3.4 直线与圆的位置关系（同步练习）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

3.4直线与圆的位置关系（同步练习）（原卷版） 一、单选题 1．如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切．水平横杆米，米，吊舱半径为10米．放开挡板后，吊舱沿着水平横杆向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米．从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的为止（），吊舱平移的时间为（   ） A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒 2．图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（  ） A． B． C． D． 3．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A．30° B．25° C．20° D．15° 5．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（    ） A．4 B．1 C． D． 6．如图，已知，C为坐标轴上一点，且是直角三角形，则满足条件的C点有(    )个． A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D.若，则平行四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图是的直径，点C是上半圆的中点，D是上一点，延长至E，，连接．若为的切线，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（  ） A． B． C． D． 10．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=15°，则∠C的度数是（   ） A．45° B．65° C．60° D．70° 二、填空题 11．如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线与半径OB的延长线交于点D，∠A=30°，则∠BCD的度数为 ． 12．在中，则的内切圆的半径是 13．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为 ． 14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ． 15．如图，是的直径，点是半圆的中点，连接，点是劣弧上一点，连接，若，cm，则 cm． 三、解答题 16．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点． 根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系：__________，与的数量关系：__________； (2)迁移探究 小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下： 将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4．若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由； (3)拓展应用 如图5，已知正方形纸片的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：__________，点G的运动路径长度为：__________（直接写出答案即可）． 17．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转得到，点A、O旋转后的对应点为、，记旋转角为. (1)如图①，若，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，求的最小值； (3)如图③，P为AB上一点旋转后的对应点为Q，且，当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）. 18．【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点，以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在内部，连接． 求证，的面积等于面积的一半． 【问题解决】小慧的做法是连接并延长，交于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明； 【问题拓展】如图②，在四边形中平分．，若，则面积的最大值为 ． 19．如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，作于点，连接，若，求： (1)的度数． (2)若的半径为2，求的长． 20．如图，AB是⊙O的直径，C是圆外的一点，弦AD与CO平行，连接BC，CD，若BC与⊙O相切于点B，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4直线与圆的位置关系（同步练习）（解析版） 一、单选题 1．如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切．水平横杆米，米，吊舱半径为10米．放开挡板后，吊舱沿着水平横杆向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米．从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的为止（），吊舱平移的时间为（   ） A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒 【答案】B 【分析】如图，借用切线长定理，勾股定理，三角形的相似，三角函数，计算出FQ的长度，用路程除以速度即可得到运动的时间． 【详解】如图，圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切时的圆心为F，切点分别为P，O，连接FP，FO，CF，延长CF交AB于点G，则∠FPC=∠FOC=90°， ∵FP=FO，FC=FC， ∴△FPC≌△FOC， ∴∠PCF=∠OCF， 过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∵GA⊥AC， ∴GA=GH， 在直角三角形ABC和直角三角形BGH中， ∵AB=60，AC=80， ∴tanB=， 设GH=4k，则BH=3k，BG==5k， GA=4k, ∴AB=60=BG+GA=4k+5k=9k，∴k=，∴GA=， 过点F作FM∥AC，交AB于点M，圆心F运动到点Q停止，此时与AC切于点N，与AB切于点M，连接QN， ∵∠A=∠QMA=∠QNA=90°，∴四边形AMQN是矩形， ∵QM=QN，∴四边形AMQN是正方形， ∴MA=MQ=10，MG=GA-MA=-10=， ∵FM∥AC， ∴△GMF∽△GAC， ∴, ∴, ∴QF=40， ∵∠QNP=∠NPF=∠NQF=90°，∴四边形NQFP是矩形， ∴NP=QF=40， ∴运动时间40÷1=40（秒） 故选B． 【点睛】本题考查了切线长定理，三角形的相似，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的全等，三角函数的定义，根据题目的特点构造直角三角形，灵活运用性质是解题的关键． 2．图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助线构造直角三角形和相似三角形进行边的求解和角的转化即可． 【详解】：如图，连接PO，AO，取PO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H， ∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90º. ∵△PCD的周长等于3r， ∴PA=PB=. ∵⊙O的半径为r， ∴在Rt△APO中，由勾股定理得 ∴. ∵∠OHA=∠OAP=90º,∠HOA=∠AOP, ∴△HOA∽△AOP. ∴, 即， ∴， ∴； ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴. 故选：B． 【点睛】本题考查了以下内容：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用；解决本题的关键是进行角的转化，得到与∠APB相等的角． 3．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D， ∴，， ∵的周长为2，即， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A．30° B．25° C．20° D．15° 【答案】B 【详解】解：∵AC为切线， ∴∠OAC=90° ， ∵∠C=40°， ∴∠AOC=50°， ∵OB=OD ，   ∴∠ABD=∠ODB ，   ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°，     ∴∠ABD=∠ODB=25°． 故选B 5．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接OA，根据圆周角定理可知∠AOC=60°，由切线的性质可得∠OAP=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP的长，利用勾股定理即可求出AP的长． 【详解】连接OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA为切线， ∴∠OAP=90°， ∴∠P=30°， ∵OA=OC=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA==， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的切线垂直于过切点的直径；熟练掌握切线的性质是解题关键． 6．如图，已知，C为坐标轴上一点，且是直角三角形，则满足条件的C点有(    )个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交轴于点，交轴于点；过点作的垂线，交轴于点，交轴于点；根据直径所对的圆周角为直角，以为直径作圆，根据和的坐标求出的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与轴相切，可得出圆与轴有个交点，与轴交于点．所以满足条件的点共有个． 【详解】解：分三种情况考虑： ①当为直角顶点时，过作，交轴于点，交轴于点，此时满足题意的点为，； ②当为直角顶点时，过作，交轴于点，交轴于点，此时满足题意的点为，； ③当为直角顶点时，以为直径作圆，由、，可得此圆与轴相切， 则此圆与轴有个交点，与轴有个交点，分别为． 综上，所有满足题意的有个． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 7．如图，以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D.若，则平行四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用圆的切线和平行四边形的性质可以得到，进而求出然后计算面积即可． 【详解】解：∵是以为直径的圆的切线， ∴， 又∵为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， 解得 ∴平行四边形的面积为， 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，切线的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 8．如图是的直径，点C是上半圆的中点，D是上一点，延长至E，，连接．若为的切线，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的有关计算及勾股定理，解决本题的关键是作适当的辅助线解决问题，连接，过点C作，过点D作交于点F，证明，可得， 设的半径为，分别求出及的长，最后求解即可， 【详解】如图，连接，过点C作，过点D作交于点F， 是的直径，点C是上半圆的中点， ， 为的切线， ， ，， 四边形和四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 设的半径为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B 9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，进而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=. 故选A. 10．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=15°，则∠C的度数是（   ） A．45° B．65° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，计算即可． 【详解】解：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC=90°， ∠COD=2∠A=30°， ∴∠C=90°-30°=60°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 二、填空题 11．如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线与半径OB的延长线交于点D，∠A=30°，则∠BCD的度数为 ． 【答案】30°． 【分析】如图，连接OC． 构建直角△OCD和等边△OBC，结合图形，可以得到∠BCD=90°-∠OCB=30°． 【详解】如图，连接OC． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°． ∵∠A=30°， ∴∴∠COB=2∠=60°． ∵OC=OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OCB=60°， ∴∠BCD=90°-∠OCB=30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 12．在中，则的内切圆的半径是 【答案】2 【分析】此题考查了直角三角形内切圆的性质，切线长定理，勾股定理．设与的切点分别为 D、F、E．易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：由此可求出r的长． 【详解】解：如图，设与的切点分别为 D、F、E    在中， 根据勾股定理 四边形中，， ∴四边形是正方形． 由切线长定理， 得：， ， 即： ． 故答案为：2． 13．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，连接，由切线的性质得出，设，由勾股定理得出 ，即，解方程即可得出答案，掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ． 【答案】 【详解】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线， ∴点E、F是切点， ∴OE、OF是⊙O的半径； ∴OE=OF； 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5， ∴由勾股定理，得BC=4； 又∵D是BC边的中点， ∴S△ABD=S△ACD， 又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD， ∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×OE=2×3， 解得OE=， ∴⊙O的半径是． 故答案为． 15．如图，是的直径，点是半圆的中点，连接，点是劣弧上一点，连接，若，cm，则 cm． 【答案】 【分析】过作于点，先根据点是半圆的中点，得，由，求得，再证明得，再证明，求得，由线段和差求得便可； 【详解】解：过作于点， ∵点是半圆的中点，是的直径， ，， ， ， ， ， ，， （AAS）， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形，相似三角形，关键是作辅助线构造全等三角形与相似三角形． 三、解答题 16．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点． 根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系：__________，与的数量关系：__________； (2)迁移探究 小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下： 将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4．若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由； (3)拓展应用 如图5，已知正方形纸片的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：__________，点G的运动路径长度为：__________（直接写出答案即可）． 【答案】(1)； (2)能， (3)， 【分析】（1）根据折叠的性质先证明得到，再利用再证明即可； （2）利用折叠的性质和矩形的性质先证明，利用三角形相似比等于对应边的比证明即可； （3）先确定点的运动轨迹，点是在为直径的圆上，点的运动路径为圆，即可求点的运动路径，再根据点是圆心，结合当、、三点共线时，有最小值求解即可． 【详解】（1）如图：    根据折叠的性质得：， 点的对应点落在上， ， 在与中， ， ， ， ； ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：，． （2）能，； 推理如下：由折叠可知，， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵矩形中，， ∴． （3）如图：    动点E，F同时开始运动，且速度相同， ， 是边长为2的正方形，由（1）知， 点是在为直径的圆上， 动点在边上由点向终点匀速运动，当动点运动到点时，点的运动路径为圆，其路径长为：． 如图：作的中点，连接    点是在为直径的圆上，点的运动路径为圆，且圆心为， ， 当、、三点共线时，有最小值， ， ， ． 【点睛】本题考查了几何的综合问题及结合圆的动点问题，重点掌握三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆外一点到圆上的最短距离是解题的关键． 17．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转得到，点A、O旋转后的对应点为、，记旋转角为. (1)如图①，若，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，求的最小值； (3)如图③，P为AB上一点旋转后的对应点为Q，且，当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作，利用旋转的性质求出，再根据利用三角形函数求出结果； （2）利用旋转的性质求出相等的线段，再利用最短路径求出的最小值为，利用勾股定理求出结果； （3）根据比例关系求出线段的关系，再利用勾股定理求出线段的长度，最后求出面积． 【详解】（1）解： ∵旋转角 ∴ ∴在中，， ∴ ∴ （2）解：如图②中 ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接交于，连接，的值最小，为. ∵， ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为 （3）解： 如图③中，当时，的值最大， ∵ ∴， ∴， . 【点睛】本题是旋转的性质以及坐标与图形的综合题，利用旋转的性质进行相等角度和相等线段的转化是解题的关键． 18．【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点，以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在内部，连接． 求证，的面积等于面积的一半． 【问题解决】小慧的做法是连接并延长，交于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明； 【问题拓展】如图②，在四边形中平分．，若，则面积的最大值为 ． 【答案】问题解决：见详解；问题拓展：6 【分析】本题为几何探究题，考查圆与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握圆与三角形的性质； 问题解决：根据提示作图，通过三角形中线将三角形面积等分证明． 问题拓展：延长交于点，通过三角形三线合一得到为中点，通过中线将三角形面积平分可得面积最大时，面积最大，即为高时满足题意． 【详解】问题解决：解：如图，连接并延长，交边于点． ∵为的直径， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴点为的中点． ， ， ∴的面积等于面积的一半． 问题拓展：延长交于点， ∵平分且， ∴为等腰三角形，点为中点， ∴， 当的面积最大时，面积最大， 即满足题意， ∵， ∴面积的最大值为． 故答案为：6． 19．如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，作于点，连接，若，求： (1)的度数． (2)若的半径为2，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得结论； （2）证明，根据相似三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）连接， ∵切于点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，，且， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．如图，AB是⊙O的直径，C是圆外的一点，弦AD与CO平行，连接BC，CD，若BC与⊙O相切于点B，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】相切，见解析 【分析】连结，根据圆的基本性质和平行线的基本性质推出，从而证明，即可得到，由切线的性质得到，最终得出，即可证得结论． 【详解】解：与相切，理由如下： 连结，如图． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵与相切于点B， ∴． ∴． 又∵点D在上， ∴与相切． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，涉及到圆中的基本性质和结论，以及平行线的性质和全等三角形的判定与性质等，综合运用各部分知识是解题关键． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$