全等三角形；⑥．其中正确的结论有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质定理逐项判断即可． 【详解】解：∵AD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，故①正确； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中有5对全等三角形，故⑤正确； ∵， ∵， ∴， ∴，即⑥正确． 综上，正确的有6个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD：_____． 【答案】∠B＝∠C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵BE＝DC，∠A＝∠A， ∴根据AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD， 故答案为：∠B＝∠C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，掌握关于x轴对称的两个点关的横坐标相同、纵坐标符号相反成为解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特点确定m、n的值，然后代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为4和8， ∴当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8， ∵， ∴不满足三角形的三边关系， 当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，此时能构成三角形， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 14. 如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先求出的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的中点，是的中点，，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据是的中点，从而可得，再根据三角形中线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ， ， 是的中点， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握“三角形中线把三角形分成面积相等的两个部分”是解题关键． 16. 在中，，，则的面积为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：过C作交的延长线于D， ∵， ∴， ∴， ∵，是边上的高， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根等知识点，掌握实数的混合运算法则成为解题的关键． 先利用绝对值、算术平方根、立方根、乘方化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集 【答案】﹣2﹤x≤3，解集表示在数轴上，如图所示： 【解析】 【分析】先分别解出每个不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解： ， 解①得：x﹥﹣2， 解②得：x≤3， 所以，不等式组的解集为：﹣2﹤x≤3， 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤，会用数轴表示解集是解答的关键，求解时注意符号和空心、实心问题． 19. 如图，已知，平分． （1）求证：． （2）若，求长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在和中 , ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，掌握运用证明成为解题的关键． （1）直接运用证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等即可解答． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 20. 如图，在中，，，求和的度数． 【答案】∠B＝77°，∠C＝ 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B和∠ADB的度数，利用三角形外角性质即可求出∠C的度数． 【详解】解：∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣26°）＝77°， ∵AD＝DC， ∴∠C=∠DAC， ∴∠C＝∠ADB＝×77°＝． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握等边对等角、三角形三个内角和等于180°和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求出的面积． （2）关于y轴的对称图形是，写出点，，的坐标． 【答案】（1） （2） 即为所求： 点，，的坐标分别为：；；． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换以及三角形面积求法，解答本题的关键是根据网格结构找出A、B、C对应点的位置． （1）把作为底，点C到的距离作为高即可求解面积； （2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接，结合图象即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：的面积为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，四边形是正方形，，EF与BC交于点G． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形性质的等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由正方形的性质、垂直的定义可得、，即可得，再结合即可证明结论． （2）因为再根据（1）可得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴． 23. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，渭南市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 300 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人 （2）租车方案可有四种：①甲型客车3辆，则租用乙型客车5辆；②甲型客车4辆，则租用乙型客车4辆；③甲型客车5辆，则租用乙型客车3辆；④甲型客车6辆，则租用乙型客车2辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有人，学生有人，根据题意，正确列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，根据题意，正确列出一元一次不等式组，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：设参加此次劳动实践活动的老师有人，学生有人， 根据题意，可得， 解得． 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人； 【小问2详解】 解：设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， 根据题意，可得， 解得， 所以，租车方案可有四种： ①甲型客车3辆，则租用乙型客车5辆； ②甲型客车4辆，则租用乙型客车4辆； ③甲型客车5辆，则租用乙型客车3辆； ④甲型客车6辆，则租用乙型客车2辆． 24. 数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． 【答案】（1）= （2） 解：过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 即， 故答案为：=． （3）1或3 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质，得，因为，且，得，即可作答． （2）过E作交于F，由是等边三角形，得是等边三角形，从而通过证明，则； （3）要注意分类讨论，①如图1：过A作于M，过E作于N，先得证，则，即；②如图2，作于M，过E作于N，由等腰三角形的三线合一，得，列式，即可作答． 【小问1详解】 解：∵三角形是等边三角形，点E为的中点 ∴ 则 ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或3， 理由是：分为两种情况： ①如图1：过A作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴； ②如图2，作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 即或1． 25. 等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； （1）如图1，若，，求C点坐标； （2）如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． （3）如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 【答案】（1） （2）不变 （3）不变，的面积为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明，得出，，进而即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，证明，得出，又，即可求解； （3）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，同理可得，则，，证明，得出，根据得出，设，则，继而求得，即可求解． 【小问1详解】 如果，过点作于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 同理可得， 则，， ∵点， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵． ∴ ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $